Esercizi svolti sulle onde elettromagnetiche

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Questa dispensa raccoglie una selezione di esercizi sulla teoria delle onde elettromagnetiche, estratti dal volume “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. In essa, troverete la risoluzione dettagliata di 15 esercizi tratti dal capitolo 10, dedicato alle onde elettromagnetiche. Questo materiale è stato concepito appositamente per gli studenti dei corsi di ingegneria, fisica e matematica, con l’intento di fornire un supporto didattico essenziale per l’approfondimento dei concetti fondamentali trattati nel corso di Fisica 2.

Gli esercizi presentati seguono una progressione logica di difficoltà, progettata per guidare lo studente attraverso un percorso di apprendimento graduale e sistematico. Ogni soluzione è descritta con meticolosità, illustrando passo dopo passo le strategie risolutive e le logiche sottese, affinché non solo il “procedimento”, ma anche la “ragione” di ciascun passaggio risulti chiaro e comprensibile.

Il nostro obiettivo è di offrire un compendio di studio completo e accurato, in grado di sostenere gli studenti nella preparazione degli esami e nelle verifiche, contribuendo al consolidamento di una solida comprensione dei principi dell’elettromagnetismo. Confidiamo che queste soluzioni dettagliate diventeranno per voi un valido alleato, capace di accompagnarvi con successo attraverso le sfide accademiche dei vostri corsi di studio.

Consigliamo le seguenti raccolte di esercizi su temi affini:

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Autore: Valerio Brunetti, Cesare Malgù.

Esercizi sulle onde elettromagnetiche

Esercizio 1. Una onda elettromagnetica piana con frequenza $\nu = 180\, \text{MHz}$ e ampiezza $E_0 = 2\,\frac{\text{V}}{\text{m}}$ si propaga lungo l’asse $x$ ed è polarizzata nel piano $xy$ . Si richiede di calcolare:

La lunghezza d’onda $\lambda$ , il numero d’onda $k$ e la pulsazione $\omega$ .
Scrivere le equazioni del campo elettrico $\vec{E}$ e del campo magnetico $\vec{B}$ .
La densità di energia elettromagnetica media $u$ .
L’intensità $I$ .
La quantità di moto media per unità di superficie $p$ trasportata.

Svolgimento.

Per un’onda elettromagnetica, la cui velocità vale $c$ , la lunghezza d’onda è

(1) $\begin{equation*} \lambda = c\frac{1}{\nu} = c\,T, \end{equation*}$

dove $T$ è il periodo e vale

(2) $\begin{equation*} T = \frac{1}{\nu}. \end{equation*}$

Nel caso di questo problema, il valore numerico della lungezza d’onda è

$\boxcolorato{fisica}{\lambda = \text{1,67}\,\text{m}.}$

La pulsazione $\omega$ , invece è definita come

(3) $\begin{equation*} \omega = 2\pi \nu \end{equation*}$

e, con i valori forniti dal problema risulta:

$\boxcolorato{fisica}{ \omega = \text{11,3} \cdot 10^8 \,\frac{\text{rad}}{\text{s}}. }$

Infine, il numero d’onda $k$ è il reciproco della lunghezza d’onda moltiplicato per un coefficente pari a $2\pi$ :

(4) $\begin{equation*} k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{equation*}$

quindi, con i dati forniti risulta

$\boxcolorato{fisica}{ k =\text{3,77}\, \text{m}^{-1}. }$

Se un’onda elettromagnetica ha numero d’onda $k$ , pulsazione $\omega$ ed ampiezza $E_0$ l’equazione del campo elettrico risulta essere

(5) $\begin{equation*} \vec{E}_y(x,t) = E_0 \sin{(k\,x-\omega\,t)}\hat{y} \end{equation*}$

mentre, per il campo magnetico bisogna tener conto che questo è perpendicolare al campo $\vec{E}$ e quindi risulta

(6) $\begin{equation*} \vec{B}_z = \frac{E_0}{c} \sin{(k\,x-\omega\,t)}\hat{z}. \end{equation*}$

Nel caso in questione, sostituiamo i risultati ottenuti nel punto 1 nelle equazioni (5) e (6) ottenendo, per il campo elettrico

$\boxcolorato{fisica}{ \vec{E}_y(x,t) = 2\cdot 10^{-3} \sin{(\text{3,77}\,\text{m}^{-1}\,x-\text{11,28} \,\text{s}^{-1}\,t)}\,\hat{y}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} }$

e per il campo magnetico

$\boxcolorato{fisica}{ \vec{B}_z = \text{6,7}\cdot 10^{-12} \sin{(\text{3,77}\,\text{m}^{-1}\,x-\text{11,28} \,\text{s}^{-1}\,t)}\,\hat{z} \,\text{T}. }$

Per risolvere il punto 3 bisogna considerare che la densità di energia elettromagnetica di ampiezza $E_0$ risulta essere:

(7) $\begin{equation*} u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2, \end{equation*}$

dove $\varepsilon_0$ è la costante dielettrica del vuoto. In questo caso si ha

$\boxcolorato{fisica}{ u = \text{1,77} \cdot 10^{-17} \frac{\text{J}}{\text{m}^3}.}$

L’intensità $I$ , invece, risulta essere

(8) $\begin{equation*} I = c\,u, \end{equation*}$

quindi, sostituendo i valori numerici, si ha

$\boxcolorato{fisica}{ I = \text{5,3}\cdot 10^{-9} \frac{\text{W}}{\text{m}^2}. }$

Infine, la quantità di moto trasportata dall’onda per unità di supeficie dalla teoria sappiamo che risulta essere:

(9) $\begin{equation*} p = u, \end{equation*}$

per cui

$\boxcolorato{fisica}{ p = \text{1,77} \cdot 10^{-17} \frac{\text{N}}{\text{m}^2}, }$

dove si è usato

$\text{J}\cdot \text{m}^{-3}=\text{N}\cdot \text{m}\cdot\text{m}^{-3}=\text{N}\cdot \text{m}^{-2}.$

Esercizio 2. Un’onda elettromagnetica piana polarizzata rettilinearmente è descritta dall’equazione:

$\vec{E} = 100 \cos(\text{2,09}x - 2\pi \cdot 10^8 t)\, \hat{y}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}.$

Si richiede di calcolare:

Il valore efficace $E_{\text{eff}}$ del campo elettrico.
Il valore efficace $B_{\text{eff}}$ del campo magnetico.
La lunghezza d’onda $\lambda$ .
La frequenza $\nu$ .
L’intensità $I$ .

