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Moto rettilineo uniformemente accelerato 19

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Ottieni il documento contenente 4 esercizi sul moto rettilineo uniforme e 21 esercizi risolti sul moto rettilineo uniformemente accelerato, contenuti in 43 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. È inoltre presente un file di teoria relativo al moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

Esercizio 19 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un motociclista che sta viaggiando alla velocità di modulo v_0 = 80\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} su di un piano orizzontale vede comparire la segnalazione rossa ad un semaforo posto alla distanza d = 100\ \text{m}, come rappresentato in figura 1. Calcolare:

  1. il modulo a della decelerazione costante che si deve impartire tramite i freni alla moto per potersi fermare al semaforo;
  2. l’istante di tempo t_1 in cui il motociclista si ferma;
  3. se il tempo che intercorre tra il segnale rosso e quello verde è di t^* = 6\ \text{s}, quando il motociclista si trova alla distanza d, calcolare il valore della decelerazione costante a^* per passare esattamente al momento dell’illuminazione del verde;
  4. se in prossimità del semaforo c’è un vigile, il motociclista prenderà una multa per aver superato il limite di 50\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}?

Nella figura 1, per analizzare l’evento fisico descritto nell’esercizio, è stato scelto un sistema di riferimento fisso Oxy, in cui il motociclista si trova in O all’istante iniziale e il semaforo è posizionato a x_1 = d.

 
 

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Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme la sua legge oraria è

(1)   \begin{equation*} \boxed{x(t)=x_i+v(t-t_i),} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v è la velocità costante e t_i è l’istante in cui ha inizio il moto. \bigbreak \noindent Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(2)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.


Svolgimento punto 1.

Indichiamo con v_1 il modulo della velocità con cui la moto arriva in x_1; si ha v_1 = 0 poiché deve fermarsi. Si utilizza la legge del moto rettilineo uniformemente accelerato che collega le posizioni con le rispettive velocità e con l’accelerazione, ovvero la terza equazione nel sistema \eqref{due}. Pertanto, l’accelerazione necessaria per arrestarsi al semaforo è:

(3)   \begin{equation*} a = -\frac{v_0^2}{2d} = -\frac{(80\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1})^2}{2\cdot 100\ \text{m}} = -\frac{(22,2\ \text{m/s})^2}{2\cdot 100\ \text{m}} . \end{equation*}

Si osservi che nell’ultimo passaggio si è usata la conversione: 1\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{10}{36}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. Troviamo quindi:

(4)   \begin{equation*} a = -\text{2,5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}. \end{equation*}

Quest’ultima rappresenta la componente dell’accelerazione con il quale si muove il motociclica, chiaramente è negativa, in quanto essendo una decelerazione punta nel semiasse negativo delle x. Concludiamo che il modulo dell’accelerazione è

    \[\boxcolorato{fisica}{\displaystyle \left \vert a\right \vert = \text{2,5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}\]


Svolgimento punto 2.

Dalla seconda equazione nel sistema~\eqref{due}, utilizzando l’espressione per l’accelerazione appena calcolata e considerando che v_1=0, possiamo calcolare l’istante di tempo t_1 come segue:

(5)   \begin{equation*} t_1 = \frac{v_1 - v_0}{a} = \frac{-v_0}{a} = \frac{2d}{v_0} = \frac{2 \cdot 100}{22.2}\ \text{s}. \end{equation*}

Calcolando il valore numerico, otteniamo:

    \[\boxcolorato{fisica}{t_1 = \text{9,0}\ \text{s}.}\]


Svolgimento punto 3.

Determiniamo l’accelerazione a^* necessaria per percorrere la distanza d in un tempo t^* = 6\ \text{s}, partendo dalle stesse condizioni iniziali x_0 = 0 e v_0. Utilizzando la prima equazione del sistema \eqref{due} con questi dati, otteniamo:

(6)   \begin{equation*} d = x(t^*) = v_0t^* + \frac{1}{2}a^*{t^*}^2 \quad \Longrightarrow \quad a^* = \frac{2}{{t^*}^2}(d - v_0t^*) = \frac{2}{6^2}(100 - \text{22,2}\cdot 6)\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}. \end{equation*}

Di conseguenza, si trova:

    \[\boxcolorato{fisica}{a^* = -\text{1,8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}\]


Svolgimento punto 4.

Per determinare se il motociclista supera il limite di velocità di 50\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} quando raggiunge il semaforo, possiamo nuovamente utilizzare la seconda equazione del sistema \eqref{due}, cioè:

(7)   \begin{equation*} v(t^*) = v_0 + a^*t^* = (\text{22,2} - \text{1,8}\cdot 6)\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. \end{equation*}

Calcolando il valore numerico, otteniamo:

    \[\boxcolorato{fisica}{v(t^*) = \text{11}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} = 40\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}.}\]

Pertanto, il motociclista non ha superato il limite di velocità di 50\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} quando ha raggiunto il semaforo, poiché la sua velocità è risultata inferiore a tale limite e dunque non prederà la multa.

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