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Moto parabolico — teoria

Moto parabolico

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Il moto parabolico — teoria

In questo breve articolo viene trattato il moto parabolico di un corpo lanciato in un’ambiente in cui è presente un campo gravitazionale uniforme, e non soggetto ad altre forze. Per tale ragione tale moto viene anche detto moto del proiettile, appunto in quanto esso descrive la traiettoria di un proiettile lanciato nell’aria. Ne descriviamo la gittata, l’altezza massima raggiungibile e dimostriamo che la traiettoria seguita è effettivamente parabolica, ossia il corpo descrive, durante il suo movimento, un arco di parabola.

L’articolo è indicato per studenti dei corsi universitari di Fisica generale 1, condensando le informazioni essenziali su questo affascinante argomento, senza rinunciare alla chiarezza. Buona lettura!

Oltre al materiale contenuto in Cinematica del punto materiale e Dinamica del punto materiale, consigliamo la lettura dei seguenti articoli su argomenti affini:

 

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Ottieni il documento che contiene la teoria sul moto parabolico.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti

Revisori: Patrizio Di Lorenzo


 
 

Introduzione

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Il moto parabolico è costituito dalla composizione di due moti: il moto rettilineo uniforme e il moto uniformemente accelerato. Immaginiamo, per esempio, di avere un punto materiale che si muove di moto parabolico in un piano verticale; allora, il punto si muoverà di moto rettilineo uniforme lungo la direzione orizzontale e di moto uniformemente accelerato lungo la direzione verticale. Nel campo gravitazionale terrestre, lungo la verticale il punto materiale viene accelerato con accelerazione pari a \vec{g} (accelerazione di gravità), che in modulo vale circa \text{9,81}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}; pertanto se scegliamo un sistema di riferimento Oxy con l’asse delle y orientato verso l’alto l’accelerazione del moto rettilineo uniformemente accelerato è a=-g=-\text{9,81}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}, altrimenti se l’asse delle y è orientato verso il basso l’accelerazione è a=g=\text{9,81}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}. Consideriamo un corpo appoggiato su un piano orizzontale e avente una velocità iniziale \vec{v}_0 formante un angolo \theta con l’orizzontale, come in figura 1.

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Rendered by QuickLaTeX.com

   

Il corpo si muove di moto parabolico. Scegliamo un sistema di riferimento Oxy fisso, in cui l’origine O coincide con il punto materiale nell’istante iniziale, come mostra la figura 2.

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Nel sistema Oxy, la velocità iniziale si può esprimere in coordinate cartesiane come

(1)   \begin{equation*} \vec{v}_0=\underbrace{v_0\cos\theta}_{v_{0x}}\,\hat{x}+\underbrace{v_0\sin\theta}_{v_{0y}}\,\hat{y}, \end{equation*}

dove \hat{x} e \hat{y} sono rispettivamente in versori dell’asse delle x e delle y. Scriviamo le leggi orarie lungo la direzione orizzontale (asse x) e lungo la direzione verticale (asse y). Abbiamo dunque

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=v_{0x}t=v_0t\cos\theta \\ y(t)=v_{0y}t-\dfrac{1}{2}gt^2=v_0t\sin\theta-\dfrac{1}{2}gt^2, \end{cases} \end{equation*}

dove x(t) rappresenta la legge oraria nella direzione dell’asse delle x e y(t) rappresenta la legge oraria nella direzione dell’asse delle y.


 
 

La gittata

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Vogliamo ora determinare la gittata, ossia la distanza orizzontale tra i due punti della traiettoria a quota nulla; in altri termini, la gittata è lo spazio orizzontale percorso dal corpo affinché il punto materiale partendo da O si trovi nuovamente in un punto dell’asse delle x di coordinate (x_G,0), dove x_G rappresenta proprio lo spazio orizzontale percorso (la gittata).