Svolgimento.

Per risolvere il punto 1 di questo problema bisogna ricordare che il campo elettrico efficace è definito come:

(10) $\begin{equation*} E_{\text{eff}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}. \end{equation*}$

In questo caso risulta:

$\boxcolorato{fisica}{ E_{\text{eff}} \approx \text{70,7} \,\frac{\text{N}}{\text{C}}.}$

Nello svolgere il punto 2, invece, bisogna tener conto della relazione generale tra il modulo del campo elettrico e magnetico di un’onda elettromagnetica:

(11) $\begin{equation*} B = \frac{E}{c}. \end{equation*}$

Questa relazione, naturalmente, intercorre anche tra i valori efficaci dei campi, per cui si ha

(12) $\begin{equation*} B_{\text{eff}} = \frac{E_{\text{eff}}}{c}, \end{equation*}$

quindi

$\boxcolorato{fisica}{ B_{\text{eff}} = \text{2,36} \cdot 10^{-7}\,\text{T}.}$

Dall’equazione (5) e dalla forma del campo elettrico in questione si può ricavare il valore del numero d’onda $k$ da cui otteniamo la lunghezza d’onda invertendo l’equazione (4)

$\begin{equation*} \lambda = \frac{2\pi}{k} \end{equation*}$

per cui

$\boxcolorato{fisica}{ \lambda = 3\,\text{m}.}$

Sempre confrontando l’equazione fornita dal problema con la funzione d’onda espressa in (5) ed invertendo l’equazione (3) si ricava la frequenza come

$\begin{equation*} \nu = \frac{\omega}{2\pi} \end{equation*}$

quindi

$\boxcolorato{fisica}{ \nu = 10^8\, \text{Hz}.}$

Infine, l’intensità, espressa in (8), si può riscrivere, tenendo conto dell’equazione (10), come

$\begin{equation*} I = c\,\varepsilon_0 \,E_{\text{eff}}^2 \end{equation*}$

e, sostituendo i valori numerici si ha

$\boxcolorato{fisica}{ I = \text{13,28} \frac{\text{W}}{\text{m}^2}.}$

Esercizio 3. Un’onda elettromagnetica piana polarizzata circolarmente, con ampiezza $E_0 = 10^3 \, \text{V/m}$ e frequenza $\nu =\text{4,3} \times 10^{14} \, \text{Hz}$ , si propaga nel vuoto. Si richiede di scrivere l’equazione dell’onda elettromagnetica e calcolare l’intensità $I$ .

Svolgimento.

Il problema in questione riguarda un’onda polarizzata circolarmente. In questo tipo di onda, sia il campo elettrico che quello magnetico presentano due componenti, una lungo $\hat{y}$ e l’altra lungo $\hat{z}$ , con una differenza di fase tra le due di $\frac{\pi}{2}$ . Questo significa che una componente è rappresentata dal seno, mentre l’altra dal coseno.

Innanzitutto, calcoliamo la pulsazione e il numero d’onda. Secondo l’equazione $\omega = 2\pi \nu$ , la pulsazione è:

$\begin{equation*} \omega = 2\pi \nu = \text{2,7} \cdot 10^{15} \, \text{Hz}; \end{equation*}$

mentre, facendo riferimento all’equazione $k = \frac{2\pi \nu}{c}$ , il numero d’onda si calcola come:

$\begin{equation*} k = \frac{2\pi \nu}{c} = 9 \cdot 10^{6} \, \text{m}^{-1}. \end{equation*}$

Possiamo ora scrivere le componenti del campo elettrico. Tenendo conto dell’equazione $\vec{E}_y(x,t)$ , la componente lungo $\hat{y}$ sarà:

$\boxcolorato{fisica}{ E_y = 10^3 \cos{(\text{0,9}\cdot10^7 \,\text{m}^{-1}\, x - \text{2,7} \cdot 10^{15}\,\text{s}^{-1}\, t)} \, \frac{\text{V}}{\text{m}}, }$

mentre la componente $z$ è

$\boxcolorato{fisica}{ E_z = 10^3 \sin{(\text{0,9}\cdot10^7 \,\text{m}^{-1}\, x - \text{2,7} \cdot 10^{15}\,\text{s}^{-1}\, t)}\, \frac{\text{V}}{\text{m}}. }$

Il modulo del campo magnetico è:

$\begin{equation*} B = \frac{E}{c} = \text{3,3} \cdot 10^{-6}\,\text{T}. \end{equation*}$

Analogamente, per il campo magnetico si ha, lungo $\hat{y}$

$\boxcolorato{fisica}{ B_y = - \text{3,3}\cdot 10^{-6} \sin{(\text{0,9}\cdot10^7 \,\text{m}^{-1}\, x - \text{2,7} \cdot 10^{15}\,\text{s}^{-1}\, t)} \,\text{T},}$

mentre lungo $\hat{z}$

$\boxcolorato{fisica}{ B_z = \text{3,3}\cdot 10^{-6} \cos{(\text{0,9}\cdot10^7 \,\text{m}^{-1}\, x - \text{2,7}\cdot 10^{15}\,\text{s}^{-1}\, t)}\,\text{T}. }$

Infine, l’intensità risulta essere

$\begin{equation*} I = c\varepsilon_0 E_0^2. \end{equation*}$

quindi

$\boxcolorato{fisica}{ I = \text{2,66}\cdot 10^3 \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2}. }$

Esercizio 4. In una certa regione della Terra, la radiazione solare ha un campo magnetico di ampiezza $B_0 = \text{1,8} \, \mu\text{T}$ . Si richiede di calcolare:

L’ampiezza $E_0$ del campo elettrico.
La densità massima $u_{\max}$ di energia.
L’intensità massima della radiazione $I_{\max}$ .

Svolgimento.

