Questo articolo presenta 28 esercizi svolti sulle correnti alternate e trasformatori ideali, inclusi circuiti RLC, RL e RC. Gli esercizi sono risolti in modo dettagliato e minuzioso, ideali per corsi di Fisica 2 per ingegneria, fisica e matematica. Gli esercizi sono tratti dal libro ‘Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde’ di P. Mazzoldi, M. Nigro, e C. Voci. L’obiettivo di questo lavoro è fornire soluzioni chiare e dettagliate del capitolo 9.
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Ottieni il documento contenente 28 esercizi risolti, contenuti in 24 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione delle correnti alternate e trasformatori ideali.
Autori e revisori degli esercizi su oscillazioni elettriche-correnti alternate-circuiti RLC-trasformatori ideali
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Revisore: Silvia Lombardi.
Testi degli esercizi su oscillazioni elettriche-correnti alternate-circuiti RLC-trasformatori ideali
Esercizio 1 . In un circuito
con
la corrente varia con la legge
(dove i 2500 sono intesi in
dato che l’argomento del seno deve essere adimensionale). Calcolare:
- l’istante
in cui la corrente raggiunge il suo valore massimo a partire dall’istante
;
- il valore dell’induttanza
;
- l’energia totale
immagazzinata nel circuito stesso.
Svolgimento punto 1.
La corrente è descritta da una funzione sinusoidale il cui massimo lo si ottiene quando l’argomento del seno è pari a , pertanto si ha
(1)
da cui
(2)
cioè
Svolgimento punto 2.
Svolgimento punto 3.
In assenza di resistenze non abbiamo alcuna dissipazione di energia; segue allora che la somma dell’energia immagazzinata dal condensatore e dall’induttore è costante nel tempo
(4)
Risulta chiaro che quando la carica è massima la corrente è nulla o quando la corrente è massima la carica è nulla. Pertanto essendo si ha
(5)
cioé
Esercizio 2 . Nel circuito di figura
,
e
. Inizialmente l’interruttore
rimane chiuso per un tempo molto lungo nella posizione 1 e quindi commuta nella posizione 2. Calcolare:
- la frequenza
delle oscillazioni del circuito
;
- il valore massimo della corrente
.
Figura 1: dettaglio schema esercizio 2.
Svolgimento punto 1.
Inizialmente il circuito è chiuso nella posizione ; il circuito è del tipo
con una d.d.p. data da
. La carica di un circuito
può essere trovata applicando la legge di Kirchoff per le tensioni alla maglia considerata. Sappiamo che il potenziale dovuto al resistore è dato dalla prima legge di Ohm, ossia
(6)
dove è il potenziale ai capi della resistenza.
Il potenziale tra le due lastre del condensatore è invece, dalla definizione di capacità C di un condensatore, pari a
(7)
Applicando la legge di Kircoff alle maglie si ha
(8)
ossia:
(9)
Integriamo ambo i membri dell’equazione partendo da un tempo fissato . A tale tempo, anche la carica
è nulla in quanto il condensatore è scarico, dunque otteniamo
(10)
Svolgiamo gli integrali e otteniamo:
(11)
da cui
(12)
cioè
(13)
Abbiamo ottenuto la funzione che descrive la quantità di carica in funzione del tempo.
Si noti che, per tempi molto lunghi, teoricamente per , il condensatore si carica completamente e dunque si ha
, sostanzialmente per tempi molto lunghi il condensatore si comporta come un circuito aperto. Quindi assumiamo il condensatore completamente carico e cambiamo la posizione dell’interruttore in
; siamo ora in presenza di un circuito
.
Abbiamo già visto nell’esercizio 1 la pulsazione naturale del circuito , cioè
, ne ricaviamo la frequenza dividendo per
. Concludiamo con la seguente soluzione
Svolgimento punto 2.
Sappiamo che l’energia iniziale è
(14)
e sapendo che l’energia si conserva si ha
(15)
da cui
(16)
cioè
(17)
Si conclude che
Esercizio 3 . In un circuito
,
e
. All’istante
la corrente vale
e la carica sul condensatore
; il condensatore è in carica. Calcolare:
- l’energia totale
del circuito;
- la carica massima
;
- la corrente massima
;
Se la carica è descritta dalla relazione , calcolare
.
Svolgimento punto 1.
