Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 21

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 21: in questo articolo presentiamo il ventunesimo e ultimo esercizio della serie dedicata a questo argomento. L’intera raccolta di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e il primo della serie:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 21

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Si consideri un sistema di riferimento fisso $Ox$

con l’asse $x$

diretto come in figura 1. Un punto $P$

si muove nel verso positivo dell’asse $x$

con un’accelerazione costante di modulo $a_1 = \text{3,3 m}\cdot\text{s}^{-2}$

. All’istante $t=0$

, esso si trova in quiete nell’origine $O$

del sistema di riferimento. All’istante $t_1 = \text{8 s}$

, il moto diventa uniformemente decelerato e il punto si arresta all’istante $t_2 = \text{20,6 s}$

Si richiede di calcolare:

Il valore dell’accelerazione $a_2$ tra gli istanti di tempo $t_1 = \text{8 s}$ e $t_2 = \text{20,6 s}$ ;
Lo spazio percorso complessivamente dal punto $P$ .

Sia $O'x'$ un nuovo sistema di riferimento fisso tale che $x'$ sia parallelo a $x$ , come rappresentato in figura 1. Allo stesso istante $t=0$ , un secondo punto $Q$ inizia a muoversi dall’origine $O'$ lungo l’asse $x'$ , con una velocità costante $v_0 > 0$ nella direzione del semiasse positivo dell’asse $x'$ . Si osserva che all’istante $t_1 = \text{8 s}$ , il punto $P$ e il punto $Q$ hanno percorso la stessa distanza.

Si richiede di calcolare:

la distanza percorsa complessivamente dal punto $Q$ all’istante $t_2 = \text{20,6 s}$ .

Figura 1: rappresentazione del moto dei due punti. $P$ si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, $Q$ di moto rettilineo uniforme. Partendo in quiete a $\displaystyle t=0$ , avranno percorso la stessa distanza quando $\displaystyle t=t_{1}$ .

Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme la sua legge oraria è

(1) $\begin{equation*} \boxed{x(t)=x_i+v(t-t_i),} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v$ è la velocità costante e $t_i$ è l’istante in cui ha inizio il moto. Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(2) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto. Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento punto 1.

Il moto del punto $P$ è di tipo uniformemente accelerato: dapprima con accelerazione positiva (con verso concorde all’asse $x$ ) da $t=0$ a $t=t_1$ , e poi con accelerazione negativa (con verso opposto all’asse $x$ ) da $t=t_1$ a $t=t_2$ . Possiamo calcolare posizione e velocità del punto al tempo $t_1$ sfruttando la prima e seconda legge del sistema (2), che sono rispettivamente

(3) $\begin{equation*} x_1^{(P)} = x(t_1) = \frac{1}{2} a_1 t_1^2 \quad , \qquad \,v_1^{(P)} = v(t_1) = a_1 t_1, \end{equation*}$

dove si è considerato che il punto $P$ parte dall’origine ed è inizialmente in quiete. Queste costituiranno, rispettivamente, posizione e velocità iniziali della seconda parte del moto con accelerazione di modulo $a_2$ . Si può calcolare questa accelerazione dalla legge delle velocità, la seconda del sistema (2), sapendo che il punto parte al tempo $t_1$ con velocità $v_1^{(P)}$ e si ferma al tempo $t_2$ , ossia che $v(t_2)=0$ . Abbiamo dunque

(4) $\begin{equation*} v(t_2) = v_1^{(P)} - a_2(t_2-t_1) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad a_2 = \frac{v_1^{(P)}}{t_2-t_1} = \frac{a_1 t_1}{t_2-t_1} . \end{equation*}$

Nell’ultima uguaglianza dell’equazione a destra, abbiamo sostituito la velocità trovata nella formula (3). Inoltre, si osserva che nella precedente equazione abbiamo inserito il segno negativo davanti al modulo $a_2$ perché la componente dell’accelerazione è diretta nel verso negativo dell’asse $x$ .

Sostituendo i valori numerici nella precedente equazione troviamo:

$\boxcolorato{fisica}{\displaystyle a_2 = \text{2,1 m}\cdot\text{s}^{-2}.}$

Svolgimento punto 2.

