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Esercizio sul momento di inerzia – 5

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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In questo quinto articolo della raccolta di esercizi sul momento di inerzia presentiamo il calcolo del momento di inerzia di un’asta sottile. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul momento di inerzia – 4 sul calcolo del momento di inerzia di una sfera piena e il successivo esercizio sul momento di inerzia – 6 per il calcolo del momento di inerzia di un ellissoide.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 5 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il momento d’inerzia di un’asta sottile, di lunghezza d, rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare ad essa, ipotizzando che la massa sia distribuita in modo omogeneo rispetto al proprio centro di massa.

 
Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1) \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2) \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3) \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4) \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa. In questo esercizio si renderà necessario calcolare il centro di massa delle figure considerate. Ricordiamo che, mentre per un sistema di n punti materiali aventi posizioni \vec{r}_i e masse m_i il centro di massa risulta essere determinato da

(5) \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}

per un corpo solido descritto come un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità volumica \delta \colon D \rightarrow [0, + \infty), le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(6) \begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(7) \begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(8) \begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

dove con m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z si è indicata la massa totale del corpo D. Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui \delta è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di D, senza alcun riferimento alla sua massa.


Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

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