Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 12

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 12: in questo articolo presentiamo il dodicesimo esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e quello successivo:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 12

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’automobile $A$ , inizialmente ferma, viene superata da un’altra automobile $B$ in moto con una velocità costante $v_{B}=\;\text{27,8 m}\cdot \text{s}^{-1}$ . Al momento del sorpasso l’automobile $A$ si mette in moto con accelerazione costante pari a $a_{A}=a=5\;\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$ . Considerando le due automobili come punti materiali, determinare:

Il tempo impiegato dall’automobile $A$ per raggiungere l’automobile $B$ .
La distanza dal punto di partenza in cui ciò avviene.

Figura 1: schema dell’esercizio.

Richiami teorici.

Scelto un opportuno sistema di riferimento fisso $Ox$

, valgono i seguenti fatti.

Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi
(1) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t) = x_{i}+v_{i}(t-t_{i})+\frac{1}{2}a(t-t_i)^{2}\\[10pt] v(t)=v_{i}+a(t-t_{i})\\[10pt] v^{2}(x)=v_{i}^{2}+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante, e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto.
Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme è descritto dalla seguente legge oraria

(2) $\begin{equation*} x(t)=x_i+v(t-t_i), \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v$ è la velocità costante del corpo, e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo il sistema (1) e l’equazione (2) durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento punto 1.

Per risolvere il problema, si introduca un sistema di riferimento $Ox$ come in figura 1 con origine coincidente con il punto in cui si trova la macchina $A$ quando è ferma, ovvero nell’istante iniziale $t=0$ . Ricaviamo le leggi orarie di entrambe le auto. Il punto materiale $A$ si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, che è descritto con la legge oraria (1) $_{1}$ . Indichiamo con $x_A$ la posizione della macchina $A$ nel sistema di riferimento introdotto. La macchina $A$ parte da ferma dall’origine del sistema di riferimento, quindi all’istante iniziale $x_A=0$ , la sua velocità iniziale $v_i$ è nulla, $v_i=0$ , ed inizia a muoversi con un’accelerazione di modulo costante $a_A>0$ . Sostituendo queste condizioni iniziali nell’equazione (1) $_{1}$ , si ottiene

(3) $\begin{equation*} x_A(t)=\frac{1}{2}at^2,\quad \text{per $t\geq0$}. \end{equation*}$

Ricaviamo la legge oraria per il moto della macchina $B$ . Questa si muove di un moto rettilineo uniforme, descritto con la legge oraria (1) $_{2}$ . Indicando con $v_{B}$ la velocità costante di $B$ , segue la relazione

(4) $\begin{equation*} x_B=v_Bt,\quad \text{per $t\geq0$}. \end{equation*}$

All’istante di tempo $t_1$ in cui le due macchine si incontrano, la loro posizione coincide,

(5) $\begin{equation*} x_A(t_1)=x_B(t_1), \end{equation*}$

sfruttando le equazioni (3) e (4) si trova,

(6) $\begin{equation*} \frac{1}{2}at_1^2=v_Bt_1, \end{equation*}$

da cui

(7) $\begin{equation*} \frac{1}{2}at_1^2-v_Bt_1=0, \end{equation*}$

o anche

(8) $\begin{equation*} t_1\left(\frac{1}{2}at_1-v_B\right)=0, \end{equation*}$

che ha come soluzioni $t_1=0$ oppure $t_1={2v_B}/{a}$ . La prima soluzione rappresenta l’istante iniziale, ovvero l’istante in cui entrambe le macchine si trovano sull’origine del sistema di riferimento. La seconda soluzione rappresenta l’istante di tempo in cui le due auto si incontrano nuovamente, ovvero l’istante in cui l’auto $A$ sorpassa $B$ . Sostituendo con i valori numerici forniti dal problema, si conclude che

$\boxcolorato{fisica}{ t=\text{11,1\;s}.}$

Svolgimento punto 2.

Per risolvere il secondo punto del problema, basta sostituire il valore $t=40\;s$ appena trovato in una delle due leggi orarie che descrivono il moto di $A$ e $B$ . Infatti, al tempo $t$ appena calcolato la posizione delle due macchine coincide. Prendiamo per semplicità la legge oraria di $B$ , cioè l’equazione (4). Si ha, sostituendo i valori noti quanto segue

$\boxcolorato{fisica}{ x_B(t)=\text{308\;m}.}$

Scarica gli esercizi svolti

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