Per calcolare l’ampiezza del campo elettrico basta ricordare l’equazione (11) che esprime la correlazione tra modulo del campo elettrico $E$ e modulo del campo magnetico $B$ :

$\begin{equation*} B = \frac{E}{c}. \end{equation*}$

Risulta, quindi, che

$\begin{equation*} E_0 = c\,B_0, \end{equation*}$

per cui

$\boxcolorato{fisica}{ E_0 = 540 \, \frac{\text{V}}{\text{m}}.}$

La densità massima di energia $u_{max}$ è

$\begin{equation*} u_{max} = \varepsilon_0 E_0^2 \end{equation*}$

che numericamente risulta essere

$\boxcolorato{fisica}{ u_{\max} = \text{2,58}\cdot 10^{-6} \,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}.}$

Per trovare l’intensità massima $I_{\max}$ basta moltiplicare la densità massima di energia per il valore della velocità della luce $c$ :

$\begin{equation*} I_{\max} = \varepsilon_0 c E_0^2, \end{equation*}$

ottenendo

$\boxcolorato{fisica}{ I_{\max} \approx 774 \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2}.}$

Esercizio 5. Una sorgente di microonde produce impulsi di frequenza $\nu= 20 GHz$ e durata $t = 1 ns$ . La sorgente è posta nel piano focale di un paraboloide conduttore di tura $2R= 20 \,cm$ , cosi che si ottiene in uscita un fascio di microonde approssimativamente parallelo all’asse del paraboloide. La potenza media di ogni impulso è $P= 25 kW$ . Calcolare:

la lunghezza d’onda $\lambda$ del fascio di microonde;
l’energia totale $U$ di ciascun impulso;
l’intensità $I$ del fascio di microonde;
l’ampiezza del campo elettrico $E_0$ , e del campo magnetico $B_0$ ;
a forza $F$ esercitata durante un impulso su una superficie perfettamente riflettente ortogonale al fascio.

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Figura 1: figura esercizio 5.

Svolgimento.

Partiamo dal calcolare la lunghezza d’onda $\lambda$ del fascio di microonde. Usando l’equazione (1):

$\begin{equation*} \lambda = \frac{c}{\nu} \end{equation*}$

risulta che la lunghezza d’onda assume il valore:

$\boxcolorato{fisica}{ \lambda = \text{1,5} \, \text{cm}.}$

Per risolvere il punto 2, bisogna considerare che la potenza non è altro che la variazione di energia nel tempo. Per trovare l’energia totale $U$ di un impulso, bisogna moltiplicare la potenza trasportata per la durata di ciascun impulso:

(13) $\begin{equation*} U = P\,t. \end{equation*}$

Numericamente risulta che:

$\boxcolorato{fisica}{ U = 25\cdot 10^{-6}\, \text{J}.}$

L’intensità del fascio di microonde si calcola considerando che:

$\begin{equation*} I = c\varepsilon_0\,E_0^2 \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} E_0 = \frac{P}{\varepsilon_0 \, c \,. \Sigma}. \end{equation*}$

Per cui, sostituendo questa relazione in quella per l’intensità, si ha:

$\begin{equation*} I = \frac{P}{\Sigma} = \frac{P}{\pi R^2}, \end{equation*}$

in quanto l’area considerata è quella di un cerchio di raggio $R$ .

Sostituendo i valori numerici si ha:

$\boxcolorato{fisica}{ I = 8\cdot10^5 \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2}. }$

Per risolvere il punto 4 e calcolare il modulo del campo elettrico $E_0$ , bisogna prendere la radice della relazione (14):

$\begin{equation*} E_0 = \sqrt{\frac{P}{\varepsilon_0 \, c \, \Sigma}} \end{equation*}$

che numericamente è:

$\boxcolorato{fisica}{ E_0 = \text{2,44}\cdot 10^4 \, \frac{\text{V}}{\text{m}}.}$

Il campo magnetico si trova facilmente sfruttando la (11):

$\boxcolorato{fisica}{ B_0 = \frac{E_0}{c} = \text{8,16} \, \text{T}. }$

Infine, dalla teoria, si ha che la forza $F$ esercitata durante un impulso di questo tipo su una superficie ortogonale al fascio è:

(15) $\begin{equation*} F = \frac{2\,P}{c} \end{equation*}$

che numericamente risulta:

$\boxcolorato{fisica}{ F = \text{1,67} \cdot 10^{-4}\, \text{N} }$

Esercizio 6. Un’antenna parabolica ha un’apertura $2R=15 \ \text{m}$ e riceve in direzione normale un segnale radio proveniente da una sorgente molto lontana, di ampiezza efficace $E_{\text{eff}}=\text{2,83}\cdot10^{-7} \ \text{V/m}$ . Assumendo che l’antenna assorba tutta la radiazione che la colpisce, calcolare la forza $F$ esercitata dalla radiazione sull’antenna.

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Figura 2: schema problema 6.

Svolgimento.

Per affrontare questo problema, iniziamo considerando l’energia trasportata dall’onda radio. Sappiamo che l’intensità energetica di un’onda elettromagnetica può essere descritta tramite il vettore di Poynting $\vec{I}$ , il quale rappresenta la quantità di energia trasportata dall’onda attraverso una superficie in un determinato intervallo di tempo. Il vettore di Poynting è definito come

(16) $\begin{equation*} \vec{I} = \dfrac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0}. \end{equation*}$

Tuttavia, sappiamo che in un’onda elettromagnetica piana come quella considerata nel problema, il campo elettrico e il campo magnetico sono tra loro perpendicolari in ogni punto. Passando ai moduli, possiamo quindi scrivere

(17) $\begin{equation*} I = \dfrac{EB}{\mu_0}. \end{equation*}$

Utilizziamo ora un’ulteriore informazione che conosciamo dalla teoria, ossia che il campo elettrico e il campo magnetico che compongono un’onda elettromagnetica sono in relazione tra loro secondo la seguente espressione

(18) $\begin{equation*} c = \frac{E}{B} \quad \Leftrightarrow \quad B = \frac{E}{c}, \end{equation*}$

dove si dimostra che $c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ .

