Moto rettilineo uniforme 3

Moto rettilineo uniforme

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Esercizio 3   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sia Oxy un sistema di riferimento cartesiano fisso orientato come in figura 1. Un punto A si muove di moto rettilineo uniforme con velocità \vec{v}_A=v_A\,\hat{x} con v_A<0 e costante e \hat{x} versore dell’asse delle x.
Un secondo punto B si muove di moto rettilineo uniforme con velocità \vec{v}_B=v_B\,\hat{y} con v_B>0 e costante e \hat{y} versore dell’asse delle y.

Al tempo t=0 le posizioni iniziali di A e B sono rispettivamente (x_0,0) e (0,y_0), con x_0>0 e y_0<0.

Determinare:

  1. in quale istante t_* i due punti hanno la minima distanza;
  2. il valore d_{\min} di tale distanza.

Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema x_0,y_0,v_A e v_B. Assumere che valga la seguente disuguaglianza x_0 v_A + y_0 v_B <0.

 
 

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Richiami teorici.

Per lo svolgimento di questo problema è utile richiamare alcune nozioni riguardanti la funzione parabola con asse di simmetria verticale. La sua equazione in un sistema di assi cartesiani Oxy è

(1)   \begin{equation*} y(x)=ax^2+bx+c \qquad\forall x\in\mathbb{R}, \end{equation*}

con a\neq 0. Il vertice V di una parabola è il punto di intersezione tra l’asse di simmetria e la parabola stessa, avente coordinate

(2)   \begin{equation*} V\equiv (V_x,V_y)=\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right). \end{equation*}

Il segno del coefficiente a individua il verso in cui la parabola volge la propria concavità. Dunque a seconda della concavità della parabola, e quindi del segno di a, l’ordinata del vertice rappresenta il minimo o il massimo della funzione. In particolare

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} a>0\qquad \text{concavità verso l'alto} \qquad V_y \text{ è il minimo che assume $y$};\\ a<0\qquad \text{concavità verso il basso} \qquad V_y \text{ è il massimo che assume $y$}. \end{cases} \end{equation*}

Di seguito, in figura 2, rappresentiamo due parabole con la concavità verso il basso e verso l’alto. Abbiamo scelto di rappresentare il caso particolare in cui il vertice sia proprio l’origine del nostro sistema di riferimento.    

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    Come si evince dalla figura 2, nel caso della concavità verso l’alto il vertice è un punto di minimo assoluto, mentre nel caso della concavità verso l’alto il vertice è un punto di massimo assoluto.    

Svolgimento Punto 1.

Per i dati del problema, sappiamo che entrambi i corpi si muovono di moto rettilineo uniforme. A si muove di moto rettilineo uniforme con velocità diretta nel verso negativo delle x, mentre B si muove di moto rettilineo uniforme con velocità diretta nel verso positivo delle y. Dunque le equazioni del moto di A e B sono rispettivamente

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} x_A(t) = x_0 + v_A t \\ y_A(t) = 0, \end{cases} \quad \begin{cases} x_B(t) = 0 \\ y_B(t) = y_0 + v_B t, \end{cases} \qquad \forall t \geq 0. \end{equation*}

Poiché la distanza è sempre positiva, osserviamo che minimizzare la distanza tra A e B è equivalente a minimizzare il quadrato della distanza tra A e B. Definiamo quindi la funzione h \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty) come il quadrato della distanza tra A e B al tempo t, ossia

(5)   \begin{equation*} h(t) = (x_A(t) - x_B(t))^2 + (y_A(t) - y_B(t))^2, \end{equation*}

utilizzando le leggi orarie date dal sistema \eqref{leggi_orarie}, otteniamo

(6)   \begin{equation*} h(t) = (x_0 + v_A t)^2 + (y_0 + v_B t)^2 = (v_A^2 + v_B^2)t^2 + 2(y_0 v_B + x_0 v_A)t + x_0^2 + y_0^2, \qquad \forall t \geq 0. \end{equation*}

Cerchiamo il minimo di tale funzione. Osserviamo che h(t) è una parabola con concavità diretta verso l’alto (v_A^2 + v_B^2 > 0), l’istante t_* rappresenta il punto di minimo della parabola, ossia (si guardi i richiami teorici)

(7)   \begin{equation*} t_* = -\dfrac{b}{2a}, \end{equation*}

dove

(8)   \begin{equation*} b = 2(y_0 v_B + x_0 v_A), \end{equation*}

e

(9)   \begin{equation*} a = v_A^2 + v_B^2. \end{equation*}

Sostituendo i valori di b ed a ottenuti rispettivamente dalle equazioni \eqref{b} e \eqref{a} nell’equazione \eqref{vertice}, otteniamo

(10)   \begin{equation*} t_* = -\dfrac{2(y_0 v_B + x_0 v_A)}{2(v_A^2 + v_B^2)}, \end{equation*}

ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{	t_* = -\dfrac{x_0 v_A + y_0 v_B}{v_A^2 + v_B^2}.}\]

Osserviamo che t_*>0 perché x_0 v_A + y_0 v_B <0 per ipotesi. 

