Moto rettilineo uniformemente accelerato 10

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In una serata nebbiosa un ragazzo accompagna la fidanzata alla partenza del treno. Quando il treno parte, con accelerazione $a_{t}=3600\;\text{km}\cdot\text{h}^{-2}$ , il ragazzo comincia a correre lungo la banchina con accelerazione $a_{r}=1400\;\text{km}\cdot\text{h}^{-2}$ . Supponendo che il ragazzo, a causa della nebbia, non riesca a vedere la fidanzata se la distanza tra lui e il treno supera una distanza $d=50\;{\text{m}}$ , si determini dopo quanto tempo il ragazzo non riesce più a vedere la fidanzata. Si considerino il ragazzo e il treno come punti materiali.

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Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t) = x_{i}+v_{i}(t-t_{i})+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^{2}\\[10pt] v(t)=v_{i}+a(t-t_{i})\\[10pt] v^{2}(x)=v_{i}^{2}+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto. Sfrutteremo il sistema (1) durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Ox$ . L’asse $x$ è coincidente con il binario del treno e l’origine $O$ è coincidente con il punto di partenza del treno all’istante di tempo $t=t_0=0$ . Inoltre, si assuma che all’istante $t=t_0=0$ il ragazzo si trovi nell’origine del sistema di riferimento introdotto. Il ragazzo inizia a correre nel verso positivo dell’asse $x$ dallo stesso punto e allo stesso istante in cui parte il treno.
Il treno e il ragazzo si muovono di moto rettilineo uniformemente accelerato rispetto al sistema di riferimento fisso $Ox$ , rispettivamente con $a_{t}\neq a_{r}$ . Applicando l’equazione (1) $_1$ , è possibile determinare la legge oraria che descrive il moto del treno e del ragazzo, sapendo che per entrambi la velocità iniziale $v_i$ è nulla. Si ottiene:

(2) $\begin{equation*} x_{t}(t)=\frac{1}{2}a_{t}t^2 \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} x_{r}(t)=\frac{1}{2}a_{r}t^2. \end{equation*}$

Si osservi che abbiamo posto che la posizione iniziale del treno e del ragazzo sia la stessa e uguale a zero, perché entrambi partono dall’origine del sistema di riferimento introdotto. Vogliamo calcolare, dal momento della partenza, dopo quanto tempo il ragazzo non riesce più a vedere la fidanzata che sta sul treno. Sappiamo dai dati del problema che il ragazzo perde di vista il treno appena la loro distanza è maggiore di $d=50\;\text{m}$ . Calcoliamo allora l’istante di tempo $t$ in cui il treno e il ragazzo distano esattamente $d=50\;\text{m}$ . La distanza $d$ tra il treno e il ragazzo è

(4) $\begin{equation*} d=x_{t}-x_{r}. \end{equation*}$

Sfruttando le equazioni (2) e (3), l’equazione (4) diventa

(5) $\begin{equation*} d=\frac{1}{2}a_{t}t^2-\frac{1}{2}a_{r}t^2, \end{equation*}$

oppure

(6) $\begin{equation*} d=\frac{1}{2}t^2(a_{t}-a_{r}), \end{equation*}$

cioè

(7) $\begin{equation*} t^2=\frac{2d}{a_{t}-a_{r}}, \end{equation*}$

conseguentemente

(8) $\begin{equation*} t=\sqrt{\frac{2d}{a_{t}-a_{r}}}. \end{equation*}$

Sostituendo i valori numerici forniti dal testo, e trasformando opportunamente le unità di misura, dalla precedente equazione, si trova

$\boxcolorato{fisica}{ t=\sqrt{\frac{2d}{a_{t}-a_{r}}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot\text{50 m}}{\left(3600-1400\right)\cdot\dfrac{\text{1000 m}}{\text{60}^4 \,\text{s}^2}}}=\text{24,3}\:\text{s}.}$

Osservazione. La differenza tra le due accelerazioni $a_{t}-a_{r}$ è uguale all’accelerazione del treno rispetto ad un sistema di riferimento non inerziale solidale con il ragazzo. Correndo il ragazzo ad un’accelerazione $a_{r}$ nello stesso verso del treno, rispetto al suo punto di vista il treno sta accelerando con un’accelerazione minore $a'_{t}=(a_{t}-a_{r})<a_{t}$ . Si sarebbe potuto quindi risolvere il problema introducendo un nuovo sistema di riferimento solidale con il ragazzo e il treno che si allontana da lui con moto rettilineo uniformemente accelerato di accelerazione pari ad $a'_{t}$ . Richiedendo una distanza percorsa dal treno pari a $d$ e sfruttando (1) $_1$ , si sarebbe ottenuta l’equazione (6), da cui la soluzione.