Dunque, si ottiene che la (17) può essere riscritta come

(19) $\begin{equation*} I = \dfrac{E}{\mu_0} \cdot \dfrac{E}{c}, \end{equation*}$

ossia, moltiplicando numeratore e denominatore per $c$

(20) $\begin{equation*} I = \dfrac{cE^2}{c^2\mu_0} = \dfrac{cE^2\mu_0\varepsilon_0}{\mu_0} = c\varepsilon_0 E^2. \end{equation*}$

Notiamo che il campo elettrico $E$ segue un andamento sinusoidale, per cui la funzione $E^2(x)$ raggiunge un massimo in $E_0$ , come evidenziato dalla figura 2, e un minimo pari a zero. Possiamo quindi ricavare l’intensità di energia media come

(21) $\begin{equation*} I_{m} = \dfrac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{2} = \dfrac{c \varepsilon_0 E_0^2}{2} - 0 = \dfrac{c \varepsilon_0 E_0^2}{2}. \end{equation*}$

Ricordando che $E_{\text{eff}}$ corrisponde al valore efficace del campo elettrico, il quale nel nostro caso è $E_0$ diviso $\sqrt{2}$ , otteniamo la seguente equazione

(22) $\begin{equation*} I_{m} = c \varepsilon_0 E_{\text{eff}}^2. \end{equation*}$

A questo punto, è utile ricordare la definizione iniziale del vettore di Poynting: esso rappresenta la quantità di energia trasportata da un’onda elettromagnetica in un certo intervallo di tempo attraverso una superficie generica $\Sigma$ . Avremo dunque

(23) $\begin{equation*} I_m = \dfrac{\Delta U}{\Sigma \, \Delta t}, \end{equation*}$

dove il rapporto $\dfrac{\Delta U}{\Delta t}$ rappresenta la potenza media dell’onda, e la superficie $\Sigma$ irradiata coincide con la sezione circolare di raggio $R$ determinata dall’antenna. Pertanto, possiamo scrivere

(24) $\begin{equation*} I_m = \frac{\mathscr{P}_m}{\pi R^2} \quad \Leftrightarrow \quad \mathscr{P}_m = I_m \pi R^2. \end{equation*}$

Inoltre, dalla teoria, sappiamo che la potenza può essere espressa come:

(25) $\begin{equation*} \mathscr{P} = F \cdot v. \end{equation*}$

Nel nostro caso, poiché la velocità dell’onda è $c$ , possiamo scrivere

(26) $\begin{equation*} \mathscr{P}_m = F \cdot c. \end{equation*}$

Sostituendo questo risultato nella (24), otteniamo

(27) $\begin{equation*} F \cdot c = I_m \pi R^2, \end{equation*}$

ovvero, sfruttando il risultato trovato nella (22),

$\boxcolorato{fisica}{F = \varepsilon_0 E^2_{\text{eff}} \pi R^2 = \text{1,24} \cdot 10^{-22} \, \text{N}.}$

Esercizio 7. Una lampada da $500 \ \text{W}$ irradia isotropicamente con efficienza dell’ $80\%$ . Calcolare alla distanza $r=5 \ \text{m}$ :

l’intensità $I$ .
il valore di $E_0$ e $B_0$ .
la forza $F$ esercitata su un dischetto di raggio $a=5 \ \text{cm}$ , perfettamente riflettente, ortogonale alla direzione di propagazione delle onde.

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Figura 3: schema problema 7.

Svolgimento punto 1.

I dati del problema indicano che la potenza erogata dalla lampada è $\mathscr{P} = 500 \, \text{W}$ . Tuttavia, il 20% di questa potenza viene disperso, quindi la potenza effettiva disponibile è $\mathscr{P}_e = 0{,}8 \cdot \mathscr{P} = 400 \, \text{W}$ . L’intensità $I$ è definita come la quantità di energia trasportata da un’onda elettromagnetica per unità di tempo e per unità di superficie. Analogamente a quanto discusso nel problema 6, possiamo esprimere l’intensità come segue:

(28) $\begin{equation*} \mathscr{P}_e = I \Sigma, \end{equation*}$

dove $\Sigma$ rappresenta la superficie considerata. Poiché il problema indica che la lampada irradia isotropicamente, possiamo concludere che, su una sfera di raggio $R$ con centro nella lampada, il valore di $I$ è uniforme in tutti i punti. Sostituendo l’espressione della superficie di una sfera di raggio $R$ nell’equazione (28), si ottiene:

(29) $\begin{equation*} \mathscr{P}_e = 4 \pi I R^2 \quad \Leftrightarrow \quad I = \dfrac{\mathscr{P}_e}{4 \pi R^2}. \end{equation*}$

Per $R=r$ si ottiene:

$\boxcolorato{fisica}{I=\dfrac{\mathscr{P}_e}{4\pi r^2}= \text{1,27} \ \frac{\text{W}}{\text{m}^2}.}$

Svolgimento punto 2.

Poichè la potenza $\mathscr{P}_e$ viene erogata costantemente, essa non sarà altro che la potenza media della lampada. Sappiamo che:

(30) $\begin{equation*} \mathscr{P}_e=I_m4\pi R^2 \end{equation*}$

dunque, sfruttando la (22), possiamo scrivere:

(31) $\begin{equation*} \mathscr{P}_e=4\pi R^2\,c\varepsilon_0 E_{\text{eff}}^2. \end{equation*}$

Ricordando inoltre che:

(32) $\begin{equation*} E_{\text{eff}}=\dfrac{E_0}{\sqrt{2}} \end{equation*}$

avremo che la (31) diventerà:

(33) $\begin{equation*} \mathscr{P}_e=\dfrac{4\pi R^2\,c\varepsilon_0 E_0^2}{2} \end{equation*}$

da cui, per $R=r$ si trova:

$\boxcolorato{fisica}{E_0=\sqrt{\dfrac{2\mathscr{P}_e}{4\pi r^2\,c\varepsilon_0}}=\text{30,9}\ \frac{\text{V}}{\text{m}}.}$

Per trovare il campo magnetico $B_0$ facciamo un ragionamento analogo a quello dell’esercizio 6. Abbiamo visto l’espressione del modulo del vettore di Poynting per le onde elettromagnetiche:

(34) $\begin{equation*} I=\dfrac{EB}{\mu_0}\quad\Leftrightarrow\quad I=\dfrac{cB^2}{\mu_0}, \end{equation*}$

dove per trovare l’espressione di $I$ in funzione di $B$ abbiamo semplicemente sfruttato la (18).

Analogamente al caso del campo elettrico, avremo

(35) $\begin{equation*} \mathscr{P}_e=I_m4\pi R^2, \end{equation*}$

ossia

(36) $\begin{equation*} \mathscr{P}_e=\dfrac{4\pi R^2\,cB_{\text{eff}}^2}{\mu_0}=\dfrac{4\pi R^2\,cB_0^2}{2\mu_0}. \end{equation*}$

Si ottiene dunque, sostituendo $R$ con $r$ :

$\boxcolorato{fisica}{B_0=\sqrt{\dfrac{2\mu_0\mathscr{P}_e}{4\pi r^2\,c}}=\text{0,1} \ \mu\text{T}.}$

Un modo molto più rapido consiste nello sfruttare direttamente la (18), ottenendo così:

$\boxcolorato{fisica}{B_0=\frac{E_0}{c}=\text{0,1} \ \mu\text{T}.}$

Svolgimento punto 3.