Svolgimento Punto 2.

Sappiamo che per t=t_* la funzione h(t_*) assume il valore minimo, pertanto per rispondere al secondo punto basta calcolare h(t_*) e farne la radice quadrata, in altri termini d_{\min}=\sqrt{h(t_*)}. Ricordiamo che per definizione h(t_*)>0. Valutando la funzione h in t=t_*, si trova

(11)   \begin{equation*} h(t_*) = (v_A^2+v_B^2)t_*^2 + 2(y_0 v_B + x_0 v_A)t_* + x_0^2 + y_0^2. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di t_* ottenuta al primo punto nell’equazione \eqref{ht}, otteniamo

(12)   \begin{equation*} h(t_*) = (v_A^2+v_B^2)\left(-\frac{x_0 v_A +y_0 v_B}{v_A^2+v_B^2}\right)^2 + 2(y_0 v_B + x_0 v_A)\left(-\frac{x_0 v_A +y_0 v_B}{v_A^2+v_B^2}\right) + x_0^2 + y_0^2, \end{equation*}

ossia

(13)   \begin{equation*} h(t_*) = \dfrac{\left(x_0 v_A +y_0 v_B\right)^2}{v_A^2+v_B^2}-\dfrac{2\left(x_0 v_A +y_0 v_B\right)^2}{v_A^2+v_B^2}+\dfrac{\left(x_0^2 + y_0^2\right)\left(v_A^2+v_B^2\right)}{v_A^2+v_B^2}, \end{equation*}

ovvero

(14)   \begin{equation*} h(t_*) = \dfrac{x_0^2v_A^2+y_0^2v_B^2+2x_0v_Ay_0v_B-2x_0^2v_A^2-2y_0^2v_B^2-4x_0v_Ay_0v_B+x_0^2v_A^2+x_0^2v_B^2+y_0^2v_A^2+y_0^2v_B^2}{v_A^2+v_B^2}. \end{equation*}

Questa espressione può essere semplificata ulteriormente

(15)   \begin{equation*} h(t_*) = \dfrac{x_0^2v_B^2+y_0^2v_A^2-2x_0v_Ay_0v_B}{v_A^2+v_B^2}=\dfrac{\left(x_0v_B-y_0v_A\right)^2}{v_A^2+v_B^2}. \end{equation*}

Infine,

(16)   \begin{equation*} d_{\min}=\sqrt{h(t_*)}=\sqrt{\dfrac{\left(x_0v_B-y_0v_A\right)^2}{v_A^2+v_B^2}}, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{	d_{\mathrm{min}} = \frac{|x_0v_B - y_0v_A|}{\sqrt{v_A^2+v_B^2}}.}\]

   

Osservazione.

Osserviamo che una maniera alternativa per calcolare l’istante t_* è attraverso lo studio della derivata della funzione h(t). In particolare ponendo

(17)   \begin{equation*} \dfrac{dh(t)}{dt}\biggr\vert_{t=t_*}=0, \end{equation*}

si ha che

(18)   \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left((v_A^2 + v_B^2)t^2 + 2(y_0 v_B + x_0 v_A)t + x_0^2 + y_0^2\right)\biggr\vert_{t=t_*}=0\quad\Leftrightarrow\quad 2(v_A^2 + v_B^2)t_*+2(y_0 v_B + x_0 v_A)=0, \end{equation*}

da cui

(19)   \begin{equation*} t_* = -\dfrac{y_0 v_B + x_0 v_A}{v_A^2 + v_B^2}. \end{equation*}

Quindi t_* è un punto estremante della funzione h(t). Dallo studio del segno della derivata della funzione h(t), deduciamo che

(20)   \begin{equation*} \dfrac{dh(t)}{dt}\geq 0\quad\Leftrightarrow\quad  2(v_A^2 + v_B^2)t+2(y_0 v_B + x_0 v_A)\geq 0 \quad \Leftrightarrow\quad t\geq  -\dfrac{y_0 v_B + x_0 v_A}{v_A^2 + v_B^2}= t_*, \end{equation*}

per cui l’istante di tempo t_* rappresenta il punto di minimo della funzione h(t).