Moto rettilineo uniformemente accelerato 8

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo due punti materiali, A e B, vincolati a muoversi lungo una retta. Fissiamo un sistema di riferimento Ox tale che l’asse delle x sia allineato con la traiettoria dei punti e l’origine O coincida con la posizione iniziale del punto A al tempo t=0. In questo istante, i punti A e B sono separati da una distanza d=100\,\text{m} e si muovono reciprocamente vicini. Il punto A si sposta con una velocità costante di v_A=4\,\text{m/s}, mentre B inizia il suo moto da fermo con un’accelerazione costante a_B=\text{1,2 m}\cdot\text{s}^{-2}. Si calcoli l’ìstante di tempo in cui A\equiv B.

 

 

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Svolgimento.

Il corpo A si muove di moto rettilineo uniforme, dunque la sua legge oraria è la seguente

(1)   \begin{equation*} x_A(t)=v_At, \end{equation*}

valida per t\geq 0. Il moto di B è invece rettilineo uniformemente accelerato, quindi la sua legge oraria è

(2)   \begin{equation*} x_B(t)=d-\frac{1}{2}a_Bt^2, \end{equation*}

dove il segno meno davanti all’accelerazione è stato posto perché B si muove nel verso negativo delle x. La precedente equazione risulta valida per t\geq0. I due corpi si incontreranno quando x_A=x_B. Pertanto, sfruttando le due precedenti equazioni e imponendo la condizione x_A=x_B, si ha

(3)   \begin{equation*} v_At=d-\frac{1}{2}a_Bt^2, \end{equation*}

o anche

(4)   \begin{equation*} a_Bt^2+2v_At-2d=0. \end{equation*}

La precedente equazione ha come risultati

(5)   \begin{equation*} \boxed{ t_{1,2}=\dfrac{-v_A\pm\sqrt{v_A^2+2da_B}}{a_B}.} \end{equation*}

Scartando la soluzione negativa e sostituendo i valori numerici, si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ t={10 \text{s}}.}\]