Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 9

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 9: in questo articolo presentiamo il nono esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e quello successivo:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 9

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In figura 1 è rappresentato un sistema di riferimento fisso $Ox$ e due punti materiali $A$ ed $B$ . Entrambi i punti materiali $A$ ed $B$ sono vincolati a muoversi lungo l’asse delle $x$ . Il punto materiale $A$ parte all’istante $t=0$ con velocità iniziale $\vec{v}=v_0\,\hat{x}$ , dall’origine del sistema di riferimento introdotto, con accelerazione pari ad $\vec{a}=-a\,\hat{x}$ , dove $v_0>0$ e $a>0$ , ed $\hat{x}$ è il versore dell’asse delle $x$ . Il punto materiale $B$ parte con velocità iniziale nulla all’istante $t=0$ dalla posizione $x=x_0>0$ , ed si muove con accelerazione pari ad $\vec{a}=a\,\hat{x}$ , con $a>0$ . Si determini

se il primo punto può raggiungere il secondo;
studiare il caso numerico $v_{0}=6\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , $a=2\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ , $x_{0}=4,5\;{\text{m}}$ .

Figura 1.

Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t) = x_{i}+v_{i}(t-t_{i})+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^{2}\\[10pt] v(t)=v_{i}+a(t-t_{i})\\[10pt] v^{2}(x)=v_{i}^{2}+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto. Sfrutteremo il sistema (1) durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento punto 1.

Il punto $A$ si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato lungo l’asse delle $x$ con decelerazione costante pari ad $-a<0$ , mentre il punto $B$ si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, con accelerazione costante pari ad $a>0$ . Per determinare la legge oraria di $A$ e $B$ utilizziamo l’equazione (1) $_1$ , sfruttando le condizioni iniziali che il problema fornisce. Le leggi orarie di $A$ e $B$ sono rispettivamente

(2) $\begin{equation*} x_A(t)=v_0t-\frac{1}{2}at^2 \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} x_B(t)=x_0+\frac{1}{2}at^2. \end{equation*}$

Dobbiamo verificare se $A$ riuscirà a raggiungere $B$ . Imponiamo che i due punti materiali si incontrino, cioè che valga

(4) $\begin{equation*} x_A(t)=x_B(t), \end{equation*}$

da cui, sfruttando le equazioni (2) e (3), si ottiene

(5) $\begin{equation*} v_0t-\frac{1}{2}at^2=x_0+\frac{1}{2}at^2, \end{equation*}$

cioé

(6) $\begin{equation*} at^2-v_0t+x_0=0. \end{equation*}$

L’equazione (6) è un’equazione di secondo grado rispetto alla variabile $t$ . Affinché i due punti materiali si incontrino deve valere

(7) $\begin{equation*} v_0^2-4ax_0\geq0, \end{equation*}$

o anche

(8) $\begin{equation*} v_0^2\geq4ax_0. \end{equation*}$

Se viene rispettata questa condizione, il punto $A$ riuscirà a raggiungere il punto $B$ .

Svolgimento punto 2.

Sostituendo i valori numerici forniti dal testo nella disequazione (8), si ha

(9) $\begin{equation*} 36\,\text{m}^2\cdot \text{s}^{-2}\geq 4 \cdot 2\cdot \,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\cdot\text{4,5}\cdot \text{m}=36\,\text{m}^2, \end{equation*}$

che risulta essere vera, pertanto i punti $A$ ed $B$ si incontreranno. Sostituendo i valori numerici nell’equazione (6), si ottiene

(10) $\begin{equation*} 2\,(\text{m}\cdot \text{s}^{-2})\,t^2-6\,(\text{m}\cdot \text{s}^{-1})\,t+\text{4,5 m}=0, \end{equation*}$

che ha come soluzione

$\boxcolorato{fisica}{ t=1,5\;{\text{s}}.}$

Sostituendo $t=1,5\;{\text{s}}$ nell’equazione (2), si ha

$\boxcolorato{fisica}{ x_A(1,5\;{\text{s}})=6\,(\text{m}\cdot \text{s}^{-1})\,\text{1,5}\,(\text{s})-\frac{1}{2}\, 2\,(\text{m}\cdot\text{s}^{-2})\,\text{1,5}^2\,(\text{s}^2)=\text{6,75 m}.}$

Scarica gli esercizi svolti

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