Sappiamo dalla (28) che:

(37) $\begin{equation*} I=\frac{P_e}{\Sigma}, \end{equation*}$

dove in questo caso $\Sigma$ indicherà la superficie del disco preso in considerazione. Allora si avrà:

(38) $\begin{equation*} I\pi a^2=\mathscr{P}_e. \end{equation*}$

Ricordando che $P_e$ altro non è che il prodotto tra la forza esercitata dall’onda e la sua velocità, avremo:

(39) $\begin{equation*} F=\dfrac{I\pi a^2}{c}. \end{equation*}$

Tuttavia, dalla teoria sappiamo che, in caso di riflessione totale da parte del dischetto, la pressione di radiazione raddoppia. Poiché la superficie $\Sigma$ rimane costante durante tutto il fenomeno, anche la forza raddoppierà. Pertanto, otteniamo:

$\boxcolorato{fisica}{F=\dfrac{2I\pi a^2}{c}=\text{6,65}\cdot10^{-11} \ \text{N}.}$

Esercizio 8. Una stazione radiotrasmittente di potenza $P_1 = 35 \, \text{kW}$ emette onde sferiche isotropicamente. Calcolare:

L’intensità $I_1$ a $r_1 = 20 \, \text{km}$ dalla sorgente.
Il valore efficace $E_{\text{eff}}$ del campo elettrico.
La potenza $P_2$ che dovrebbe avere la sorgente per dare lo stesso segnale a distanza $r_2 = 100 \, \text{km}$ .

Svolgimento.

In questo problema si analizza un’onda sferica e l’intensità dipende dal raggio $r$ . Infatti, essa risulta essere:

$\begin{equation*} I_1 = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2(r) = \frac{P_1}{4\pi r_1^2}, \end{equation*}$

dato che la dipendenza dal raggio in un’onda sferica è proporzionale a $\frac{1}{r^2}$ .

Inserendo i valori numerici, si ottiene:

$\boxcolorato{fisica}{ I_1 = \text{6,963}\cdot 10^{-6}\, \frac{\text{W}}{\text{m}^2}.}$

Con riferimento ai problemi precedenti, è possibile calcolare il valore efficace del campo elettrico $E_{\text{eff}}$ come

$\begin{equation*} E_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{I_1}{c \, \varepsilon_0}}. \end{equation*}$

Sostituendo il valore di $I_1$ , si ottiene

$\boxcolorato{fisica}{ E_{\text{eff}} = 51 \, \frac{\text{mV}}{\text{m}}.}$

Per risolvere il quesito 3, consideriamo che

$\begin{equation*} I_2 = \frac{P_2}{4\pi r_1^2} \end{equation*}$

e se vogliamo che

$\begin{equation*} I_1 = I_2, \end{equation*}$

deve valere

$\begin{equation*} \frac{P_1}{4\pi r_1^2} = \frac{P_2}{4\pi r_1^2}. \end{equation*}$

Da questa equazione si può isolare $P_2$ , che risulta essere

$\begin{equation*} P_2 = \frac{r_2^2}{r_1^2} \, P_1 \end{equation*}$

e, calcolandolo numericamente, otteniamo

$\boxcolorato{fisica}{ P_2 = 875 \, \text{kW}.}$

Esercizio 9. Un trasmettitore $T$ emette onde elettromagnetiche in un cono. Alla distanza $r_1 = 2 \ \text{km}$ , l’area del cono è $\Sigma = 8 \cdot 10^{4} \ \text{m}^2$ e il valore del campo elettrico efficace è $E_{1,\text{eff}} = 14 \ \frac{\text{V}}{\text{m}}$ . Calcolare:

L’ampiezza efficace del campo magnetico $B_{1,\text{eff}}$ .
La potenza media del trasmettitore $\mathscr{P}$ .
I valori $E_{2,\text{eff}}$ e $B_{2,\text{eff}}$ alla distanza $r_2 = 10 \ \text{km}$ .

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Figura 4: schema problema 9.

Svolgimento punto 1.

In un’onda elettromagnetica il campo elettrico e il campo magnetico sono legati dalla seguente relazione:

(40) $\begin{equation*} \frac{E}{B}=c. \end{equation*}$

Possiamo quindi pensare di moltiplicare e dividere il primo membro per $\sqrt{2}$ , ottenendo così:

(41) $\begin{equation*} c=\dfrac{\sqrt{2}E}{\sqrt{2}B}=\dfrac{E_{\text{eff}}}{B_{\text{eff}}}. \end{equation*}$

Possiamo dunque già risolvere il primo punto del problema semplicemente invertendo la relazione:

$\boxcolorato{fisica}{B_{1,\,\text{eff}}=\dfrac{E_{1,\,\text{eff}}}{c}=\text{4,7}\cdot10^{-8} \ \text{T}.}$

Svolgimento punto 2.

In altri problemi riguardanti le onde elettromagnetiche, abbiamo visto che l’intensità di energia $I$ può essere espressa sia in funzione del campo elettrico che in funzione del campo magnetico. In questo caso, sceglieremo di esprimerla in funzione del campo elettrico. Pertanto, abbiamo¹:

(42) $\begin{equation*} I_1=c\varepsilon_0E_{1,\,\text{eff}}^2. \end{equation*}$

Sappiamo inoltre che l’intensità di energia è uguale alla potenza per unità di superficie, dunque avremo:

$\boxcolorato{fisica}{\mathscr{P}=I_1\Sigma=\text{41,6} \ \text{kW}.}$

$\[\]$

Per una spiegazione più dettagliata del motivo per cui la formula utilizzata è valida, si veda il problema 6. ↩

Svolgimento punto 3.

Poiché il trasmettitore emette onde elettromagnetiche in un cono, sappiamo che l’ampiezza di tali onde varia lungo la direzione di propagazione. Consideriamo il campo elettrico per analizzare questa variazione. La situazione è rappresentata nella figura 5.

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Figura 5: rappresentazione della radiazione.

