Moto rettilineo uniformemente accelerato 6

Cinematica del punto materiale nella meccanica classica

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Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un’auto A procede alla velocità v_{0,A} su un tratto rettilineo di strada in cui è proibito il sorpasso. Qual è la minima distanza alla quale il conducente di A deve iniziare a frenare con accelerazione di modulo costante pari ad a per evitare il tamponamento con una seconda auto B che lo precede viaggiando ad una velocità v_B? Supporre che v_{0,A}>v_B.

 

 

Svolgimento. Possiamo immaginare il problema come segue: due auto stanno procedendo a velocità costante e ad una distanza tale che i due non si vedono.
L’auto A procede con velocità v_{0,A} e l’auto B procede con velocità \vec{v}_B. Ad un certo istante l’auto A si rende conto della presenza di una seconda auto B, che procede ad una velocità inferiore, dunque inizia a frenare con accelerazione costante \vec{a}, per evitare il tamponamento.
Dunque la condizione da imporre è che l’auto A si trovi ad una distanza x_{min} tale che, frenando, riesca ad avere una velocità pari a quella dell’auto B.
Nel seguente grafico rappresentiamo la situazione all’istante t=0 ovvero quando l’auto A comincia a frenare; scegliendo un sistema di riferimento Ox con origine coincidente con il corpo A.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Quando l’auto A comincia a decelerare ha la seguente legge oraria[1].:

(1)   \begin{equation*} x_A(t)=v_{0,A}t-\frac{1}{2}at^2 \end{equation*}

e la legge che descrive la sua velocità è

(2)   \begin{equation*} v_A(t)=v_{0,A}-at. \end{equation*}

Per il corpo B la legge oraria è la seguente:

(3)   \begin{equation*} x_B(t)=x_{min}+v_Bt. \end{equation*}

Chiamiamo t=t^\star il tempo impiegato da A per arrivare alla velocità v_B. Da (2) abbiamo

    \[v_B=v_A=v_{0,A}-at^\star \quad \Leftrightarrow\quad t^\star=\dfrac{v_{0,A}-v_B}{a}.\]

Per trovare x_{min}, imponiamo che al tempo t^\star le due auto si incontrino.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Valutiamo la posizione di A al tempo t^\star

    \[\begin{aligned} x_A(t^\star)&=v_{0,A}\left( \dfrac{v_{0,A}-v_B}{a} \right)-\frac{1}{2}a \left(\dfrac{v_{0,A}-v_B}{a}\right)^2=\\ &=v_{0,A}\left( \dfrac{v_{0,A}-v_B}{a} \right)-\frac{1}{2}a \left(\dfrac{v^2_{0,A}+v^2_B-2v_{0,A}v_B}{a^2}\right)=\\&=\dfrac{2v^2_{0,A}-2v_{0,A}v_B}{2a}-\frac{1}{2} \left(\dfrac{v^2_{0,A}+v^2_B-2v_{0,A}v_B}{a}\right)=\\ &=\dfrac{v^2_{0,A}-v^2_B}{2a}. \end{aligned}\]

Imponiamo che x_B(t^\star)=x_A(t^\star). Dalla (3) risulta

    \[\begin{aligned} x_B(t^\star )=x_{min}+v_Bt^\star \quad & \Leftrightarrow \quad \dfrac{v^2_{0,A}-v^2_B}{2a}=x_{min}+v_B \left(\dfrac{v_{0,A}-v_B}{a} \right) \quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad x_{min}=\dfrac{v^2_{0,A}-v^2_B}{2a}-v_B \left(\dfrac{v_{0,A}-v_B}{a} \right)=\\ &=\dfrac{v^2_{0,A}-v^2_B}{2a}-\dfrac{2v_{0,A}v_B-2v^2_B}{2a} =\\ &=\dfrac{v^2_{0,A}+v^2_B-2v_{0,A}v_B}{2a}=\dfrac{1}{2a}\left(v_{0,A}-v_B\right)^2 \end{aligned}\]

Dunque concludiamo che lo spazio minimo cercato è

    \[\boxcolorato{fisica}{ x_{min} =\dfrac{1}{2a}\left(v_{0,A}-v_B\right)^2.}\]

 

1. È stato messo il meno davanti all’accelerazione nella legge oraria perché il vettore dell’accelerazione è orientato nel verso negativo del nostro sistema di riferimento.