Moto rettilineo uniformemente accelerato 6

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’auto $A$ procede alla velocità $v_{0,A}$ su un tratto rettilineo di strada in cui è proibito il sorpasso. Qual è la minima distanza alla quale il conducente di $A$ deve iniziare a frenare con accelerazione di modulo costante pari ad $a$ per evitare il tamponamento con una seconda auto $B$ che lo precede viaggiando ad una velocità $v_B$ ? Supporre che $v_{0,A}>v_B$ .

Svolgimento. Possiamo immaginare il problema come segue: due auto stanno procedendo a velocità costante e ad una distanza tale che i due non si vedono.
L’auto $A$ procede con velocità $v_{0,A}$ e l’auto $B$ procede con velocità $\vec{v}_B$ . Ad un certo istante l’auto $A$ si rende conto della presenza di una seconda auto $B$ , che procede ad una velocità inferiore, dunque inizia a frenare con accelerazione costante $\vec{a}$ , per evitare il tamponamento.
Dunque la condizione da imporre è che l’auto $A$ si trovi ad una distanza $x_{min}$ tale che, frenando, riesca ad avere una velocità pari a quella dell’auto $B$ .
Nel seguente grafico rappresentiamo la situazione all’istante $t=0$ ovvero quando l’auto $A$ comincia a frenare; scegliendo un sistema di riferimento $Ox$ con origine coincidente con il corpo $A$ .

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Quando l’auto $A$ comincia a decelerare ha la seguente legge oraria[1].:

(1) $\begin{equation*} x_A(t)=v_{0,A}t-\frac{1}{2}at^2 \end{equation*}$

e la legge che descrive la sua velocità è

(2) $\begin{equation*} v_A(t)=v_{0,A}-at. \end{equation*}$

Per il corpo $B$ la legge oraria è la seguente:

(3) $\begin{equation*} x_B(t)=x_{min}+v_Bt. \end{equation*}$

Chiamiamo $t=t^\star$ il tempo impiegato da $A$ per arrivare alla velocità $v_B$ . Da (2) abbiamo

$v_B=v_A=v_{0,A}-at^\star \quad \Leftrightarrow\quad t^\star=\dfrac{v_{0,A}-v_B}{a}.$

Per trovare $x_{min}$ , imponiamo che al tempo $t^\star$ le due auto si incontrino.

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Valutiamo la posizione di $A$ al tempo $t^\star$

$\begin{aligned} x_A(t^\star)&=v_{0,A}\left( \dfrac{v_{0,A}-v_B}{a} \right)-\frac{1}{2}a \left(\dfrac{v_{0,A}-v_B}{a}\right)^2=\\ &=v_{0,A}\left( \dfrac{v_{0,A}-v_B}{a} \right)-\frac{1}{2}a \left(\dfrac{v^2_{0,A}+v^2_B-2v_{0,A}v_B}{a^2}\right)=\\&=\dfrac{2v^2_{0,A}-2v_{0,A}v_B}{2a}-\frac{1}{2} \left(\dfrac{v^2_{0,A}+v^2_B-2v_{0,A}v_B}{a}\right)=\\ &=\dfrac{v^2_{0,A}-v^2_B}{2a}. \end{aligned}$

Imponiamo che $x_B(t^\star)=x_A(t^\star)$ . Dalla (3) risulta

$\begin{aligned} x_B(t^\star )=x_{min}+v_Bt^\star \quad & \Leftrightarrow \quad \dfrac{v^2_{0,A}-v^2_B}{2a}=x_{min}+v_B \left(\dfrac{v_{0,A}-v_B}{a} \right) \quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad x_{min}=\dfrac{v^2_{0,A}-v^2_B}{2a}-v_B \left(\dfrac{v_{0,A}-v_B}{a} \right)=\\ &=\dfrac{v^2_{0,A}-v^2_B}{2a}-\dfrac{2v_{0,A}v_B-2v^2_B}{2a} =\\ &=\dfrac{v^2_{0,A}+v^2_B-2v_{0,A}v_B}{2a}=\dfrac{1}{2a}\left(v_{0,A}-v_B\right)^2 \end{aligned}$

Dunque concludiamo che lo spazio minimo cercato è

$\boxcolorato{fisica}{ x_{min} =\dfrac{1}{2a}\left(v_{0,A}-v_B\right)^2.}$

1. È stato messo il meno davanti all’accelerazione nella legge oraria perché il vettore dell’accelerazione è orientato nel verso negativo del nostro sistema di riferimento. ↩