Moto rettilineo uniformemente accelerato 11

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un sasso viene fatto cadere in un pozzo. Dopo un tempo pari ad $\tilde{t}$ si ude il tonfo. Supponendo che il suono si muova di moto rettilineo uniforme con velocità pari ad $v_s$ , qual è la profondità $h$ del pozzo?

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento $Oy$ , come nella figura che segue.

Osserviamo che il sasso ha velocità iniziale nulla e, inoltre, avendo scelto un sistema di riferimento con l’asse positive delle $y$ orientate verso il basso, la sua accelerazione è $a=g=\text{9,81 m}\cdot \text{s}^{-2}$ . La legge oraria del sasso è

(1) $\begin{equation*} y(t)=\dfrac{1}{2}gt^2. \end{equation*}$

Chiamiamo $t_1$ il tempo che il sasso impiega a raggiungere la fine del pozzo, ovvero a percorrere uno spazio pari ad $h$ . Abbiamo dunque

(2) $\begin{equation*} y_{\text{sasso}}(t_1)=h=\dfrac{1}{2}gt_1^2. \end{equation*}$

Una volta che il sasso ha raggiunto la fine del pozzo, per via dell’urto tra il sasso e il suolo, dopo un intervallo di tempo pari ad $\tilde{t}-t_1$ si udirà il suono dell’impatto. Il suono risale il pozzo di moto rettilineo uniforme con velocità pari ad $v_s$ . La legge oraria del suono è

(3) $\begin{equation*} y_{\text{suono}}(t)=h-v_s(t-t_1). \end{equation*}$

Si osservi che per scrivere la legge oraria del sasso si è osservato che il suo moto è iniziato all’istante di tempo $t=t_1$ , che la sua posizione iniziale è $h$ , e la sua velocità è $-v_s$ perché è rivolta nel verso negativo delle $y$ . Abbiamo dunque