Conosciamo i valori iniziali della corrente e della carica depositata sul condensatore, possiamo allora calcolare l’energia utilizzando l’equazione (4) in . Concludiamo con la seguente soluzione
Svolgimento punto 2.
L’energia del circuito la si può calcolare anche nel caso in cui la carica nel condensatore è massima, ovvero quando la corrente è nulla.
(18)
da cui
Svolgimento punto 3.
(19)
da cui
Per calcolare manipoliamo la relazione
. In
essa è pari a
(20)
pertanto
Esercizio 4 . Calcolare la carica
presente sulle armature di un condensatore di un circuito oscillante
, con
e
, quando l’energia
è ripartita in parti uguali tra il campo elettrostatico e il campo magnetico, in funzione della carica massima
. Calcolare anche il tempo
necessario affinché si realizzi tale condizione se per
il condensatore è scarico.
Svolgimento.
Scriviamo la formula che descrive l’andamento oscillatorio della carica contenuta nel condensatore.
(21)
E’ stata scelta la funzione sinusoidale in modo tale da rispettare la condizione iniziale . Derivando questa funzione ricaviamo la corrente.
(22)
quindi .
Siccome il condensatore è scarico si ha che
(23)
pertanto
(24)
Calcoliamo ora l’energia del condensatore
(25)
e dell’induttore
(26)
Imponiamo
(27)
ricordando che la pulsazione di un circuito (senza generatore) è
, si ottiene
(28)
Concludiamo con la seguente soluzione
A questo punto, conoscendo l’oscillazione della carica elettrica sul condensatore, possiamo calcolare la carica che possiede al tempo
. Concludiamo con la seguente soluzione:
Esercizio 5 . Un generatore che fornisce una f.e.m.
di valore massimo
e frequenza
è collegato ad un resistore
. Se la corrente all’istante
è nulla, calcolare la corrente efficace
all’istante
e
.
Figura 2: schema problema 5.
Svolgimento.
Il generatore fornisce una f.e.m. che ha le caratteristiche di un segnale sinusoidale, ossia un segnale il cui andamento nel tempo possa essere descritto da un’equazione del tipo
(29)
Sappiamo inoltre dalla prima legge di Ohm che il potenziale ai capi di un resistore è descritta dalla relazione
(30)
dove è la corrente che attraversa il circuito. Allora, applicando la legge di Kirchoff delle tensioni alla maglia in figura 2, scegliendo, per esempio, di percorrerla in senso orario, si ottiene
(31)
Si ottiene così, sostituendo il risultato trovato nella (29) all’interno della (31) l’espressione della corrente
(32)
Il testo impone inoltre che , dunque imponendo questa condizione troviamo
(33)
da cui deduciamo che l’equazione che descrive l’andamendo della corrente in funzione del tempo sia
(34)
A questo punto possiamo trovare i valori e
della corrente ai tempi rispettivamente
e
. In generale, la corrente efficace
è
(35)
da cui, ricordando che ,
e che
, la corrente efficace all’istante
è:
mentre invece all’istante si ha
Esercizio 6 . Calcolare la resistenza
di lampadine di potenza
,
e
, collegate alla linea di distribuzione domestica,
.
Svolgimento.
Per risolvere questo problema è necessario notare che i valori delle potenze forniti dal testo si riferiscono a delle potenze medie: infatti, in una linea di distribuzione domestica, la potenza ha un andamento sinusoidale in funzione del tempo a causa del fatto che essa dipende dalla tensione a cui è mantenuta la rete, la quale è a sua volta una funzione sinusoidale. Dunque in generale La potenza media è dunque
(36)
con
Sostituendo i valori numerici dati dal problema otteniamo:
Esercizio 7 . Nel circuito di figura 3, puramente induttivo, il generatore di tensione è sottoposto ad una differenza di potenziale descritto dalla legge
dove
,
,
e
. Inoltre supporre
. Calcolare l’intensità di corrente
all’istante
.
Figura 3: dettaglio schema esercizio 7
Svolgimento.
(37)
(38)
cioè la tensione ai capi dell’induttore è uguale a quella del generatore di tensione e quindi è uguale alla derivata della corrente per l’induttanza . Si osservi che la corrente
è la stessa corrente che attraversa il generatore, cioè la corrente di maglia, che per semplificare denoteremo con
.