Come illustrato nella figura 5, la superficie attraversata dall’onda varia lungo l’asse $x$ . Tuttavia, possiamo esprimere questa superficie in funzione dell’angolo solido $\Delta \Omega$ che definisce l’apertura del cono. In particolare, la superficie $\Sigma$ , che rappresenta la base del cono di altezza $r_i$ (con $i=1,2$ ), può essere espressa come:

(43) $\begin{equation*} \Sigma=\Delta\Omega r_i^2, \end{equation*}$

da cui, l’espressione della potenza trovata nel punto 2 diventa:

(44) $\begin{equation*} \mathscr{P}=I_i\Sigma=c\varepsilon_0E_{i,\,\text{eff}}^2\Delta\Omega r_i^2\quad\Leftrightarrow\quad\Delta\Omega=\dfrac{\mathscr{P}}{c\varepsilon_0E_{i,\,\text{eff}}^2 r_i^2} . \end{equation*}$

Poiché l’angolo solido è il parametro geometrico che descrive l’apertura del cono, il suo valore è costante in ogni punto del cono. Pertanto, possiamo affermare che:

(45) $\begin{equation*} \dfrac{\mathscr{P}}{c\varepsilon_0E_{1,\,\text{eff}}^2 r_1^2}=\dfrac{\mathscr{P}}{c\varepsilon_0E_{2,\,\text{eff}}^2 r_2^2}\quad\Leftrightarrow\quad E_{1,\,\text{eff}}^2r_1^2=E_{2,\,\text{eff}}^2r_2^2 , \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{E_{2,\,\text{eff}}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)E_{1,\,\text{eff}}=\text{2,8} \ \frac{\text{V}}{\text{m}}.}$

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Esercizio 10. . Nel 1965, Penzias e Wilson scoprirono la radiazione cosmica di fondo (o radiazione di microonde cosmica), che è una traccia dell’espansione dell’universo iniziata dopo il Big Bang. La densità media di energia elettromagnetica rilevata, $u_m = 4 \cdot 10^{-14} \ \text{J/m}^3$ , è stata successivamente misurata con grandissima precisione utilizzando un rivelatore montato su un satellite. Si richiede di:

Calcolare l’ampiezza del campo elettrico $E_0$ della radiazione cosmica.
Calcolare l’ampiezza del campo magnetico $B_0$ della radiazione cosmica.

Svolgimento.

Per risolvere questo problema dobbiamo tener conto che, dalla teoria, la densità di energia media è pari a:

$\begin{equation*} u_m = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \, E_0^2 \end{equation*}$

quindi, l’ampiezza del campo elettrico $E_0$ della radiazione cosmica di fondo – che inizialmente fu scambiata da Penzias e Wilson per rumore causato da degli escrementi di uccelli presenti nella loro strumentazione – risulta essere:

$\begin{equation*} E_0 = \sqrt{\frac{2u_m}{\varepsilon_0}} \end{equation*}$

e, sostituendo i valori numerici

$\boxcolorato{fisica}{ E_0 = 95 \ \text{mV/m}.}$

Per calcolare il modulo del campo magnetico, invece, come fatto finora usiamo la relazione espressa in equazione (11)

$\begin{equation*} B_0 = \frac{E_0}{c}, \end{equation*}$

per cui

$\boxcolorato{fisica}{ B_0 = \text{3,17} \cdot 10^{-10} \ \text{T}.}$

Esercizio 11. Un granello di polvere cosmica nel sistema solare è soggetto sia alla forza di attrazione gravitazionale esercitata dal Sole, sia alla forza dovuta alla pressione di radiazione. Supponendo che la particella sia sferica e in grado di assorbire completamente tutta la radiazione incidente, si richiede di:

Calcolare il valore di $a_0$ , il raggio del granello, al di sotto del quale la particella verrebbe spinta fuori dal Sistema Solare.

I valori numerici da utilizzare sono:

massa del Sole: $M_{\text{Sole}} = 2 \cdot 10^{30} \ \text{kg}$ ;
potenza del Sole: $\mathscr{P}_{\text{Sole}} = \text{3,96} \cdot 10^{26} \ \text{W}$ ;
densità del granello: $\rho = \text{2,7} \cdot 10^3 \ \text{kg/m}^3$ ;
costante gravitazionale: $\gamma = \text{6,67} \cdot 10^{-11} \ \text{N m}^2/\text{kg}^2$ .

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Figura 6: schema problema 11.

Svolgimento.

Per definizione di pressione sappiamo che

(46) $\begin{equation*} P_{\text{rad}}=\frac{F_{\text{rad}}}{\Sigma}, \end{equation*}$

dove $P_{\text{rad}}$ rappresenta la pressione di radiazione, $F_{\text{rad}}$ la forza esercitata sul granello a causa di questa pressione, e $\Sigma$ la superficie su cui la pressione viene applicata, ossia, in questo caso, la sezione circolare del granello di polvere cosmica. Per determinare il valore di $P_{\text{rad}}$ , consideriamo che il Sole dissipa una potenza pari a $\mathscr{P}_{\text{Sole}} = c F_{\text{Sole}}$ , poiché la radiazione elettromagnetica, essendo un’onda, si propaga con una velocità pari a $c$ . Da ciò segue che:

(47) $\begin{equation*} F_{\text{Sole}}=\frac{\mathscr{P}_{\text{Sole}}}{c}, \end{equation*}$

e dunque

(48) $\begin{equation*} P_{\text{rad}}=\frac{F_{\text{Sole}}}{\Sigma_{\text{Sole}}}=\dfrac{\mathscr{P}_{\text{Sole}}}{4\pi r^2 c}, \end{equation*}$

dove con $\Sigma_{\text{Sole}}$ si indica la superficie sferica di centro il sole e di raggio $r$ pari alla distanza tra il Sole e il granello. Sostituendo il risultato appena trovato nella equazione (46), otteniamo

(49) $\begin{equation*} \dfrac{\mathscr{P}_{\text{Sole}}}{4\pi r^2 c}=\dfrac{F_{\text{rad}}}{\Sigma}.\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\mathscr{P}_{\text{Sole}}}{4\pi r^2 c}=\dfrac{F_{\text{rad}}}{\pi a^2}. \end{equation*}$

Ossia troviamo il modulo della forza subita dal granello a causa della radiazione

(50) $\begin{equation*} F_{\text{rad}}=\dfrac{\mathscr{P}_{\text{Sole}}a^2}{4r^2c}. \end{equation*}$

Inoltre, il corpo risentirà anche della forza gravitazionale $\vec{F}_g$ dovuta alla massa del Sole. Dalla legge della gravitazione universale sappiamo che tale forza sarà

