Moto rettilineo uniformemente accelerato 7

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). In un rally automobilistico un pilota percorre uno spazio d, partendo e arrivando da fermo. Le caratteristiche dell’auto sono tali che per un tratto x_1<d acceleri con un accelerazione costante pari ad a_1. Successivamente in un secondo tratto x_2=d-x_1 l’auto frena con una decelerazione costante a_2<0, fino a fermarsi. Supponendo che il moto sia rettilineo, calcolare il tempo t_T ottenuto nella prova. Nella figura che segue abbiamo denotato v_i=0 la velocità iniziale e v_f=0 la velocità finale del moto della macchina.

 

 

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Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\[10pt] v(t)=v_i+a(t-t_i)\\[10pt] v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

 


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Ox, come nella figura di sopra. Denotiamo con x la posizione nel generico istante t>0 dell’auto, rispetto al sistema di riferimento scelto. Per 0\leq x\leq x_1 l’auto si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante a_1>0, partendo da ferma nella posizione iniziale x=0, mentre per x_1\leq x\leq d l’auto si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato con decelerazione costante a_2<0, arrivando a fermarsi nella posizione finale x=d. Sfruttando l’equazione (1), per i due tratti x_1 e d-x_1, si ha rispettivamente

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} v^2\left(x_1\right)=2x_1a_1\\ v^2\left(x_2\right)=0=v^2\left(x_1\right)+2a_2\left(d-x_1\right), \end{cases} \end{equation*}

dove v\left(x_1\right) rappresenta la velocità nella posizione x=x_1. La velocità v\left(x_1\right) rappresenta la velocità finale per il primo spazio percorso x_1, mentre per il secondo spazio percorso d-x_1 rappresenta la velocità iniziale. Svolgendo i calcoli, dal sistema (2), si ottiene

(3)   \begin{equation*} 2x_1a_1+2a_2\left(d-x_1\right)=0, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} x_1\left(\cancel{2}a_1-\cancel{2}a_2\right)=-\cancel{2}a_2d, \end{equation*}

o anche

(5)   \begin{equation*} x_1=\dfrac{a_2d}{a_2-a_1}=\dfrac{-\vert a_2\vert d}{-\vert a_2\vert-a_1}=\dfrac{\vert a_2\vert d}{\vert a_2\vert+a_1}>0. \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (2), sostituendo x_1 (ottenuta nella precedente equazione), otteniamo

(6)   \begin{equation*} v^2\left(x_1\right)=\dfrac{2a_1\vert a_2\vert d}{\vert a_2\vert+a_1}, \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} v\left(x_1\right)=\sqrt{\dfrac{2a_1\vert a_2\vert d}{\vert a_2\vert+a_1}}. \end{equation*}

Sfruttando la seconda equazione del sistema (1), denotando con t_1 il tempo impiegato per percorrere lo spazio x_1, e denotando con t_2 il tempo impiegato per percorrere lo spazio d-x_1, si ha

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} v\left(t_1\right)=a_1t_1\\ v\left(t_2\right)=0=v\left(t_1\right)+a_2t_2. \end{cases} \end{equation*}

Notando che v(t_1)=v(x_1), dal precedente sistema, otteniamo

(9)   \begin{equation*} t_1=\dfrac{v\left(x_1\right)}{a_1} \end{equation*}

e

(10)   \begin{equation*} t_2=-\dfrac{v\left(x_1\right)}{a_2}=\dfrac{v\left(x_1\right)}{\vert a_2\vert}>0. \end{equation*}

Chiamando t_T il tempo totale per percorrere lo spazio d, per le equazioni (9) e (10), si ha

(11)   \begin{equation*} t_T=t_1+t_2=\dfrac{v\left(x_1\right)}{a_1}+\dfrac{v\left(x_1\right)}{\vert a_2\vert}=v\left(x_1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{\vert a_2\vert}\right)=v\left(x_1\right)\left(\dfrac{\vert a_2\vert+a_1}{a_1\vert a_2\vert}\right), \end{equation*}

da cui, avvalendoci del risultato ottenuto in (7), si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ t_T=\left(\dfrac{\vert a_2\vert+a_1}{a_1\vert a_2\vert}\right)\sqrt{\dfrac{2a_1\vert a_2\vert d}{\vert a_2\vert +a_1}}.}\]