Integrando ambo i membri di (38) si ottiene
(39)
imponendo si ottiene
, quindi
(40)
cioè
(41)
Pertanto al tempo si ottiene
Esercizio 8 . In un circuito puramente induttivo, la tensione massima è
e la corrente massima alla frequenza
è
. Calcolare:
- l’induttanza
;
- per quale valore della frequenza
abbiamo
.
Svolgimento punto 1.
Sapendo che e utilizzando la relazione che lega la corrente massima alla d.d.p. massima ai capi dell’induttore, ricaviamo
(42)
da cui
Svolgimento punto 2.
L’induttanza e la d.d.p. massima rimangono costanti, poiché immaginiamo variare solamente la frequenza del circuito. La frequenza necessaria per avere una corrente
A è pari a
Infatti, in un circuito puramente induttivo, raddoppiando la frequenza dimezziamo la corrente massima.
Esercizio 9 . Quando un induttore è collegato ad un generatore di tensione con
, in esso circola una corrente
. Calcolare:
- la reattanza induttiva
;
- la corrente massima
se la reattanza viene raddoppiata.
Svolgimento punto 1.
La reattanza induttiva è la parte immaginaria dell’impedenza complessa e in un circuito puramente induttivo essendo l’impedenza complessa associata ad un induttore , avremo
(43)
con pulsazione del circuito. Sapendo che
(44)
e sostituendo la reattanza in quest’ultima relazione, si ottiene
(45)
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
Svolgimento punto 2.
La reattanza è inversamente proporzionale alla corrente massima, quindi se raddoppia la corrente massima si dimezza. Dall’ultima relazione ottenuta si ha
(46)
Osservazione.
Esercizio 10 . Un generatore di tensione alternata
con
e
è collegato ad un induttore
. Inoltre ipotizzare che
. Calcolare:
- la corrente massima
;
- Il valore di
quando la corrente è massima;
- Il valore della corrente
quando
e sta aumentando.
Svolgimento punto 1.
Come nei precedenti esercizi si ha
Svolgimento punto 2.
È noto che lo sfasamento tra e
introdotto da un induttore è di
. Le due funzioni considerate sono delle sinusoidi, dunque hanno semiperiodo pari a
; deduciamo che, quando la corrente vale
, lo sfasamento di
che stiamo trattando fa sì che
. Sappiamo che
(47)
da cui
(48)
da cui integrando ambo i membri, si ottiene
(49)
Ipotizzando che si trova
, e pertanto
(50)
(51)
Quindi la corrente risulta massima quando , cioè
. Sostituendo
nella legge della tensione, si ottiene
(52)
Concludiamo che quando la corrente è massima la tensione è nulla.
Svolgimento punto 3.
(53)
cioè
(54)
Essendo la tensione e la corrente sfasate di , entrambe di periodo
, si deduce che la corrente è negativa nell’istante
in cui la tensione vale
, quindi
(55)
Si conclude che
Esercizio 11 . Calcolare la corrente
che può erogare un generatore con
e
quando è collegato ai capi di un condensatore
.
Svolgimento.
(56)
dove è la pulsazione e
la fase iniziale.
Allora, sapendo che , si ha
(57)
e quindi
(58)
cioè la corrente massima è uguale alla pulsazione per la capacità del condensatore e la tensione massima ai capi del generatore di tensione (risulta chiaro che la differenza di potenziale ai capi del condensatore è la stessa del generatore).
Ricordando che si ha
(59)
cioè
Esercizio 12 . In un circuito puramente capacitivo
, il generatore ha una tensione massima
e
. Ipotizzando il condensatore scarico determinare l’intensità di corrente
all’istante
.
Svolgimento.
(60)
dove è la pulsazione e
la fase iniziale. La tensione
è la stessa ai capi del condensatore per la geometria del circuito, e essendo il condensatore scarico all’istante
, ne segue che
, cioè
, e quindi
(61)
Sapendo che
(62)
posto si trova
Esercizio 13 . Un generatore di tensione alternata con
è collegato ad un condensatore
. Calcolare la frequenza
del generatore per erogare la corrente massima
.
Svolgimento.
Esercizio 14 . Un generatore di tensione alternata
con
e
è collegato ad un condensatore
. Calcolare:
- la corrente
;
- la tensione
ai capi del condensatore quando la corrente è massima;
- il valore della corrente
quando il valore della tensione è
e sta aumentando.