(51) $\begin{equation*} F_g=\gamma\dfrac{M_{\text{Sole}}\,m_{g}}{r^2}. \end{equation*}$

Sappiamo però che per definizione la densità del granello è il rapporto tra la sua massa $m_g$ e il suo volume. Essendo il granello approssimabile a una sfera, avremo

(52) $\begin{equation*} m_g=\frac{4}{3}\pi\rho a^3. \end{equation*}$

Dunque, l’espressione della forza gravitazionale diventa:

(53) $\begin{equation*} F_g=\dfrac{4\pi \gamma M_{\text{Sole}}\rho a^3}{3r^2}. \end{equation*}$

Una volta determinate le due forze agenti sulla particella, dobbiamo trovare il valore del raggio $a_0$ per il quale la particella viene espulsa dal Sistema Solare. Affinché ciò accada, la forza dovuta alla pressione di radiazione deve superare l’attrazione gravitazionale esercitata dal Sole sul granello. Quindi, dovremo soddisfare la seguente condizione

(54) $\begin{equation*} F_{\text{rad}}>F_g\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\mathscr{P}_{\text{Sole}}a_0^2}{4r^2c}>\dfrac{4\pi \gamma M_{\text{Sole}}\rho a_0^3}{3r^2}, \end{equation*}$

conseguentemente

$\boxcolorato{fisica}{a_0<\dfrac{3\mathscr{P}_{\text{Sole}}}{16\pi\gamma cM_{\text{Sole}}\rho}=\text{0,22} \ \mu\,\text{m}.}$

Esercizio 12. È stato proposto che una navicella spaziale possa essere spinta nel Sistema Solare dalla pressione di radiazione solare esercitata su una vela leggera, realizzata con un materiale perfettamente riflettente, montata sulla navicella stessa. Supponendo che la navicella abbia una massa totale $m$ , compresa la vela, e che quest’ultima abbia una superficie $\Sigma$ , si richiede di:

Calcolare il rapporto $m/\Sigma$ per cui la forza di attrazione gravitazionale del Sole uguaglia la forza esercitata dalla radiazione solare.

I valori numerici da utilizzare sono:

massa del Sole: $M_{\text{Sole}} = 2 \cdot 10^{30} \ \text{kg}$ ;
potenza del Sole: $\mathscr{P}_{\text{Sole}} = \text{3,96} \cdot 10^{26} \ \text{W}$ ;
costante gravitazionale: $\gamma = \text{6,67}\cdot 10^{-11} \ \text{N m}^2/\text{kg}^2.$

Svolgimento.

Anche in questo caso, come nel problema precedente, le forze che agiscono sulla navicella sono la forza di radiazione e la forza di attrazione gravitazionale esercitata dal Sole. Tuttavia, poiché la vela è realizzata con un materiale perfettamente riflettente, la pressione di radiazione esercitata sulla superficie $\Sigma$ sarà doppia rispetto al caso in cui vi sia un assorbimento totale. Di conseguenza, avremo

(55) $\begin{equation*} P_{\text{rad}}=\dfrac{2F_{\text{rad}}}{\Sigma}. \end{equation*}$

Successivamente, seguendo lo stesso procedimento del problema 11, si conclude:

(56) $\begin{equation*} P_{\text{rad}}=\dfrac{2\mathscr{P}_{\text{Sole}}}{4\pi r^2c}, \end{equation*}$

dove ricordiamo che $r$ indica la distanza tra il sole e l’astronave. Per definizione, la pressione di radiazione è il rapporto tra la forza di radiazione e la superficie su cui viene applicata. Si ottiene dunque

(57) $\begin{equation*} F_{\text{rad}}=P_{\text{rad}}\Sigma=\dfrac{2\mathscr{P}_{\text{Sole}}\Sigma}{4\pi r^2c}. \end{equation*}$

Inoltre, dalla legge della gravitazione universale di Newton, sappiamo che

(58) $\begin{equation*} F_g=\gamma\dfrac{M_{\text{Sole}}\,m}{r^2}. \end{equation*}$

Il problema richiede di imporre che la forza di radiazione eguagli la forza gravitazionale. Avremo dunque

(59) $\begin{equation*} F_{\text{rad}}=F_g\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{2\mathscr{P}_{\text{Sole}}\Sigma}{4\pi r^2c}=\gamma\dfrac{M_{\text{Sole}}\,m}{r^2}, \end{equation*}$

di conseguenza

$\boxcolorato{fisica}{\dfrac{m}{\Sigma}=\dfrac{\mathscr{P}_{\text{Sole}}}{2\pi c\gamma M_{\text{Sole}}}=\text{1,55}\cdot10^{-3} \ \frac{\text{kg}}{\text{m}^2}.}$

Esercizio 13. Un’antenna FM lunga $l = \text{1,8} \, \text{m}$ è orientata parallelamente al campo elettrico $\vec{E}$ di un’onda elettromagnetica. Calcolare:

l’ampiezza del campo elettrico $E_0$ necessaria a produrre una f.e.m. efficace $\mathcal{E}_\text{eff} = 1 \, \text{mV}$ (possibile errore) nell’antenna;
l’intensità $I$ dell’onda elettromagnetica stessa.

Svolgimento.

Per risolvere questo problema dobbiamo ricordare, dalla teoria dell’elettromagnetismo, che la forza elettromotrice è pari alla circuitazione del campo elettrico. La circuitazione è l’integrale di cammino del campo elettrico lungo una linea chiusa:

(60) $\begin{equation*} \mathcal{E} = \oint_\gamma \vec{E}\cdot d\vec{s}, \end{equation*}$

dove $\gamma$ è il percorso in questione.

Nel caso di questo problema facciamo riferimento alla figura 7 e suddividiamo il cammino $\gamma$ in quattro pezzi

$\begin{equation*} \mathcal{E} = \oint_\gamma \vec{E}\cdot d\vec{s} = \int_{\gamma_1} \vec{E}\cdot d\vec{s} + \int_{\gamma_2} \vec{E}\cdot d\vec{s} + \int_{\gamma_3} \vec{E}\cdot d\vec{s} + \int_{\gamma_4} \vec{E}\cdot d\vec{s} = E_0 \cos{(kr - \omega t)} \,l. \end{equation*}$

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Figura 7: figura esercizio 13.

