Moto rettilineo uniformemente accelerato 1

Cinematica del punto materiale nella meccanica classica

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Esercizio1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In figura è riportata la dipendenza della velocità nell’intervallo di tempo nell’intervallo t_0=0\;\text{s} e t_1=19\;\text{s}. Calcolare

a) lo spazio \Delta x percorso nell’intervallo di tempo t_1- t_0;

b) l’accelerazione ai tempi t_2=3\;\text{s}, t_3=7\;\text{s} e t_4=17\;\text{s}.

 

 

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Svolgimento punto a. Si ricorda la definizione di velocità istantanea v(t), data dalla derivata dello spazio rispetto al tempo, che descrive la velocità di un punto materiale in un istante dato, cioè

(1)   \begin{equation*} v(t)=\frac{dx}{dt}. \end{equation*}

Integrando ambo i membri di (1) nell’intervallo \Delta=t_1-t_0 si ottiene che lo spazio \Delta x cercato, ovvero

(2)   \begin{equation*} \int^{t_1}_{t_0}\frac{dx}{dt}\,dt=\int^{t_1}_{t_0}v(t)\,dt\quad \Leftrightarrow\quad \Delta x=x(t_1)-x(t_0)=\int^{t_1}_{t_0} v(t) dt. \end{equation*}

Dato l’andamento di v(t) rappresentato in figura 1, deduciamo che lo spazio percorso non è che l’area sottesa[1]. alla curva data tra i due istanti di tempo t_0 e t_1. Ricordando come si calcola l’area di un trapezio, segue la soluzione:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta x = \frac{4(19+10)}{2}\;\text{m}=58\;\text{m}.}\]

 

Soluzione punto b. Per calcolare le varie accelerazioni richieste è sufficiente osservare che l’andamento della velocità è descritto da tre rette distinte: due oblique e una orizzontale. Nell’intervallo [t_0,5\,\text{s}] la velocità aumenta, pertanto il moto è rettilineo uniformemente accelerato. Nell’intervallo [5\,\text{s},\,\text{15}\,\text{s}] la retta è orizzontale, dunque, il moto è rettilineo uniforme, in altri termini la velocità è costante. Nell’intervallo [15\,\text{s},\,\text{20}\,\text{s}] la velocità diminuisce nel tempo, quindi il moto è rettilineo uniformemente decelerato. Ora, ricordando la nota formula del moto rettilineo uniformemente accelerato v(t)=v_0+at, è chiaro che l’accelerazione coincide con il coefficiente angolare della retta. Per quanto detto è utile sfruttare la nota formula di geometria analitica m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1), dove (x_1,y_1) e (y_2,x_2) sono due generici punti in un sistema di assi orientati Oxy, per trovare facilmente le varie accelerazioni. Per la prima retta prendiamo i punti (t_0,0) e (5\,\text{m},\,4\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) e otteniamo:

(3)   \begin{equation*} m_1=a_1=\dfrac{4-0}{5-0}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}=\text{0,8}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}. \end{equation*}

Per la seconda retta, essendo orizzontale, si deduce che il coefficiente angolare è nullo e di conseguenza anche l’accelerazione, essendo coincidenti. Infine, per la terza retta, replicando lo stesso procedimento per la prima retta, prendendo come punti (15\,\text{s},\,4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}) e (t_1,\,0), si ottiene

(4)   \begin{equation*} m_3=a_3=\dfrac{0-4}{19-15}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}=-1\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}. \end{equation*}

Essendo le tre accelerazioni costanti la risposta del punto b) è immediata.

 

 

1. Il valore di un integrale definito \int_{t_1}^{t_2} f(t) dt è dato dall’area sottesa dal grafico f(t) nell’intervallo di integrazione.

 

 

Fonte: P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci – Elementi di fisica, EdiSES.