Svolgimento punto 1.
Dalla soluzione dell’esercizio 11 concludiamo con la seguente soluzione.
Svolgimento punto 2.
Un condensatore introduce uno sfasamento tra d.d.p. e corrente di , di conseguenza quando la corrente è massima la d.d.p. è nulla.
Svolgimento punto 3.
(63)
e elevando al quadrato ambo i membri di quest’ultima relazione, si ottiene
(64)
da cui
(65)
Pertanto sostituendo si ottiene
Esercizio 15 . Calcolare:
- la frequenza
alla quale un induttore
e un condensatore
hanno la stessa reattanza;
- la reattanza
della serie
a questa frequenza.
Svolgimento punto 1.
La reattanza di un condensatore è negativa mentre quella di un induttore è positiva, quindi possiamo trovare la frequenza tale per cui le reattanze sono uguali in valore assoluto
(66)
dove abbiamo usato l’informazione . Concludiamo con la seguente soluzione, ovvero abbiamo trovato la frequenza naturale del circuito in serie
Svolgimento punto 2.
La reattanza del circuito è la somma algebrica delle singole reattanze
(67)
tuttavia, alla frequenza calcolata nel punto precedente, abbiamo che . Concludiamo quindi che a questa frequenza la reattanza è nulla:
Esercizio 16 . Un condizionatore d’aria collegato alla rete
è equivalente ad una resistenza
e ad una reattanza induttiva
in serie. Calcolare:
- l’impedenza
del condizionatore;
- la potenza media
utilizzata durante il funzionamento.
Svolgimento punto 1.
Il condizionatore è equivalente ad un resistenza, di impedenza puramente reale
(68)
in serie ad un induttore avente reattanza induttiva nota (ricordiamo che la reattanza è la parte immaginaria dell’impedenza complessa e che l’impedenza di un induttore è puramente immaginaria)
(69)
Essendo in serie l’impedenza totale del condizionatore non è altro che la somma delle due impedenze calcolate precedentemente. Concludiamo con la seguente soluzione
Svolgimento punto 2.
È noto che
(70)
dove
(71)
e in particolare è il valore massimo assunto dalla corrente.
Calcoliamo la corrente massima, essa non è altro che il rapporto tra la tensione massima con il modulo dell’impedenza complessa (prima legge di Ohm generalizzata al caso complesso), cioè
(72)
Possiamo calcolare ora la corrente efficace e di conseguenza la potenza media. Concludiamo con la seguente soluzione:
Esercizio 17 . In un circuito
in serie,
,
,
,
e
. Calcolare:
- la corrente
nel circuito;
- la tensione massima
ai capi di ciascun elemento;
- il fattore di potenza
del circuito ;
- la potenza media
dissipata.
Figura 4: dettaglio schema esercizio 17
Svolgimento punto 1.
Calcoliamo l’impedenza complessa equivalente del circuito, per la resistenza questa vale . Per gli altri due elementi del circuito abbiamo invece
(73)
Il circuito RLC è in serie, quindi sommiamo le varie impedenze ottenendo
(74)
A questo punto utilizziamo la legge di Ohm ai capi dell’impedenza e otteniamo la corrente massima nel circuito:
Svolgimento punto 2.
Il circuito è in serie, quindi passa la medesima corrente massima su ciascun componente. Utilizziamo anche in questo caso la prima legge di Ohm generalizzata, tuttavia dobbiamo prendere per ciascun componente il modulo della sua impedenza. Possiamo calcolare in questo modo la tensione massima ,
e
su ciascun componente
Svolgimento punto 3.
Il fattore di potenza è il coseno dell’angolo che forma l’impedenza complessa nel piano complesso con l’asse reale. Dalla trigonometria ricaviamo che
(75)
da cui
cioè
dove nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito i valori numerici.
Svolgimento punto 4.
(76)
cioè
dove nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito i valori numerici.
Esercizio 18 . In un circuito
in serie,
,
,
,
e
. Calcolare:
- la corrente efficace
nel circuito;
- la tensione efficace
ai capi di ciascun elemento;
- la tensione efficace
ai capi della serie
.
Svolgimento punto 1.
