Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 7

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Home » Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 7

Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 7: in questo articolo presentiamo il settimo esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e quello successivo:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 7

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un rally automobilistico un pilota percorre uno spazio $d$ , partendo e arrivando da fermo. Le caratteristiche dell’auto sono tali che per un tratto $x_1<d$ acceleri con un accelerazione costante pari ad $a_1$ . Successivamente in un secondo tratto $x_2=d-x_1$ l’auto frena con una decelerazione costante $a_2<0$ , fino a fermarsi. Supponendo che il moto sia rettilineo, calcolare il tempo $t_T$ ottenuto nella prova. Nella figura che segue abbiamo denotato $v_i=0$ la velocità iniziale e $v_f=0$ la velocità finale del moto della macchina.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1.

Schema di un'auto in moto rettilineo uniformemente accelerato e poi decelerato. L'auto parte da ferma, accelera fino alla distanza x1 con accelerazione costante a1, poi frena con accelerazione negativa a2 fino a fermarsi alla distanza d.

Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\[10pt] v(t)=v_i+a(t-t_i)\\[10pt] v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Ox$ , come nella figura di sopra. Denotiamo con $x$ la posizione nel generico istante $t>0$ dell’auto, rispetto al sistema di riferimento scelto. Per $0\leq x\leq x_1$ l’auto si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante $a_1>0$ , partendo da ferma nella posizione iniziale $x=0$ , mentre per $x_1\leq x\leq d$ l’auto si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato con decelerazione costante $a_2<0$ , arrivando a fermarsi nella posizione finale $x=d$ . Sfruttando l’equazione (1), per i due tratti $x_1$ e $d-x_1$ , si ha rispettivamente

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} v^2\left(x_1\right)=2x_1a_1\\ v^2\left(x_2\right)=0=v^2\left(x_1\right)+2a_2\left(d-x_1\right), \end{cases} \end{equation*}$

dove $v\left(x_1\right)$ rappresenta la velocità nella posizione $x=x_1$ . La velocità $v\left(x_1\right)$ rappresenta la velocità finale per il primo spazio percorso $x_1$ , mentre per il secondo spazio percorso $d-x_1$ rappresenta la velocità iniziale. Svolgendo i calcoli, dal sistema (2), si ottiene

(3) $\begin{equation*} 2x_1a_1+2a_2\left(d-x_1\right)=0, \end{equation*}$

da cui

(4) $\begin{equation*} x_1\left(\cancel{2}a_1-\cancel{2}a_2\right)=-\cancel{2}a_2d, \end{equation*}$

o anche

(5) $\begin{equation*} x_1=\dfrac{a_2d}{a_2-a_1}=\dfrac{-\vert a_2\vert d}{-\vert a_2\vert-a_1}=\dfrac{\vert a_2\vert d}{\vert a_2\vert+a_1}>0. \end{equation*}$

Dalla prima equazione del sistema (2), sostituendo $x_1$ (ottenuta nella precedente equazione), otteniamo

(6) $\begin{equation*} v^2\left(x_1\right)=\dfrac{2a_1\vert a_2\vert d}{\vert a_2\vert+a_1}, \end{equation*}$

da cui

(7) $\begin{equation*} v\left(x_1\right)=\sqrt{\dfrac{2a_1\vert a_2\vert d}{\vert a_2\vert+a_1}}. \end{equation*}$

Sfruttando la seconda equazione del sistema (1), denotando con $t_1$ il tempo impiegato per percorrere lo spazio $x_1$ , e denotando con $t_2$ il tempo impiegato per percorrere lo spazio $d-x_1$ , si ha

(8) $\begin{equation*} \begin{cases} v\left(t_1\right)=a_1t_1\\ v\left(t_2\right)=0=v\left(t_1\right)+a_2t_2. \end{cases} \end{equation*}$

Notando che $v(t_1)=v(x_1)$ , dal precedente sistema, otteniamo

(9) $\begin{equation*} t_1=\dfrac{v\left(x_1\right)}{a_1} \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} t_2=-\dfrac{v\left(x_1\right)}{a_2}=\dfrac{v\left(x_1\right)}{\vert a_2\vert}>0. \end{equation*}$

Chiamando $t_T$ il tempo totale per percorrere lo spazio $d$ , per le equazioni (9) e (10), si ha

(11) $\begin{equation*} t_T=t_1+t_2=\dfrac{v\left(x_1\right)}{a_1}+\dfrac{v\left(x_1\right)}{\vert a_2\vert}=v\left(x_1\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{\vert a_2\vert}\right)=v\left(x_1\right)\left(\dfrac{\vert a_2\vert+a_1}{a_1\vert a_2\vert}\right), \end{equation*}$

da cui, avvalendoci del risultato ottenuto in (7), si ha

$\boxcolorato{fisica}{ t_T=\left(\dfrac{\vert a_2\vert+a_1}{a_1\vert a_2\vert}\right)\sqrt{\dfrac{2a_1\vert a_2\vert d}{\vert a_2\vert +a_1}}.}$

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 4 esercizi sul moto rettilineo uniforme e 21 esercizi risolti sul moto rettilineo uniformemente accelerato, contenuti in 43 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. È inoltre presente un file di teoria relativo al moto rettilineo uniformemente accelerato.

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.

Document

Menu

Chiudi