Moto rettilineo uniformemente accelerato 14

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). In una serata nebbiosa un ragazzo accompagna la fidanzata alla partenza del treno. Quando il treno parte, con accelerazione a_{t}=3600\;\text{km}\cdot\text{h}^{-2}, il ragazzo comincia a correre lungo la banchina con accelerazione a_{r}=1400\;\text{km}\cdot\text{h}^{-2}. Supponendo che il ragazzo, a causa della nebbia, non riesca a vedere la fidanzata se la distanza tra lui e il treno supera i 50\;{\text{m}}, si determini dopo quanto tempo il ragazzo non riesce più a vedere la fidanzata. Si considerino il ragazzo e il treno come punti materiali.

 

 

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Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t) = x_{i}+v_{i}(t-t_{i})+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^{2}\\[10pt] v(t)=v_{i}+a(t-t_{i})\\[10pt] v^{2}(x)=v_{i}^{2}+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto. Sfrutteremo il sistema (1) durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.


Svolgimento.

Introduciamo un sistema di riferimento Ox fisso, con l’asse x coincidente con il piano sul quale poggia il treno (si veda la figura 1). Si assuma che all’istante t_0=0 il ragazzo si trovi nell’origine del sistema di riferimento introdotto, quindi in corrispondenza dell’origine O coincidente con il punto di partenza del treno all’istante di tempo t_0=0. Il ragazzo inizia a correre nel verso positivo dell’asse x dallo stesso punto e allo stesso istante in cui parte il treno. Il treno e il ragazzo si muovono di moto rettilineo uniformemente accelerato rispetto al sistema di riferimento fisso Ox, rispettivamente con accelerazione a_{t} e a_{r}, tale per cui a_{t}\neq a_{r}. Applicando l’equazione (1)_1, è possibile determinare la legge oraria che descrive il moto del treno e del ragazzo, sapendo che per entrambi la velocità iniziale v_i è nulla. Si ottiene:

(2)   \begin{equation*} x_{t}(t)=\frac{1}{2}a_{t}t^2 \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} x_{r}(t)=\frac{1}{2}a_{r}t^2. \end{equation*}

Le due precedenti equazioni sono valide per t\geq0. Si osservi che abbiamo posto che la posizione iniziale del treno e del ragazzo sia la stessa e uguale a zero, perché entrambi partono dall’origine del sistema di riferimento introdotto. Vogliamo calcolare, dal momento della partenza, dopo quanto tempo il ragazzo non riesce più a vedere la fidanzata che sta sul treno. Sappiamo dai dati del problema che il ragazzo perde di vista il treno appena la loro distanza è maggiore di 50\;\text{m}. Calcoliamo allora l’istante di tempo t in cui il treno e il ragazzo distano esattamente d=50\;\text{m}. Imponiamo.

(4)   \begin{equation*} d=x_{t}-x_{r} \end{equation*}

Sostituendo nella precedente equazione (4) le leggi orarie (2) e (3), troviamo

(5)   \begin{equation*} d=\frac{1}{2}a_{t}t^2-\frac{1}{2}a_{r}t^2, \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} d=\frac{1}{2}t^2(a_{t}-a_{r}), \end{equation*}

cioè

(7)   \begin{equation*} t^2=\frac{2d}{(a_{t}-a_{r})}, \end{equation*}

o anche

(8)   \begin{equation*} t=\sqrt{\frac{2d}{(a_{t}-a_{r})}}. \end{equation*}

Sostituendo d=50\;\text{m} nella precedente equazione, si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{ t=\sqrt{\frac{2d}{(a_{t}-a_{r})}}=24.3\:\text{s}.}\]


Osservazione.

La differenza tra le due accelerazioni a_{t}-a_{r} è uguale all’accelerazione del treno rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il ragazzo. Correndo il ragazzo ad un’accelerazione a_{r} nello stesso verso del treno, rispetto al suo punto di vista il treno sta accelerando con un’accelerazione minore a'_{t}=(a_{t}-a_{r})<a_{t}. Si sarebbe potuto quindi risolvere il problema introducendo un nuovo sistema di riferimento, con il ragazzo fermo nell’origine e il treno che si allontana da lui con moto rettilineo uniformemente accelerato di accelerazione a'_{t}. Richiedendo una distanza percorsa dal treno pari a d e sfruttando (1)_1, si sarebbe ottenuta l’equazione (6), da cui la soluzione.