Moto rettilineo uniformemente accelerato 20

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due automobili $A$ e $B$ percorrono una strada rettilinea con velocità di modulo rispettivamente:

$v_A = \text{100 km}\cdot\text{h}^{-1}$ ;
$v_B = \text{70 km}\cdot\text{h}^{-1}$ .

Il guidatore dell’auto $A$ , che si trova alle spalle dell’auto $B$ ad una distanza di $d = 40\ \text{m}$ ,
inizia l’operazione di sorpasso imprimendo alla propria auto un’accelerazione costante di modulo
$a = \text{2,5 m}\cdot\text{s}^{-2}$ . Calcolare:

il tempo impiegato dall’auto $A$ per fare il sorpasso;
la velocità dell’auto $A$ al momento del sorpasso;
lo spazio percorso dall’auto $A$ rispetto alla posizione iniziale.

Si consideri un sistema di riferimento fisso $Ox$ con l’asse $x$ allineato alla strada rettilinea.
All’istante $t = 0$ , l’auto $A$ si trova nell’origine $O$ mentre l’auto $B$ è posizionata a $x = d$ .

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Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme la sua legge oraria è

(1) $\begin{equation*} \boxed{x(t)=x_i+v(t-t_i),} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v$ è la velocità costante e $t_i$ è l’istante in cui ha inizio il moto. \bigbreak \noindent Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(2) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto.\bigbreak \noindent Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento Punto 1.

situazione iniziale delle due auto è rappresentata in figura 1. L’auto $B$ si muove con un moto rettilineo uniforme, mentre l’auto $A$ segue un moto uniformemente accelerato per $t \geq 0$ .Servendoci della equazione (1) e della prima equazione del sistema (2), possiamo determinare le leggi orarie delle due auto. Le leggi orarie per $A$ e per $B$ sono rispettivamente:

(3) $\begin{equation*} \begin{aligned} \text{Auto $A$:} \quad x_A(t) &= v_A t + \frac{1}{2} a t^2 , \\[10pt] \text{Auto $B$:} \quad x_B(t) &= d + v_B t , \end{aligned} \end{equation*}$

dove abbiamo posto $t_i=0$ . Si può considerare il sorpasso come completato quando le due auto sono affiancate, ossia quando $x_A(t) = x_B(t)$ . Dalle due precedenti equazioni, si trova:

(4) $\begin{equation*} v_A t + \frac{1}{2} a t^2 = d + v_B t , \end{equation*}$

da cui

(5) $\begin{equation*} \frac{1}{2} a t^2 + (v_A - v_B) t - d = 0 . \end{equation*}$

Abbiamo che $v_A > v_B$ , e ricordiamo che $a$ , $t$ e $d$ sono grandezze positive. La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado fornisce le due soluzioni:

(6) $\begin{equation*} t = \frac{(v_B-v_A) \pm \sqrt{(v_A-v_B)^2+2ad}}{a} . \end{equation*}$

Si noti che una delle soluzioni è positiva e l’altra negativa. La soluzione positiva rappresenta il tempo di sorpasso $t_s$ , dato che questo avviene quando $t \geq 0$ . Dunque, la soluzione positiva è:

(7) $\begin{equation*} t = \frac{(v_B-v_A) +\sqrt{(v_A-v_B)^2+2ad}}{a} \coloneqq t_s. \end{equation*}$

Utilizzando la conversione: $1\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{10}{36}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ e sostituendo i valori numerici forniti dal testo nel problema nella precedente equazione, il tempo necessario a sorpassare è:

$\boxcolorato{fisica}{\displaystyle t_s =\text{3,2 s}.}$

Svolgimento Punto 2.

Utilizzando la seconda equazione del sistema (2) possiamo determinare la velocità $v_s$ dell’auto $A$ al momento del sorpasso, cioè:

(8) $\begin{equation*} v_s = v_A(t_s) = v_A + a t_s. \end{equation*}$

Nella seconda equazione del sistema (2) abbiamo sostituito $t=t_s$ . Il risultato di questo calcolo, ottenuto sostituendo il valore di $t_s$ precedentemente determinato e i valori forniti dal testo nell’equazione precedente, è