La soluzione è molto simile al problema precedente. Calcoliamo prima l’impedenza complessa
(77)
Di conseguenza troviamo la corrente massima, utilizzando la legge di Ohm
(78)
cioè
dove nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito i valori numerici.
Svolgimento punto 2.
Analogamente all’esercizio precedente troviamo che (utilizzando )
e
L’impedenza complessa risulta
(79)
Ne segue che la tensione efficace ai capi della serie LC è data da
Esercizio 19 . Una bobina di resistenza
e induttanza
è in serie con un condensatore
ed un generatore con
e frequenza
, che eroga una corrente
. Calcolare:
- la capacità
- la tensione efficace
ai capi della bobina;
- la potenza media
dissipata dalla stessa.
Svolgimento punto 1.
Una bobina è una componente RL in serie in un circuito, quindi abbiamo un circuito in serie RLC la cui impedenza complessa è nota
(80)
Conosciamo la tensione efficace e anche la corrente efficace
. Utilizzando la legge di Ohm generalizzata possiamo calcolare il modulo dell’impedenza complessa
(81)
Da (80) e utilizzando il fatto che possiamo ricavare la capacità
del condensatore
(82)
da cui otteniamo
(83)
Consideriamo i due casi separati, nel primo l’argomento del modulo è positivo, ovvero
(84)
L’equazione (82) diventa così
(85)
Il risultato non è accettabile, dal punto di vista fisico perché una capacità negativa è priva di senso, e inoltre dal punto di vista matematico perché non soddisfa la disuguaglianza (84). Consideriamo il caso dove l’argomento del modulo è negativo, in questo caso abbiamo
(86)
da cui otteniamo
(87)
che è accettabile in quanto verifica (86) . Concludiamo quindi con la seguente soluzione
Svolgimento punto 2.
Il modulo dell’impedenza complessa della bobina è dato da
(88)
La corrente efficace è la stessa su ogni parte del circuito, essendo questo un’unica maglia. Utilizziamo quindi la prima legge di Ohm generalizzata per trovare la tensione efficace ai capi della bobina
Svolgimento punto 3.
Esercizio 20 . In un circuito
in serie
,
e la corrente è in anticipo di
rispetto alla tensione. Calcolare:
- la resistenza
del circuito;
- la reattanza
della serie LC;
- la potenza media
dissipata.
Svolgimento punto 1.
Conoscendo la corrente efficace e la tensione efficace possiamo calcolare il modulo dell’impedenza complessa come segue
(89)
Si osserva che
(90)
dove è l’angolo che forma il fasore della tensione con l’asse reale e
è l’angolo che forma il fasore della corrente con l’asse reale; in particolare si osserva che
, pertanto conosciamo il fattore di potenza
, da cui
Svolgimento punto 2.
Sapendo che e
(conduttore e induttanza hanno solo impedenza immaginaria) possiamo scrivere l’impedenza complessa come
(91)
da cui
Svolgimento punto 3.
Esercizio 21 . Nel circuito di figura il generatore fornisce una tensione
alla frequenza
. Con l’interruttore aperto l’amperometro
misura una corrente efficace
, con l’interruttore chiuso
. Calcolare:
- l’induttanza
;
- la resistenza
;
- la potenza media
dissipata con l’interruttore aperto.
Figura 5: dettaglio schema esercizio 21.
Svolgimento punto 1.
Con l’interruttore aperto il circuito è un RL la cui impedenza complessa è data da
(92)
Chiudendo il circuito la resistenza viene circuitata (la corrente evita completamente di scorrere nel filo con resistenza
passando per il filo con resistenza nulla), pertanto può essere esclusa dal circuito, e abbiamo quindi un circuito puramente induttivo
la cui impedenza è data da
(93)
Conosciamo la tensione efficace (che rimane la stessa per entrambi i circuiti, dato che l’interruttore non va ad influire sulla forza elettromotrice del generatore) e la corrente efficace del circuito
. Possiamo allora calcolare l’impedenza
Svolgimento punto 2.
Svolgimento punto 3.
Esercizio 22 . In un circuito
in serie ha
,
,
e
. Calcolare:
- il valore della capacità
per cui la potenza media
dissipata è massima;
- il corrispondente valore di
;
- il fattore di potenza
.
Svolgimento punto 1.