Lo spazio complessivo percorso da $P$ corrisponde alla posizione raggiunta al tempo $t=t_2$ , che chiamiamo $x_2^{(P)}$ . Per il calcolo possiamo sfruttare la legge oraria, cioé la prima equazione del sistema (2), adattandola alla seconda parte del moto. Imponiamo quindi come posizione iniziale la distanza $x_1^{(P)}$ percorsa nella prima parte, e come velocità iniziale $v_1^{(P)}$ . Facendo ciò si trova:

(5) $\begin{equation*} x_2^{(P)} = x(t_2) = x_1^{(P)} + v_1^{(P)} (t_2-t_1) -\frac{1}{2} a_2 (t_2-t_1)^2. \end{equation*}$

Si osservi che abbiamo posto come tempo iniziale $t_1$ e come il precedente punto abbiamo messo il segno negativo davanti al modulo $a_2$ . Sostituendo i valori di $x_1^{(P)}$ , $v_1^{(P)}$ e $a_2$ trovati in (3) e (4), si trova dalla precedente equazione:

(6) $\begin{equation*} x_2^{(P)} = \frac{1}{2} a_1 t_1^2 + a_1 t_1 (t_2-t_1) - \frac{1}{2} a_1 t_1 (t_2-t_1) = \frac{1}{2} a_1 t_1 t_2 . \end{equation*}$

Sostituendo i valori numerici forniti dal testo nella precedente equazione, si trova che la distanza totale percorsa dal punto $P$ è:

$\boxcolorato{fisica}{\displaystyle x_2^{(P)} = \text{272 m}.}$

Svolgimento punto 3.

Il punto $Q$ , a differenza di $P$ , si muove di moto rettilineo uniforme. Si può utilizzare l’informazione che ci è data sull’incontro tra $P$ e $Q$ per calcolare la velocità incognita $v_0$ . La legge oraria del punto $Q$ , sfruttando (1), vale:

(7) $\begin{equation*} x^{(Q)}(t) = v_0 t\ . \end{equation*}$

Se al tempo $t_1$ i due punti hanno percorso la stessa distanza, che per il punto $P$ vale $x_1^{(P)}$ , allora la legge (7) ci dice che:

(8) $\begin{equation*} x_1^{(P)} = v_0 t_1 \qquad \Longrightarrow \qquad v_0 = \frac{x_1^{(P)}}{t_1} = \frac{1}{2} a_1 t_1 , \end{equation*}$

dove abbiamo nuovamente sostituito $x_1^{(P)}$ dall’equazione (3). Sempre tramite la legge oraria (7) calcoliamo la distanza complessiva percorsa da $Q$ , detta $x_2^{(Q)}$ , come:

(9) $\begin{equation*} x_2^{(Q)} = v_0 t_2 = \frac{1}{2} a_1 t_1 t_2 , \end{equation*}$

in cui si è sostituito $v_0$ dalla (8). Si osservi che l’espressione di $x_2^{(Q)}$ appena trovata è identica a quella di $x_2^{(P)}$ trovata nella (6). Ciò significa che i due punti avranno percorso la stessa distanza, oltre che al tempo $t_1$ , anche al tempo $t_2$ . Senza dover sostituire di nuovo i valori numerici, abbiamo che:

$\boxcolorato{fisica}{x_2^{(Q)} = \text{272 m}.}$

La figura seguente mostra le traiettorie dei punti $P$ (in rosso) e $Q$ (in blu), ossia le loro posizioni in funzione del tempo. Sono ben visibili i due punti di incontro a $t=t_1=\text{8 s}$ e $t=t_2=\text{20.6 s}$ . Le due leggi orarie rappresentate hanno la seguente forma esplicita:

(10) $\begin{align*} x^{(P)}(t) &= \begin{cases*} \displaystyle \frac{1}{2} a_1 t^2\ & \text{se\quad $0 \leq t \leq t_1$} \\[.1cm] \displaystyle \frac{1}{2} a_1 t_1^2 + a_1 t_1 (t-t_1) - \frac{a_1 t_1}{2(t_2-t_1)} (t-t_1)^2\ & \text{se\quad $t_1 \leq t \leq t_2$} \end{cases*} , \\[.2cm] x^{(Q)}(t) &= v_0 t\quad \text{se\quad $0 \leq t \leq t_2$} . \end{align*}$

(11) $\begin{align*} x^{(P)}(t) &= \begin{cases*} \displaystyle \frac{1}{2} a_1 t^2\ & \text{se\quad $0 \leq t \leq t_1$}, \\[.1cm] \displaystyle \frac{1}{2} a_1 t_1^2 + a_1 t_1 (t-t_1) - \frac{a_1 t_1}{2(t_2-t_1)} (t-t_1)^2\ & \text{se\quad $t_1 \leq t \leq t_2$}, \end{cases*} \\[.2cm] x^{(Q)}(t) &= v_0 t\quad \text{se\quad $0 \leq t \leq t_2$} . \end{align*}$

La legge per il punto $P$ è definita a tratti, la prima legge corrisponde al moto uniformemente accelerato e la seconda al moto uniformemente decelerato. Quest’ultima si può ricavare facilmente dalla (5) ponendo un tempo generico $t$ al posto di $t_2$ e sostituendo $x_1^{(P)}$ , $v_1^{(P)}$ e $a_2$ trovati nele formule (3) e (4).

Si può dimostrare con semplici calcoli che $x^{(P)}(t)$ è una funzione continua e derivabile per $t=t_1$ .

$\quad$

Figura 2: leggi orarie dei punti $P$ (in rosso) e $Q$ (in blu).

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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