Esercizio 5 . In un rally automobilistico un pilota deve percorrere nel tempo minimo un tratto
, partendo ed arrivando da fermo. Le caratteristiche dell’auto sono tali che l’accelerazione massima è
, mentre il sistema di freni permette una decelerazione massima di
. Supponendo che il moto sia rettilineo, calcolare il tempo
ottenuto nella prova.
Richiami teorici.
(1)
dove è la posizione iniziale,
è la velocità iniziale,
è l’accelerazione costante e
è l’istante dell’inizio del moto.
Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.
Svolgimento.
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Applichiamo l’equazione (1) per entrambi i moti e definiamo
la legge che descrive la velocità in funzione dello spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato, e
la legge che descrive la velocità in funzione dello spazio nel moto rettilineo uniformemente decelerato. Si ha
(2)
dove è la posizione comune ai due moti (ovvero è la posizione in cui finisce il moto rettilineo uniformemente accelerato e in cui inizia il moto rettilineo uniformemente decelerato) e
è la velocità finale del moto rettilineo uniformemente accelerato, di conseguenza
sarà la velocità iniziale del moto rettilineo uniformemente decelerato[1].
Per la legge
poniamo
e
; analogamente per la legge
poniamo
e
. Otteniamo il seguente sistema (abbiamo sfruttato il sistema (2))
(3)
da cui, sommando ambo i membri delle due equazioni del sistema, si ha
(4)
o anche (abbiamo moltiplicato ambo i membri dell’equazione per )
(5)
cioè
(6)
Abbiamo trovato la posizione finale del moto accelerato e la posizione iniziale
del moto decelerato, ovvero
. Sostituendo
(definita in (6)) in (3), si ottiene
(7)
Sfruttiamo ora l’equazione (1) per entrambi i moti. Definiamo
il tempo totale della durata del moto rettilineo uniformemente accelerato e
il tempo totale della durata del moto rettilineo uniformemente decelerato. Inoltre, chiamiamo
la legge che descrive come varia la velocità in funzione del tempo per il moto rettilineo uniformemente accelerato e
la legge che descrive la velocità del moto rettilineo uniformemente decelerato in funzione del tempo.
Abbiamo dunque (si sfruttato (1)
)
(8)
Poniamo e
, da cui si ottiene il seguente sistema (si osservi che abbiamo sfruttato il sistema (8))
(9)
Sommando e
e sfruttando il risultato ottenuto in (7) si ottiene
(tempo totale), cioè
(10)
Si conclude che il tempo totale è
1. Si osservi che l’accelerazione è una funzione discontinua, mentre la velocità è una funzione continua. ↩