Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 13

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 13: in questo articolo presentiamo il tredicesimo esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e quello successivo:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 13

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In figura 1 è rappresentato un sistema di riferimento fisso $Ox$ e due punti materiali $A$ e $B$ . Entrambi i punti materiali $A$ e $B$ sono vincolati a muoversi lungo l’asse delle $x$ . Il punto materiale $A$ parte all’istante $t=0$ con velocità iniziale $\vec{v}=v_0\,\hat{x}$ dall’origine del sistema di riferimento introdotto e si muove lungo il verso positivo dell’asse $x$ con accelerazione costante e opposta al moto $\vec{a}=-a\hat{x}$ , con $v_0>0$ e $a>0$ e $\hat{x}$ versore dell’asse delle $x$ . Il secondo punto $B$ parte con velocità iniziale nulla all’istante $t=0$ dalla posizione $x=x_0>0$ e accelera lungo l’asse $x$ uniformemente con accelerazione $\vec{a}=a\,\hat{x}$ , con $a>0$ . Determinare

se il primo punto può raggiungere il secondo;
studiare il caso numerico $v_{0}=6\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , $a=2\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ , $x_{0}=\text{4,5\;m}$ .

Figura 1.

Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t) = x_{i}+v_{i}(t-t_{i})+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^{2}\\[10pt] v(t)=v_{i}+a(t-t_{i})\\[10pt] v^{2}(x)=v_{i}^{2}+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto. Sfrutteremo il sistema (1) durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento punto 1.

Si chiamino $A$ e $B$ rispettivamente il primo e il secondo punto del problema (si veda la figura 1). Il punto $A$ si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato lungo l’asse $x$ con accelerazione $-a\,\hat{x}$ , mentre il punto $B$ di moto uniformemente accelerato, con accelerazione $a\,\hat{x}$ . Utilizziamo l’equazione (1) $_1$ per entrambi i moti, sfruttando le condizioni iniziali che il problema fornisce. Le leggi orarie di $A$ e $B$ sono rispettivamente

(2) $\begin{equation*} x_A(t)=v_0t-\frac{1}{2}at^2 \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} x_B(t)=x_0+\frac{1}{2}at^2. \end{equation*}$

Le equazioni di sopra sono valide per $t\geq 0$ . Dobbiamo verificare se $A$ riuscirà a raggiungere $B$ . Uguagliamo le due leggi orarie, ottenendo

(4) $\begin{equation*} x_A(t)=x_B(t), \end{equation*}$

da cui sfruttando le equazioni (2) e (3) la precedente equazione diventa

(5) $\begin{equation*} v_0t-\frac{1}{2}at^2=x_0+\frac{1}{2}at^2 \end{equation*}$

cioé,

(6) $\begin{equation*} at^2-v_0t+x_0=0. \end{equation*}$

L’equazione (6) è un’equazione di secondo grado rispetto alla variabile $t$ . Affinché la precedente equazione abbia soluzioni reali deve valere

(7) $\begin{equation*} \Delta=v_0^2-4ax_0\geq0, \end{equation*}$

o anche

(8) $\begin{equation*} \boxed{v_0^2\geq4ax_0.} \end{equation*}$

Se viene rispettata questa condizione, il punto $A$ riuscirà a raggiungere il punto $B$ .

Svolgimento punto 2.

Tramite i dati a disposizione notiamo che la condizione (8) è rispettata. I punti si incontreranno in un determinato punto $x$

all’istante di tempo

(9) $\begin{equation*} t_{1,2}=\dfrac{v_0\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \end{equation*}$

dove $\Delta=0$ , per cui la precedente equazione si riduce ad

(10) $\begin{equation*} t_{1,2}=\dfrac{v_0}{2a}, \end{equation*}$

che numericamente vale

(11) $\begin{equation*} t=\text{1,5\;s}. \end{equation*}$

Scarica gli esercizi svolti

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