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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 18

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 18: in questo articolo presentiamo il diciottesimo esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e quello successivo:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

 

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 18

Esercizio 18   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un’automobile ha velocità iniziale di modulo v_0 = 130\ \text{km/h} e frena uniformemente fino a fermarsi. Se l’accelerazione ha modulo a = 3,8\ \text{m/s}^2, calcolare:

  1. il tempo di arresto t_a
  2. lo spazio di arresto x_a

Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme la sua legge oraria è

(1)   \begin{equation*} 		\boxed{x(t)=x_i+v(t-t_i),} 	\end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v è la velocità costante e t_i è l’istante in cui ha inizio il moto. \bigbreak \noindent Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(2)   \begin{equation*} 		\boxed{\begin{cases} 				x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ 				v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ 				v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), 		\end{cases}} 	\end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento punto 1.

Consideriamo un sistema di riferimento fisso Ox con l’asse x coincidente in direzione e verso con la velocità dell’automobile.    

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1.

   

Durante la fase di frenata, l’automobile subisce un moto caratterizzato da un’accelerazione costante e negativa, cioè con verso opposto all’asse x. In altre parole, si tratta di un moto rettilineo uniformemente decelerato.

  1. Partiamo dalla legge di evoluzione della velocità data dalla seconda equazione del sistema (2), ponendo per convenzione il tempo iniziale t_i = 0. Dato che stiamo studiando un moto rettilineo uniformemente decelerato, possiamo calcolare il tempo di arresto t_a come il tempo in cui la velocità v(t_a) raggiunge il valore zero. Quindi, si ha

    (3)   \begin{equation*}                 0 = v_0 - a t_a \quad \Longrightarrow \quad t_a = \frac{v_0}{a} = \frac{130\ \text{km/h}}{\text{3,8}\ \text{m/s}^2} = \frac{\text{36,1 m/s}}{\text{3,8 m/s}^2},             \end{equation*}

    dove nell’ultimo passaggio è stata utilizzata la conversione: 1\ \text{km/h} = \frac{10}{36}\ \text{m/s}. Quindi, il tempo di arresto è:

        \[\boxcolorato{fisica}{\displaystyle t_a = \text{9,5 s}.}\]

Svolgimento punto 2.

Lo spazio di arresto x_a può essere calcolato come la distanza percorsa nel tempo t_a, che ora conosciamo. Utilizziamo la seconda equazione del sistema (2), ponendo la posizione iniziale x_i = 0. Abbiamo dunque:

    \[                 x(t) = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2             \]

La precedente equazione è valida per t \geq 0. Calcolando al tempo t_a, otteniamo:

    \[                 x_a = x(t_a) = v_0 t_a + \frac{1}{2} a t_a^2 = \frac{v_0^2}{a} + \frac{1}{2} \frac{v_0^2}{a} = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{(\text{36,1 m/s})^2}{2 \cdot (\text{3,8 m/s}^2)}\ \text{m}             \]

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{\displaystyle x_a = 171\ \text{m}.}\]


 
 

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