Quindi, alla luce di questo ragionamento, possiamo affermare che la forza elettromotrice efficace è

$\begin{equation*} \mathcal{E}_{\text{eff}} = \frac{E_0 l}{\sqrt{2}}, \end{equation*}$

quindi

$\begin{equation*} E_0 = \frac{\mathcal{E}_{\text{eff}} \sqrt{2} }{l}, \end{equation*}$

e, numericamente

$\boxcolorato{fisica}{ E_0 \approx \text{7,86}\cdot 10^{-4}\,\frac{\text{N}}{\text{C}}.}$

Infine, l’intensità è

$\begin{equation*} I = \varepsilon_0 \,c \left(\frac{E_0}{\sqrt{2}}\right)^2, \end{equation*}$

quindi

$\boxcolorato{fisica}{ I = \text{8,3}\cdot 10^{-10}\, \frac{\text{W}}{\text{m}^2}.}$

Esercizio 14. Un’antenna è formata da $N = 600$ spire circolari di diametro $d = 60 \, \text{cm}$ ed è installata in una zona in cui arriva il segnale di una stazione radio con un’intensità $I = 2 \cdot 10^{-4} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2}$ e una frequenza $\nu = 940 \, \text{kHz}$ . Calcolare:ù

l’ampiezza del campo elettrico $E_0$ e del campo magnetico $B_0$ nella zona di ricezione;
il segnale $\mathcal{E}$ ricevuto dall’antenna.

Svolgimento.

Per risolvere questo problema dobbiamo considerare, innanzitutto, l’espressione dell’intensità in equazione (8)

$\begin{equation*} I = \frac{1}{2} c\,\varepsilon_0 E_0^2, \end{equation*}$

quindi

$\begin{equation*} E = \sqrt{\frac{2I}{c\,\varepsilon_0 }}, \end{equation*}$

e numericamente

$\boxcolorato{fisica}{ E_0 \approx \text{0,388}\,\frac{\text{N}}{\text{C}}.}$

Il campo magnetico, invece, si calcola con l’equazione (11)

$\boxcolorato{fisica}{B_0 = \frac{E_0}{c} \approx \text{1,3}\cdot10^{-9}\,\text{T}.}$

Per risolvere il punto 2 bisogna considerare che il campo magnetico è:

$\begin{equation*} B(r,t) = B_0\cos{(kr-\omega t)} = B_0\cos{(kr-2\pi \nu t)}. \end{equation*}$

Dalla legge di Faraday-Neumann-Lens sappiamo che la forza elettromotrice indotta è pari alla variazione del flusso di campo magnetico nel tempo cambiata di segno

(61) $\begin{equation*} \mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}. \end{equation*}$

Il flusso di campo magnetico $\Phi(\vec{B})$ risulta essere

$\begin{equation*} \Phi(\vec{B}) = N \iint_\Sigma \vec{B} \cdot d\Sigma = N \iint_\Sigma B_0\cos{(kr-2\pi \nu t)} = N B_0 \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cos{(kr-2\pi \nu t)}. \end{equation*}$

La forza elettromotrice è

$\begin{aligned} \mathcal{E}_i &= -\frac{d\left( N B_0 \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cos{(kr-2\pi \nu t)}\right)}{dt} \\ &= N B_0 \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \sin{(kr-2\pi \nu t)} 2\pi \nu \\ &= 2\pi^2 \nu N B_0 \left(\frac{d}{2}\right)^2 \sin{(kr-2\pi \nu t)}, \end{aligned}$

quindi

$\begin{equation*} \mathcal{E}_{\text{eff}} = \frac{\mathcal{E}_i}{\sqrt{2}} = \frac{2\pi^2 \nu N B_0 d^2 \sin{(kr-2\pi \nu t)}}{4\sqrt{2}}. \end{equation*}$

Sostituendo i valori numerici si ottiene

$\boxcolorato{fisica}{\mathcal{E}_{\text{eff}} = \text{0,92}\,\text{V}.}$

Esercizio 15. Due antenne $A_1$ e $A_2$ , molto lunghe, giacciono su due piani paralleli e sono disposte a grande distanza: la prima, $A_1$ , trasmette un segnale $E_1$ e la seconda, $A_2$ , lo riceve. Sia $I_1$ l’intensità che arriva nella zona in cui si trova l’antenna $A_2$ e $I_2$ quella assorbita dalla stessa. Calcolare il rapporto $\frac{I_2}{I_1}$ quando l’antenna ricevente $A_2$ forma un angolo $\theta = 30^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ con l’antenna trasmittente $A_1$ .

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Figura 8: figura esercizio 15.

Svolgimento.

L’intensità del segnale ricevuto da un’antenna dipende dall’orientamento di quest’ultima rispetto alla direzione del campo elettrico $\vec{\bm{E}}$ del segnale trasmesso. Se $\theta$ rappresenta l’angolo tra l’antenna ricevente $A_2$ e la direzione del campo elettrico $\vec{\bm{E}}$ , l’intensità $I_2$ del segnale ricevuto sarà proporzionale al quadrato del coseno dell’angolo $\theta$ , ossia:

$I_2 = I_1 \cos^2 \theta,$

dove $I_1$ è l’intensità del segnale nella posizione dell’antenna ricevente $A_2$ . Di conseguenza, il rapporto tra le intensità $I_2$ e $I_1$ è dato da:

$\frac{I_2}{I_1} = \cos^2 \theta.$

Per determinare il rapporto per i diversi angoli $\theta$ , consideriamo i seguenti casi: – Per $\theta = 30^\circ$ , si ha:

$\boxcolorato{fisica}{\frac{I_2}{I_1} = \cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = \text{0,75}.}$

– Per $\theta = 45^\circ$ , si ha:

$\boxcolorato{fisica}{\frac{I_2}{I_1} = \cos^2 45^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = \text{0,5}.}$

– Per $\theta = 90^\circ$ , si ha:

$\boxcolorato{fisica}{\frac{I_2}{I_1} = \cos^2 90^\circ = 0.}$

Pertanto, i rapporti tra l’intensità ricevuta $I_2$ e quella incidente $I_1$ per i diversi angoli $\theta$ risultano essere $\text{0,75}$ per $\theta = 30^\circ$ , $\text{0,5}$ per $\theta = 45^\circ$ , e $0$ per $\theta = 90^\circ$ . L’intensità del segnale ricevuto diminuisce all’aumentare dell’angolo $\theta$ , fino ad annullarsi completamente quando $\theta = 90^\circ$ .

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