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Moto rettilineo uniforme 2

Moto rettilineo uniforme

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Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un’automobilista entra in una stazione di servizio in autostrada proprio mentre sta passando un autocarro che viaggia a velocità costante v_A=100\,\,\text{km}\cdot \text{h}^{-1}. Dopo un tempo di \tilde{t}=5\,\text{min} l’auto riparte a velocità costante v_B=140\,\,\text{km}\cdot \text{h}^{-1}. Quando tempo gli occorre e quanta strada deve percorrere la macchina per raggiungere l’autocarro?

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Ox, tale che all’istante t=0 sia l’auto che l’autocarro si trovino nell’origine O. Nel sistema di riferimento Ox etichettiamo l’autocarro e l’auto rispettivamente come A e B, da cui, all’istante t=0 si ha A\equiv B\equiv O. Di seguito, in figura 1, rappresentiamo il sistema di riferimento all’istante t=0.

 

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Chiamiamo x_A la posizione dell’autocarro nel generico istante t>0. Per 0\leq t \leq \tilde{t} l’autocarro si muove con velocità v_A, mentre la macchina B rimane ferma. La legge oraria di A è

(1)   \begin{equation*} x_A(t)=v_At. \end{equation*}

Di seguito, in figura 2, rappresentiamo la posizione di A nell’intervallo di tempo 0\leq t \leq \tilde{t}.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Per t\geq \tilde{t} l’auto B entra in movimento. La legge oraria di B è

(2)   \begin{equation*} x_B(t)=v_B(t-\tilde{t}). \end{equation*}

Di seguito, in figura 3, rappresentiamo la posizione di A e di B nell’intervallo di tempo t \geq \tilde{t}.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Imponiamo che le due auto occupino la stessa posizione, ovvero che valga

(3)   \begin{equation*} x_A(t)=x_B(t), \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} v_At=v_B(t-\tilde{t}), \end{equation*}

ovvero

(5)   \begin{equation*} t(v_A-v_B)=-v_B\tilde{t}, \end{equation*}

cioè

(6)   \begin{equation*} t=t^\star=\dfrac{v_B\tilde{t}}{v_B-v_A}. \end{equation*}

Il tempo t^\star è l’istante di tempo in cui la posizione di A e B coincidono. Per determinare il tempo che B impiega a raggiungere A dobbiamo togliere a t^\star il tempo che intercorre tra la partenza di B e A, ovvero il tempo \tilde{t}. Dunque, il tempo cercato è

(7)   \begin{equation*} t^\star-\tilde{t}=\dfrac{v_B\tilde{t}}{v_B-v_A}-\tilde{t}=\dfrac{v_A\tilde{t}}{v_B-v_A}. \end{equation*}

Sostituendo i valori numerici nella precedente equazione, e trasformando opportunamente le unità di misura, si ha

(8)   \begin{equation*} \boxed{t^\star-\tilde{t}=\dfrac{v_A\tilde{t}}{v_B-v_A}=\text{750 s}.} \end{equation*}

Sostituendo t=t^\star nell’equazione (1), si ottiene

(9)   \begin{equation*} x_A(t^\star)=v_At^\star=\dfrac{v_Av_B\tilde{t}}{v_B-v_A}. \end{equation*}

Sostituendo i valori numerici nella precedente equazione, e trasformando opportunamente le unità di misura, si ha

(10)   \begin{equation*} \boxed{x_A(t^\star)=\dfrac{v_Av_B\tilde{t}}{v_B-v_A}=\text{29,2 km}.} \end{equation*}

 

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