Moto rettilineo uniformemente accelerato 1

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In figura è riportata la dipendenza della velocità nell’intervallo di tempo nell’intervallo t_0=0\;\text{s} e t_1=19\;\text{s}. Calcolare

a) lo spazio \Delta x percorso nell’intervallo di tempo t_1- t_0;

b) l’accelerazione ai tempi t_2=3\;\text{s}, t_3=7\;\text{s} e t_4=17\;\text{s}.

 

 

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Svolgimento Punto a

Si ricorda la definizione di velocità istantanea v(t), data dalla derivata dello spazio rispetto al tempo, che descrive la velocità di un punto materiale in un istante dato, cioè

(1)   \begin{equation*} v(t)=\frac{dx}{dt}. \end{equation*}

Integrando ambo i membri di (1) nell’intervallo \Delta=t_1-t_0 si ottiene che lo spazio \Delta x cercato, ovvero

(2)   \begin{equation*} \int^{t_1}_{t_0}\frac{dx}{dt}\,dt=\int^{t_1}_{t_0}v(t)\,dt\quad \Leftrightarrow\quad \Delta x=x(t_1)-x(t_0)=\int^{t_1}_{t_0} v(t) dt. \end{equation*}

Dato l’andamento di v(t) rappresentato in figura 1, deduciamo che lo spazio percorso non è che l’area sottesa[1]. alla curva data tra i due istanti di tempo t_0 e t_1. Ricordando come si calcola l’area di un trapezio, segue la soluzione:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta x = \frac{4(19+10)}{2}\;\text{m}=58\;\text{m}.}\]

 

Soluzione punto b.

Per calcolare le varie accelerazioni richieste è sufficiente osservare che l’andamento della velocità è descritto da tre rette distinte: due oblique e una orizzontale. Nell’intervallo [t_0,5\,\text{s}] la velocità aumenta, pertanto il moto è rettilineo uniformemente accelerato. Nell’intervallo [5\,\text{s},\,\text{15}\,\text{s}] la retta è orizzontale, dunque, il moto è rettilineo uniforme, in altri termini la velocità è costante. Nell’intervallo [15\,\text{s},\,\text{20}\,\text{s}] la velocità diminuisce nel tempo, quindi il moto è rettilineo uniformemente decelerato. Ora, ricordando la nota formula del moto rettilineo uniformemente accelerato v(t)=v_0+at, è chiaro che l’accelerazione coincide con il coefficiente angolare della retta. Per quanto detto è utile sfruttare la nota formula di geometria analitica m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1), dove (x_1,y_1) e (y_2,x_2) sono due generici punti in un sistema di assi orientati Oxy, per trovare facilmente le varie accelerazioni. Per la prima retta prendiamo i punti (t_0,0) e (5\,\text{m},\,4\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) e otteniamo:

(3)   \begin{equation*} m_1=a_1=\dfrac{4-0}{5-0}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}=\text{0,8}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}. \end{equation*}

Per la seconda retta, essendo orizzontale, si deduce che il coefficiente angolare è nullo e di conseguenza anche l’accelerazione, essendo coincidenti. Infine, per la terza retta, replicando lo stesso procedimento per la prima retta, prendendo come punti (15\,\text{s},\,4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}) e (t_1,\,0), si ottiene

(4)   \begin{equation*} m_3=a_3=\dfrac{0-4}{19-15}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}=-1\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}. \end{equation*}

Essendo le tre accelerazioni costanti la risposta del punto b) è immediata.

 

 

1. Il valore di un integrale definito \int_{t_1}^{t_2} f(t) dt è dato dall’area sottesa dal grafico f(t) nell’intervallo di integrazione.

 

 

Fonte.

P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci – Elementi di fisica, EdiSES.