Moto rettilineo uniformemente accelerato 13

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In figura 1 è rappresentato un sistema di riferimento fisso Ox e due punti materiali A e B. Entrambi i punti materiali A e B sono vincolati a muoversi lungo l’asse delle x. Il punto materiale A parte all’istante t=0 con velocità iniziale \vec{v}=v_0\,\hat{x} dall’origine del sistema di riferimento introdotto e si muove lungo il verso positivo dell’asse x con accelerazione costante e opposta al moto \vec{a}=-a\hat{x}, con v_0>0 e a>0 e \hat{x} versore dell’asse delle x. Il secondo punto B parte con velocità iniziale nulla all’istante t=0 dalla posizione x=x_0>0 e accelera lungo l’asse x uniformemente con accelerazione \vec{a}=a\,\hat{x}, con a>0. Determinare

  1. se il primo punto può raggiungere il secondo;
  2. studiare il caso numerico v_{0}=6\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}, a=2\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}, x_{0}=\text{4,5\;m}.

 

 

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Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t) = x_{i}+v_{i}(t-t_{i})+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^{2}\\[10pt] v(t)=v_{i}+a(t-t_{i})\\[10pt] v^{2}(x)=v_{i}^{2}+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto. Sfrutteremo il sistema (1) durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

 


Svolgimento. Punto 1.

Si chiamino A e B rispettivamente il primo e il secondo punto del problema (si veda la figura 1). Il punto A si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato lungo l’asse x con accelerazione -a\,\hat{x}, mentre il punto B di moto uniformemente accelerato, con accelerazione a\,\hat{x}. Utilizziamo l’equazione (1)_1 per entrambi i moti, sfruttando le condizioni iniziali che il problema fornisce. Le leggi orarie di A e B sono rispettivamente

(2)   \begin{equation*} x_A(t)=v_0t-\frac{1}{2}at^2 \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} x_B(t)=x_0+\frac{1}{2}at^2. \end{equation*}

Le equazioni di sopra sono valide per t\geq 0. Dobbiamo verificare se A riuscirà a raggiungere B. Uguagliamo le due leggi orarie, ottenendo

(4)   \begin{equation*} x_A(t)=x_B(t), \end{equation*}

da cui sfruttando le equazioni (2) e (3) la precedente equazione diventa

(5)   \begin{equation*} v_0t-\frac{1}{2}at^2=x_0+\frac{1}{2}at^2 \end{equation*}

cioé,

(6)   \begin{equation*} at^2-v_0t+x_0=0. \end{equation*}

L’equazione (6) è un’equazione di secondo grado rispetto alla variabile t. Affinché la precedente equazione abbia soluzioni reali deve valere

(7)   \begin{equation*} \Delta=v_0^2-4ax_0\geq0, \end{equation*}

o anche

(8)   \begin{equation*} \boxed{v_0^2\geq4ax_0.} \end{equation*}

Se viene rispettata questa condizione, il punto A riuscirà a raggiungere il punto B.

 


Svolgimento. Punto 2.

Tramite i dati a disposizione notiamo che la condizione (8) è rispettata. I punti si incontreranno in un determinato punto x all’istante di tempo

(9)   \begin{equation*} t_{1,2}=\dfrac{v_0\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \end{equation*}

dove \Delta=0, per cui la precedente equazione si riduce ad

(10)   \begin{equation*} t_{1,2}=\dfrac{v_0}{2a}, \end{equation*}

che numericamente vale

(11)   \begin{equation*} t=\text{1,5\;s}. \end{equation*}

 

 

 

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