La potenza media dissipata ha una relazione quadratica con la corrente efficace
e quest’ultima, grazie alla legge di Ohm generalizzata, è inversamente proporzionale al modulo dell’impedenza complessa.
(95)
Per massimizzare la potenza media dissipata dobbiamo quindi minimizzare il modulo dell’impedenza complessa. Questo si ottiene, in condizioni ideali, quando le reattanza è nulla, ovvero quando siamo in condizione di risonanza, che per un circuito RLC vale
(96)
Concludiamo con la seguente soluzione
Svolgimento punto 2.
In condizione di risonanza l’impedenza è puramente reale e vale (per un circuito RLC) . Utilizziamo la legge di Ohm per calcolare la corrente efficace
(97)
da cui
Svolgimento punto 3.
infatti la reattanza dell’impedenza complessa è nulla, quindi l’angolo che l’impedenza forma nel piano complesso è nullo. Analogamente si può vedere con la seguente relazione
(98)
Esercizio 23 . In un circuito
, con
, è utilizzato per sintonizzare il segnale di una stazione radio trasmittente FM con
. Calcolare la capacità
del circuito.
Svolgimento.
Esercizio 24 . Un trasformatore ideale ha
spire e
spire. Se la tensione nel primario è
, calcolare la tensione efficace
nel secondario.
Figura 6: schema problema 24
Svolgimento.
Facendo scorrere una certa corrente alternata nel primario, si induce una tensione
che per un numero
di spire, secondo la legge di Faraday-Neumann, varrà
(99)
dove è il vettore campo magnetico che viene indotto dalla corrente
che scorre lungo una spira dell’avvolgimento primario
e
è il flusso di questo campo attraverso la bobina. Sappiamo che un trasformatore è un dispositivo costruito in modo da far sì che la maggior parte del flusso di campo magnetico non venga disperso e dunque viaggi indisturbato all’interno del conduttore. Nel secondario avremo dunque, sempre sfruttando la legge di Faraday-Neumann, che la tensione
è
(100)
dove, per quanto è stato detto, la variazione di flusso sarà proprio quella generata dal primario. Pertanto, possiamo dividere tra di loro la (99) e la (100) ottenendo così
(101)
Sostituendo i dati forniti dal problema, otteniamo dunque la seguente espressione per la tensione nell’avvolgimento secondario
(102)
Dunque, dal momento che , possiamo trovare la tensione efficace del secondario
Esercizio 25 . Un trasformatore ideale ha
spire e
spire. Il primario è collegato ad un generatore di tensione alternata con tensione efficace
. Calcolare:
- la tensione
in uscita ai capi del secondario aperto.
- la corrente efficace
del primario;
- la corrente efficace
nel secondario.
Se il secondario è chiuso su un resistore , calcolare:
Figura 7: schema problema 25.
Svolgimento punto 1.
Con un procedimento del tutto analogo a quello del problema 24 possiamo concludere che la tensione nel primario e nel secondario in un trasformatore sono legate tra loro dall’equazione (101), ossia
(103)
Notiamo quindi che, essendo il rapporto una costante, la funzione
assumerà un massimo quando la
sarà massima (le due funzioni sono in fase), ovvero
(104)
Dividendo entrambi i membri per si ottengono le grandezze efficaci
(105)
Concludiamo il problema con la seguente soluzione
Osservazione.
(106)
da cui
(107)
da cui
(108)
Possiamo integrare sul medesimo periodo in quanto le due funzioni e
differiscono soltanto per una costante moltiplicativa. La seguente relazione vale quindi per qualsiasi segnale periodico
(109)
mentre la relazione che lega il valore massimo da quello efficace con un fattore vale solo per grandezze sinusoidali
(110)
Svolgimento punto 2.
(111)
possiamo scrivere, considerando il valore medio di potenza e le grandezze efficaci (sostituiamo per comodità la scritta )
(112)
dove è stata sfruttata la (101) per ricavare il rapporto tra la corrente che scorre secondario e quella che scorre nel primario. A questo punto, sappiamo che l’impedenza
in quanto il testo suggerisce che è il secondario ad essere chiuso sul resistore; per trovare la corrente
dobbiamo dunque trovare l’impedenza
, ossia l’impedenza vista ai capi del generatore di tensione. Dalla legge di Ohm avremo dunque
(113)
dove dalla (112) sappiamo che e che
. Dunque otteniamo
(114)
Il rapporto è uguale proprio all’impedenza
, dunque in definitiva scriviamo
(115)
Possiamo ora dunque trovare la corrente che scorre nel primario; facendo riferimento alla (113)
(116)
da cui, sostituendo i dati numerici del problema, otteniamo
Svolgimento punto 3.
