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Esercizio sul momento di inerzia – 10

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Esercizio sul momento di inerzia – 10

In questo decimo articolo della raccolta di esercizi sul momento di inerzia presentiamo il calcolo del momento di inerzia di una lamina ellittica sottile avente densità variabile. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul momento di inerzia – 9 sul calcolo del momento di inerzia di una lamina circolare e il successivo esercizio sul momento di inerzia – 11 per il calcolo del momento di inerzia di un triangolo rettangolo.

 

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Testo dell’esercizio

Esercizio 10 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Data una lamina piana ellittica sottile di semiassi a e b, calcolarne il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il centro e perpendicolare alla lamina, nell’ipotesi che la densità sia proporzionale al quadrato della distanza dal centro stesso; esprimere il risultato trovato in termini della massa m della lamina.

 
Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa.

Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

Fissiamo a,b\neq 0. Il dominio D in esame, che rappresentiamo in figura 10, si scrive quindi come

(5)   \begin{equation*} D=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} \le 1, \; a,b \neq 0 \right\}. \end{equation*}

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Figura 10: rappresentazione del dominio D.

  Ricordiamo che il momento d’inerzia è definito come segue

(6)   \begin{equation*} I = \iint_D (x^2+y^2)\sigma(x,y)\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y,\\ \end{equation*}

dove \sigma(x,y)=k(x^2+y^2) per una certa costante k>0. Calcoliamo la massa totale della lamina:

(7)   \begin{equation*} m = \iint_D k\left(x^2+y^2\right) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. \end{equation*}

Parametrizziamo D applicando le coordinate ellittiche \Psi \colon [0,1] \times [0,2\pi] \to D definite da:

    \[\begin{cases} x = a \,\rho \, \cos \theta \\ \hspace{4cm} \rho \in [0,1], \theta \in [0,2\pi].\\ y = b \, \rho \, \sin \theta \end{cases}\]

Lo jacobiano del cambio di coordinate \Psi è quindi

(8)   \begin{equation*} J_\Psi(\rho,\theta) = \begin{vmatrix} a \cos\theta & - a \rho \sin \theta \\[1ex] b \sin\theta & b \rho \cos \theta \end{vmatrix}= a b \rho, \end{equation*}

La massa totale m sarà dunque data da

    \[\begin{aligned} m & = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 k \rho a b \left(\rho^2 a^2 \cos^2 \theta + \rho^2 b^2 \sin^2 \theta \right) \; \mathrm{d}\rho = \\ & = kab \int_0^{2\pi} \left( a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta \right) \mathrm{d}\theta \int_0^1 \rho^3 \; \mathrm{d}\rho =\\ & = \dfrac{kab}{4} \int_0^{2\pi} \left( a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta \right)\, \mathrm{d}\theta = \\ &= \dfrac{kab \pi (a^2+b^2)}{4}, \end{aligned},\]

dove nell’ultima uguaglianza si sono usate le seguenti uguaglianze, verificabili integrando per parti, o usando le formule di bisezione:

    \[\int_{0}^{2\pi}\sin^2x \, \mathrm{d}x= \int_{0}^{2\pi}\cos^2x \,\mathrm{d}x=\pi.\]

Otteniamo pertanto che la costante k può essere scritta come

(9)   \begin{equation*} k = \dfrac{4m}{ab\pi(a^2+b^2)}. \end{equation*}

Risolviamo adesso l’integrale doppio relativo al momento d’inerzia:

    \[\begin{aligned} I & = \iint_D k (x^2+y^2)^2\, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \\ & = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 k\rho a b \; \left(\rho^2 a^2 \cos^2 \theta + \rho^2 b^2 \sin^2 \theta \right)^2 \; \mathrm{d}\rho =\\ & = \dfrac{kab}{6} \int_0^{2\pi}\left( a^4 \cos^4 \theta + 2a^2b^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + b^4 \sin^4 \theta \right) \; \mathrm{d}\theta. \end{aligned}\]

Ricordiamo la seguente proprietà:

    \[\begin{aligned} &{\displaystyle \int \sin ^{n}(cx)\cos ^{m}(cx)\;\mathrm {d} x=-{\frac {\sin ^{n-1}(cx)\cos ^{m+1}(cx)}{c(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}(cx)\cos ^{m}(cx)\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(per }}m,n>0{\mbox{)}}}, \end{aligned}\]

dove c è una costante reale non nulla, ed applichiamola per il secondo dei tre termini presenti all’interno dell’integrale; per il primo e terzo termine, dunque rispettivamente a^4\cos \theta e b^4\sin \theta, usiamo invece

    \[\begin{aligned} \cos^4 x & = \cos^2 x \cos^2 x = \\ & = \frac{1}{4} (1+\cos(2x)) \cdot (1+\cos(2x)) =\\ & = \frac{1}{4} (1 + 2 \cos(2x) + \cos^2(2x)) = \\ & = \frac{1}{4} \left(1+2\cos(2x) + \frac{1}{2} (1+ \cos(4x)) \right) = \\ & = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x), \end{aligned}\]

e

    \[\begin{aligned} \sin^4 x & = \sin^2 x \sin^2 x = \\ & = \frac{1}{4} (1-\cos(2x)) \cdot (1-\cos(2x)) =\\ & = \frac{1}{4} (1 - 2 \cos(2x) + \cos^2(2x)) = \\ & = \frac{1}{4} \left(1-2\cos(2x) + \frac{1}{2} (1+ \cos(4x)) \right) = \\ & = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x). \end{aligned}\]

Il calcolo dell’integrale si effettua allora come segue:

    \[\begin{aligned} I & =\dfrac{kab}{6} \int_0^{2\pi}\left( a^4 \cos^4 \theta + 2a^2b^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + b^4 \sin^4 \theta \right) \; \mathrm{d}\theta=\\ &= \dfrac{kab}{6} \int_0^{2\pi} a^4\left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos(2\theta) + \frac{1}{8}\cos(4\theta)\right) + 2a^2b^2\sin^2\theta\cos^2\theta + b^4\left(\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos(2\theta) + \frac{1}{8}\cos(4\theta)\right) \mathrm{d}\theta = \\ &=\dfrac{kab}{6} \left\lbrace a^4\left[\frac{3}{8}\theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + \frac{1}{32}\sin 4 \theta \right]^{2\pi}_0 + 2a^2b^2\frac{\pi}{4} + b^4\left[\frac{3}{8}\theta - \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + \frac{1}{32}\sin 4 \theta \right]^{2\pi}_0\right\rbrace =\\ &=\dfrac{kab}{6} \left(a^4\; \dfrac{3}{4} \pi + 2a^2b^2 \; \dfrac{\pi}{4} + b^4 \; \dfrac{3}{4}\pi\right) = \\ & = \dfrac{kab\pi}{24} \left(3a^4+2a^2b^2+3b^4\right), \end{aligned}\]

da cui possiamo sostituire il valore di k determinato in (9) per ricavare il momento d’inerzia richiesto:

(10)   \begin{equation*} { I =\dfrac{m}{6(a^2+b^2)} \left(3a^4+2a^2b^2+3b^4\right).} \end{equation*}


 
 

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