Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 1

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 1: in questo articolo presentiamo il primo esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio successivo e l’ultimo della serie:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 1

Esercizio1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In figura è riportata la dipendenza della velocità nell’intervallo di tempo nell’intervallo $t_0=0\;\text{s}$ e $t_1=19\;\text{s}$ . Calcolare

a) lo spazio $\Delta x$ percorso nell’intervallo di tempo $t_1- t_0$ ;

b) l’accelerazione ai tempi $t_2=3\;\text{s}$ , $t_3=7\;\text{s}$ e $t_4=17\;\text{s}$ .

Figura 1.

Svolgimento punto a.

Si ricorda la definizione di velocità istantanea $v(t)$ , data dalla derivata dello spazio rispetto al tempo, che descrive la velocità di un punto materiale in un istante dato, cioè

(1) $\begin{equation*} v(t)=\frac{dx}{dt}. \end{equation*}$

Integrando ambo i membri di (1) nell’intervallo $\Delta=t_1-t_0$ si ottiene che lo spazio $\Delta x$ cercato, ovvero

(2) $\begin{equation*} \int^{t_1}_{t_0}\frac{dx}{dt}\,dt=\int^{t_1}_{t_0}v(t)\,dt\quad \Leftrightarrow\quad \Delta x=x(t_1)-x(t_0)=\int^{t_1}_{t_0} v(t) dt. \end{equation*}$

Dato l’andamento di $v(t)$ rappresentato in figura 1, deduciamo che lo spazio percorso non è che l’area sottesa[1]. alla curva data tra i due istanti di tempo $t_0$ e $t_1$ . Ricordando come si calcola l’area di un trapezio, segue la soluzione:

$\boxcolorato{fisica}{ \Delta x = \frac{4(19+10)}{2}\;\text{m}=58\;\text{m}.}$

Svolgimento punto b.

Per calcolare le varie accelerazioni richieste è sufficiente osservare che l’andamento della velocità è descritto da tre rette distinte: due oblique e una orizzontale. Nell’intervallo $[t_0,5\,\text{s}]$ la velocità aumenta, pertanto il moto è rettilineo uniformemente accelerato. Nell’intervallo $[5\,\text{s},\,\text{15}\,\text{s}]$ la retta è orizzontale, dunque, il moto è rettilineo uniforme, in altri termini la velocità è costante. Nell’intervallo $[15\,\text{s},\,\text{20}\,\text{s}]$ la velocità diminuisce nel tempo, quindi il moto è rettilineo uniformemente decelerato. Ora, ricordando la nota formula del moto rettilineo uniformemente accelerato $v(t)=v_0+at$ , è chiaro che l’accelerazione coincide con il coefficiente angolare della retta. Per quanto detto è utile sfruttare la nota formula di geometria analitica $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ , dove $(x_1,y_1)$ e $(y_2,x_2)$ sono due generici punti in un sistema di assi orientati $Oxy$ , per trovare facilmente le varie accelerazioni. Per la prima retta prendiamo i punti $(t_0,0)$ e $(5\,\text{m},\,4\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1})$ e otteniamo:

(3) $\begin{equation*} m_1=a_1=\dfrac{4-0}{5-0}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}=\text{0,8}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}. \end{equation*}$

Per la seconda retta, essendo orizzontale, si deduce che il coefficiente angolare è nullo e di conseguenza anche l’accelerazione, essendo coincidenti. Infine, per la terza retta, replicando lo stesso procedimento per la prima retta, prendendo come punti $(15\,\text{s},\,4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1})$ e $(t_1,\,0)$ , si ottiene

(4) $\begin{equation*} m_3=a_3=\dfrac{0-4}{19-15}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}=-1\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}. \end{equation*}$

Essendo le tre accelerazioni costanti la risposta del punto b) è immediata.

1. Il valore di un integrale definito $\int_{t_1}^{t_2} f(t) dt$ è dato dall’area sottesa dal grafico $f(t)$ nell’intervallo di integrazione. ↩

Fonte.

P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci – Elementi di fisica, EdiSES.

Scarica gli esercizi svolti

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