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Esercizio sul momento di inerzia – 7

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Esercizio sul momento di inerzia – 7

In questo settimo articolo della raccolta di esercizi sul momento di inerzia presentiamo il calcolo del momento di inerzia di un solido di rotazione. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul momento di inerzia – 6 sul calcolo del momento di inerzia di un ellissoide e il successivo esercizio sul momento di inerzia – 8 per il calcolo del momento di inerzia di un paraboloide.

 

Scarica gli esercizi svolti

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Testo dell’esercizio

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\whitestarstar\largewhitestar\largewhitestar).

Dati R>0 e \alpha>0, sia T il settore circolare nel piano yz delimitato dal semiasse positivo z, dalla circonferenza di equazione y^2+z^2=R^2 e dalla semiretta uscente da O, giacente nel primo quadrante, che forma un angolo \alpha \left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right) con il semiasse z positivo. Detto D il solido ottenuto da una rotazione di T intorno all’asse z, calcolare il momento di inerzia di D, supposto di densità costante \mu, rispetto all’asse z, esprimendo il risultato in termini di \mu.

 
Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa.


Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

Rappresentiamo in figura 7 l’insieme T (con i bordi rimarcati) e il solido D ottenuto dalla sua rotazione intorno all’asse z:

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 7: rappresentazione dell’insieme T, con bordi rimarcati, e del solido D ottenuto dalla sua rotazione.

  Possiamo determinare il momento d’inerzia risolvendo il seguente integrale triplo, in accordo con l’equazione (4):

(5)   \begin{equation*} I =\mu \iiint_D (x^2+y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove x^2+y^2 è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) \in D dall’asse z. Parametrizziamo il dominio D, indicando con \Psi \colon [0,R] \times [0,\alpha] \times [0,2\pi[ \to D la funzione relativa alla parametrizzazione, applicando le coordinate sferiche

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x = \rho \sin \phi \, \cos \theta\\ y = \rho \sin \phi \, \sin \theta, \qquad \quad \rho \in [0,R], \phi \in [0,\alpha], \theta \in [0,2\pi],\\ z = \rho \, \cos \phi \end{cases} \end{equation*}

osservando anche che lo Jacobiano di \Psi, come già visto nell’esercizio 4 è |J_\Psi|=\rho^2 \sin \phi. Applicando la trasformazione (6) all’integrale (5) otteniamo

    \[\begin{aligned} I &= \mu \iiint_D (x^2+y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \\ & = \mu \int_0^\alpha \mathrm{d}\phi \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R (\rho^2 \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \rho^2 \sin^2 \theta \sin^2 \phi) \; \rho^2 \sin \phi \; \mathrm{d}\rho=\\ & = 2\pi \mu \int_0^\alpha \sin^3 \phi \; \mathrm{d} \phi \;\int_0^R \rho^4 \; \mathrm{d}\rho, \end{aligned}\]

in cui abbiamo, nell’ultimo passaggio, dopo aver sfruttato la relazione \cos^2 \theta+\sin^2\theta=1, effettuato l’integrazione rispetto alla variabile \theta. Possiamo a questo punto integrare rispetto a \rho, prima, e \phi, subito dopo; sfruttiamo ancora una volta l’equazione goniometrica fondamentale per sostituire \sin^3\phi=\sin \phi (1-\cos^2\phi) e risolviamo:

    \[\begin{aligned} I &= 2\pi\mu \; \left[\dfrac{\rho^5}{5}\right]_0^R \; \int_0^{\alpha} (\sin \phi - \sin \phi \; \cos^2 \phi) \, \mathrm{d}\phi = \\ &= \dfrac{2\pi \mu R^5}{5 } \left[-\cos \phi + \dfrac{\cos^3 \phi}{3}\right]_0^\alpha= \\ &=\dfrac{2\pi \mu R^5}{5 }\left(-\cos\alpha+1+\dfrac{\cos^3 \alpha}{3}-\dfrac{1}{3}\right). \end{aligned}\]

In definitiva, il momento d’inerzia richiesto è:

(7)   \begin{equation*} { I =\dfrac{2\pi \mu R^5}{15} \left( \cos^3 \alpha -3\cos \alpha +2 \right).} \end{equation*}


 
 

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