Esercizio 26 . Un trasformatore ideale in salita è progettato per fornire una tensione efficace in uscita
, quando il primario è collegato alla rete elettrica
. Se nell’avvolgimento primario ci sono
spire, calcolare:
- le spire
del secondario;
- la corrente
del primario se il secondario è percorso dalla corrente
.
Svolgimento punto 1.
(117)
da cui invertendo la relazione, si trova
Svolgimento punto 2.
(118)
Sostituendo i valori numerici forniti dal problema e il valore di trovato al punto 1), otteniamo
Esercizio 27 . Nel primario di un trasformatore ideale, con
, circola una corrente
e c’è una tensione efficace
. Nell’ipotesi che l’efficienza nel trasferimento della potenza sia
, calcolare la corrente
e la tensione efficace
.
Figura 8: schema problema 27.
Svolgimento.
(119)
valida per ogni rapporto di potenza, ovvero media, istantanea o efficace. Quindi, ad esempio ricordando che la potenza efficace è , avremo
(120)
Sebbene una parte della potenza venga dissipata, possiamo sfruttare l’ipotesi che il trasformatore sia ideale per affermare che il flusso di campo magnetico che attraversa il conduttore si conserva; ciò ci permette di scrivere:
(121)
da cui:
Sostituendo il risultato ottenuto dalla (121) all’interno della (120), otteniamo:
(122)
da cui si ricava
Esercizio 28 . Un trasformatore funziona prelevando l’energia elettrica da una linea con tensione efficace
e distribuendola a
di tensione efficace. Calcolare:
- il rapporto
del trasformatore se la potenza media assorbita è
;
- la corrente
del primario nell’ipotesi che il fattore di potenza sia 1;
- la corrente
del secondario nell’ipotesi che il fattore di potenza sia 1;
- il carico resistivo
complessivo del secondario.
Svolgimento punto 1.
(123)
Pertanto, invertendola, ricaviamo
Svolgimento punto 2.
Svolgimento punto 3.
(124)
Chiaramente la potenza media è definita per la legge di Galileo-Ferraris, cioè , abbiamo usato il fatto che
(fattore di potenza pari a 1).
Concludiamo quindi con la seguente soluzione
Svolgimento punto 4.
(125)
e inseriamo questo valore nell’equazione della potenza media (ricordare che il fattore di potenza è 1)
(126)
da cui, invertendo, si ottiene:
Notiamo che la resistenza equivalente trovata è proprio la resistenza complessiva del secondario in quanto nel procedimento è stata utilizzata la corrente e la tensione del secondario.
Tutti gli esercizi di elettromagnetismo
Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.
Leggi...
- Esercizi su forza elettrostatica e campo elettrico.
- Esercizi su lavoro elettrico e potenziale elettrico.
- Esercizi sulla legge di Gauss.
- Esercizi sui conduttori, condensatori, dielettrici ed energia elettrostatica.
- Esercizi sulla corrente elettrica.
- Esercizi sul campo magnetico e forza magnetica.
- Esercizi sulle sorgenti di un campo magnetico e legge di Ampere.
- Esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo.
- Esercizi sulle onde elettromagnetiche.
- Esercizi sulla riflessione e rifrazione della luce.
- Esercizi sull’ ottica geometrica.
- Esercizi sull’ interferenza.
- Esercizi sulla diffrazione.
- Esercizi sulle proprietà corpuscolari e ondulatorie della materia.
Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.
Esercizi di Meccanica classica
Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.
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- Cinematica del punto materiale.
- Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
- Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
- Moti relativi.
- Sistemi di punti materiali.
- Dinamica del corpo rigido.
- Urti .
- Gravitazione .
- Oscillazioni e onde.
- Meccanica dei fluidi.
- Onde meccaniche.
- Statica in meccanica classica.
- Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
- Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.
Ulteriori risorse didattiche per la fisica
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- Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
- ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
- Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
- Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
- The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
- American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
- Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
- Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
- Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
- Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.