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Moto rettilineo uniformemente accelerato 9

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Ottieni il documento contenente 4 esercizi sul moto rettilineo uniforme e 21 esercizi risolti sul moto rettilineo uniformemente accelerato, contenuti in 43 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. È inoltre presente un file di teoria relativo al moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In figura 1 è rappresentato un sistema di riferimento fisso Ox e due punti materiali A ed B. Entrambi i punti materiali A ed B sono vincolati a muoversi lungo l’asse delle x. Il punto materiale A parte all’istante t=0 con velocità iniziale \vec{v}=v_0\,\hat{x}, dall’origine del sistema di riferimento introdotto, con accelerazione pari ad \vec{a}=-a\,\hat{x}, dove v_0>0 e a>0, ed \hat{x} è il versore dell’asse delle x. Il punto materiale B parte con velocità iniziale nulla all’istante t=0 dalla posizione x=x_0>0, ed si muove con accelerazione pari ad \vec{a}=a\,\hat{x}, con a>0. Si determini

  1. se il primo punto può raggiungere il secondo;
  2. studiare il caso numerico v_{0}=6\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}, a=2\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}, x_{0}=4,5\;{\text{m}}.

 

 

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Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t) = x_{i}+v_{i}(t-t_{i})+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^{2}\\[10pt] v(t)=v_{i}+a(t-t_{i})\\[10pt] v^{2}(x)=v_{i}^{2}+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto. Sfrutteremo il sistema (1) durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

 


Svolgimento. Punto 1.

Il punto A si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato lungo l’asse delle x con decelerazione costante pari ad -a<0, mentre il punto B si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, con accelerazione costante pari ad a>0. Per determinare la legge oraria di A e B utilizziamo l’equazione (1)_1, sfruttando le condizioni iniziali che il problema fornisce. Le leggi orarie di A e B sono rispettivamente

(2)   \begin{equation*} x_A(t)=v_0t-\frac{1}{2}at^2 \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} x_B(t)=x_0+\frac{1}{2}at^2. \end{equation*}

Dobbiamo verificare se A riuscirà a raggiungere B. Imponiamo che i due punti materiali si incontrino, cioè che valga

(4)   \begin{equation*} x_A(t)=x_B(t), \end{equation*}

da cui, sfruttando le equazioni (2) e (3), si ottiene

(5)   \begin{equation*} v_0t-\frac{1}{2}at^2=x_0+\frac{1}{2}at^2, \end{equation*}

cioé

(6)   \begin{equation*} at^2-v_0t+x_0=0. \end{equation*}

L’equazione (6) è un’equazione di secondo grado rispetto alla variabile t. Affinché i due punti materiali si incontrino deve valere

(7)   \begin{equation*} v_0^2-4ax_0\geq0, \end{equation*}

o anche

(8)   \begin{equation*} v_0^2\geq4ax_0. \end{equation*}

Se viene rispettata questa condizione, il punto A riuscirà a raggiungere il punto B.

 


Svolgimento. Punto 2.

Sostituendo i valori numerici forniti dal testo nella disequazione (8), si ha

(9)   \begin{equation*} 36\,\text{m}^2\cdot \text{s}^{-2}\geq 4 \cdot 2\cdot \,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\cdot\text{4,5}\cdot \text{m}=36\,\text{m}^2, \end{equation*}

che risulta essere vera, pertanto i punti A ed B si incontreranno. Sostituendo i valori numerici nell’equazione (6), si ottiene

(10)   \begin{equation*} 2\,(\text{m}\cdot \text{s}^{-2})\,t^2-6\,(\text{m}\cdot \text{s}^{-1})\,t+\text{4,5 m}=0, \end{equation*}

che ha come soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{ t=1,5\;{\text{s}}.}\]

Sostituendo t=1,5\;{\text{s}} nell’equazione (2), si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ x_A(1,5\;{\text{s}})=6\,(\text{m}\cdot \text{s}^{-1})\,\text{1,5}\,(\text{s})-\frac{1}{2}\, 2\,(\text{m}\cdot\text{s}^{-2})\,\text{1,5}^2\,(\text{s}^2)=\text{6,75 m}.}\]