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Ottieni il documento contenente 4 esercizi sul moto rettilineo uniforme e 21 esercizi risolti sul moto rettilineo uniformemente accelerato, contenuti in 43 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. È inoltre presente un file di teoria relativo al moto rettilineo uniformemente accelerato.
Esercizio 2 . Si sta progettando una nuova metropolitana sotterranea. Schematicamente la tratta è la seguente:
- : treno fermo;
- : tratto di percorso ad una accelerazione costante ;
- : tratto di percorso ad una velocità costante ;
- : tratto di percorso ad una decelerazione costante .
- si calcoli il valore dell’accelerazione in necessaria per raggiungere in la velocità prevista nel tratto ;
- si calcoli il valore della decelerazione in necessaria per arrestarsi nel punto , cominciando a frenare in ;
- si calcoli il tempo di percorrenza nel tratto ;
- Si rappresenti su un grafico l’accelerazione, la velocità e la posizione in funzione del tempo in modo qualitativo.
Richiami teorici.
(1)
dove è la posizione iniziale, è la velocità costante e è l’istante in cui ha inizio il moto.
Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi
(2)
dove è la posizione iniziale, è la velocità iniziale, è l’accelerazione costante e è l’istante dell’inizio del moto.
Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.
Premessa. Scegliamo un sistema di riferimento fisso con , come in figura 1.
La figura 1 mostra tutti i dettagli del problema, ovvero che il treno parte all’istante e in corrispondenza di tale istante si trova in . Parte da fermo e nel tratto si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante pari ad , arrivando in con una velocità di modulo pari ad . Dopo di che, si muove di moto rettilineo uniforme, di conseguenza arriverà in con velocità di modulo pari a . Infine, nel tratto si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato con decelerazione costante pari ad , arrivando in con velocità nulla. Dalla figura 1 si deduce che è il tempo impiegato per percorrere , è il tempo impiegato per percorre e è il tempo impiegato per percorrere .
Svolgimento Punto 1.
(3)
cioè
Svolgimento Punto 2.
(4)
da cui
Si osservi che è negativa perché è una decelerazione.
Svolgimento Punto 3.
(5)
Nel tratto il treno si muove di moto rettilineo uniforme, pertanto sfruttiamo l’equazione (1). Imponiamo , , , ottenendo
(6)
Nel tratto il moto del treno è rettilineo uniformemente decelerato, pertanto possiamo applicare l’equazione (2). Imponiamo , , e , ottenendo
(7)
Sommando tutti i tempi ottenuti si ottiene
Svolgimento. Punto 4.
(8)
Si osservi che nell’intervallo di tempo abbiamo posto l’accelerazione pari a zero perché il moto è rettilineo uniforme. Il grafico dell’accelerazione è riportato di seguito, in figura 2.
Per determinare la legge della velocità sfruttiamo l’equazione (2) e ricordiamo che nell’intervallo di tempo la velocità è costante e di modulo pari ad . La legge analitica della velocità è pari ad
(9)
Per determinare la legge sfruttiamo l’equazione (1) e l’equazione (2). Si ha
(10)
Si osservi che e sono funzioni continue in tutto il loro dominio, mentre è discontinua in e . In particolare nel punto si ha una discontinuità di prima specie con un salto pari ad , mentre nel punto si ha una discontinuità di prima specie con un salto pari ad .
Fonte.