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Sia t_G è il tempo impiegato per percorrere la gittata, nel nostro caso si ha

(3)   \begin{equation*} y(t_G)=0, \end{equation*}

da cui, sfruttando l’equazione 2_2, otteniamo

(4)   \begin{equation*} y(t_G)=v_0\sin\theta\,t_G-\dfrac{1}{2}gt_G^{2}=0, \end{equation*}

cioè

(5)   \begin{equation*} t_G\left(v_0\sin\theta-\dfrac{1}{2}gt_G\right)=0. \end{equation*}

Si noti che l’equazione (5) ha due soluzioni: t_G=0 e t_G=\dfrac{2v_0}{g}\sin\theta. La soluzione t_G=0 rappresenta l’istante di tempo in cui il corpo si trova nell’origine del nostro sistema di riferimento, ovvero l’istante di tempo tale che y(0)=0, mentre l’istante di tempo t_G=\dfrac{2v_0}{g}\sin\theta è il tempo impiegato per compiere la gittata. Sfruttando l’equazione (2)_1 è possibile trovare la gittata, ossia la coordinata x del punto materiale al tempo t_G. Si ha1

(6)   \begin{equation*} x_G=x(t_G)=v_0\,t_G\cos\theta= v_0\left(\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}\right)\cos\theta =\dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta). \end{equation*}

Osserviamo che la gittata massima si ha quando \sin(2\theta)=1, ed essa vale

(7)   \begin{equation*} x_{G,max}=\dfrac{v_0^2}{g}. \end{equation*}

Possiamo inoltre calcolare l’angolo di lancio rispetto al piano orizzontale per il quale si ottiene la massima gittata. Dalla condizione \sin(2\theta)=1 ricaviamo

(8)   \begin{equation*} 2\theta_{max}=\dfrac{\pi}{2}\quad\Leftrightarrow\quad\theta_{max}=\dfrac{\pi}{4}. \end{equation*}

   

  1. Ricordiamo dalla trigonometria che 2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta). ↩

 
 

Altezza massima raggiungibile.

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Si vuole determinare la quota massima che il punto materiale può raggiungere nota la velocità iniziale \vec{v}_0. Lungo l’asse delle x il moto è rettilineo uniforme, pertanto deduciamo che il tempo impiegato dal corpo per arrivare alla quota massima è t_G/2. In altre parole, la metà del tempo che il corpo impiega a percorrere metà gittata è il tempo che esso impiega per giungere alla quota massima. Sfruttando (2)_2, abbiamo

(9)   \begin{equation*} \begin{aligned} y_{max}&=y\left(\dfrac{t_G}{2}\right)=\\[7pt] &=v_0\dfrac{t_G}{2}\sin\theta-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{t_G}{2}\right)^2=\\[7pt] &=v_0\left(\dfrac{v_0\sin\theta}{g}\right)\sin\theta-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{v_0\sin\theta}{g}\right)^2=\\[7pt] &=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{g}-\dfrac{1}{2}\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{g}=\\[7pt] &=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}. \end{aligned} \end{equation*}

Alternativamente, si poteva ottenere y_{max} anche imponendo che la componente y della velocità del corpo sia nulla quando la quota è massima; infatti, dal momento che il vettore velocità è tangente alla traiettoria in ogni suo punto, alla quota massima si avrà che la velocità è solo orizzontale, come mostra la figura 4.

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Dalla cinematica del moto uniformemente accelerato, sappiamo che la legge che esprime la velocità v_y in funzione del tempo è

(10)   \begin{equation*} v_y(t)=v_0\sin\theta t-gt, \end{equation*}

da cui, imponendo che v(t_{max})=0, dove con t_{max} si indica il tempo trascorso per raggiungere la quota massima, si ottiene

(11)   \begin{equation*} v_0t_{max}\sin\theta -gt_{max}=0\quad\Leftrightarrow\quad t_{max}=\dfrac{v_0\sin\theta}{g}. \end{equation*}

Come ci aspettavamo, abbiamo trovato che t_{max}=t_G/2. Ripercorrendo gli stessi passi del procedimento precedente si giunge nuovamente ad y_{max}={v_0^2\sin^2\theta}/{(2g)}.


 
 

La traiettoria del moto.

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Per determinare la traiettoria del moto, basta sfruttare le equazioni del sistema 2. In particolare, dalla (2_1) ricaviamo

(12)   \begin{equation*} t=\dfrac{x}{v_0\cos\theta}; \end{equation*}

sostituendo questo risultato nella (2)_2, otteniamo la traiettoria, ossia l’espressione della coordinata y in funzione di x. Avremo

(13)   \begin{equation*} y(x)=v_0\sin\theta\left(\dfrac{x}{v_0\cos\theta}\right)-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2=x\tan\theta-\dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}. \end{equation*}

Notiamo che la traiettoria percorsa dal punto materiale è descritta dall’equazione di una parabola, come ci si aspettava.

 
 

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    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
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    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
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    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
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