Esercizi svolti su sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz
Gli esercizi svolti su sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz sono tratti dal libro “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. Questo primo volume di due contiene la risoluzione dettagliata di 12 esercizi del capitolo 8, dedicato alla legge di Faraday-Neumann-Lenz. Questo materiale è destinato agli studenti di ingegneria, fisica e matematica, fornendo un supporto didattico essenziale per la comprensione dei concetti chiave trattati nel corso di Fisica 2.
Gli esercizi svolti su sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz sono organizzati in ordine di difficoltà crescente per facilitare un apprendimento graduale e sistematico. Ogni soluzione è descritta con attenzione ai dettagli, spiegando passo dopo passo i procedimenti e le logiche utilizzate, permettendo così di comprendere non solo il “come”, ma anche il “perché” delle soluzioni.
Il nostro obiettivo è offrire uno strumento di studio completo e accurato, che aiuti gli studenti a prepararsi efficacemente per esami e verifiche, oltre a sviluppare una solida comprensione dei principi dell’elettromagnetismo. Siamo certi che queste soluzioni dettagliate saranno un valido aiuto per affrontare con successo le sfide accademiche del vostro corso di studi.
Nel dettaglio, gli esercizi svolti su sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz trattati includono:
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- Esercizio 1: calcolo della tensione ai capi di una sbarretta conduttrice in movimento rispetto a un filo rettilineo percorso da corrente.
- Esercizio 2: determinazione del campo elettrico e della carica su un condensatore collegato a una bobina in movimento in un campo magnetico.
- Esercizio 3: calcolo della corrente e della potenza dissipata in un resistore collegato a una sbarretta conduttrice che si muove su rotaie in un campo magnetico.
- Esercizio 4: analisi della velocità e dell’energia dissipata di una spira conduttrice che entra in un campo magnetico.
- Esercizio 5: determinazione della velocità limite e della corrente in una sbarretta che scivola lungo guide verticali in un campo magnetico.
- Esercizio 6: studio del moto di una spira rettangolare che cade in un campo magnetico.
- Esercizio 7: calcolo della f.e.m. e della velocità limite di una sbarretta scivolante su guide inclinate in un campo magnetico.
- Esercizio 8: determinazione della f.e.m. e della potenza elettrica in un disco conduttore in rotazione (ruota di Barlow).
- Esercizio 9: analisi della corrente e della velocità di regime di una sbarretta su rotaie collegate a un generatore in un campo magnetico.
- Esercizio 10: variazione della velocità e della corrente di una sbarretta in un circuito con generatore.
- Esercizio 11: determinazione della corrente e della velocità di regime di una sbarretta che solleva una massa tramite un filo e una carrucola.
- Esercizio 12: calcolo della corrente e della velocità angolare di un disco conduttore con massa collegata in un campo magnetico.
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Ottieni il documento contenente 12 esercizi risolti, contenuti in 51 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione della legge di Faraday-Neumann-Lenz.
Autori e revisori degli esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo (legge di Faraday-Neumann-Lenz)
Mostra autori e revisori.
Revisori: Patrizio Di Lorenzo, Nicola Fusco e Alberto Cella.
Legge di Faraday-Neumann-Lenz applicata ai circuiti elettrici
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(1)
dove il segno – indica che gli effetti prodotti dalla forza elettromotrice indotta sono opposti alla variazione di flusso del campo magnetico totale entrante nel circuito.
La forma del circuito può variare nel tempo, il circuito può essere collegato ad un generatore esterno che fa scorrere una corrente dentro di essa variabile nel tempo, oppure, ad esempio, può essere immerso in un campo magnetico esterno prodotto da una sorgente esterna. Tutte e tre le situazioni possono accadere singolarmente, due contemporaneamente, oppure tutte e tre insieme, insomma nessuna esclude l’altra.
Sia , dove
e
sono rispettivamente il campo magnetico generato dall’esterno e il campo magnetico autoindotto. Riscriviamo la precedente equazione come
(2)
(3)
dove si è usato nel precedente passaggio
(4)
Studiamo qualche caso fisico in cui si vede applica la legge di Faraday-Neumann-Lenz.
- Si immagini che, ad esempio, che la forma del circuito non vari nel tempo e che non sia collegato a nessun generatore di tensione, ma che vari solo il flusso del campo magnetico esterno. In questo caso il campo magnetico interno dipende dal campo magnetico esterno, perché il campo magnetico interno si genera per gli effetti causati dal campo magnetico esterno. Ipotizziamo che il flusso del campo magnetico esterno aumenti nel tempo, allora il flusso del campo magnetico interno diminuisce, oppure se il flusso del campo magnetico diminuisce nel tempo, allora il flusso del campo magnetico interno aumenta, come d’altro canto la natura vuole.
- Si immagini il caso in cui il circuito non sia immerso in un campo magnetico esterno e che la sua forma non vari nel tempo, ma che sia collegato ad un generatore che faccia scorrere una corrente variabile nel tempo nel circuito. Per la seconda legge elementare di Laplace sappiamo che si genererà un campo magnetico e questo campo magnetico rappresenta proprio il campo magnetico interno. Dunque, in tale situazione la (5) diventa
(5)
Dalla precedente equazione si deduce, quindi che, anche in assenza di campo magnetico esterno si produce una forza elettromotrice indotta, però questa volta dal campo magnetico interno. Pertanto deduciamo che, in generale, il campo magnetico interno non dipende necessariamente dal campo magnetico esterno.
- Ora, immaginiamo che, il circuito sia immerso in un campo magnetico esterno costante in modulo, direzione e verso, che non si collegato a nessun generatore e si supponga che la forma del circuito vari nel tempo, in modo da far variare il flusso del campo magnetico dentro di esso; anche in questo caso la (5) continua a valere e deduciamo che il campo magnetico interno non dipende necessariamente dal campo magnetico esterno, ma da cause esterne variabili, che possono essere, ad esempio un generatore che fa scorrere la corrente nel circuito o un meccanismo esterno che faccia variare la forma del circuito nel tempo.
Da quanto detto deduciamo che la legge di Faraday è molto profonda e ci possono essere molti casi da analizzare.
In molti degli esercizi proposti in questo capitolo si trascurerà l’autoinduttanza dei circuiti, ovvero si pone , da cui l’equazione (5) diventa
(6)
Dato un piano immerso in un campo magnetico convenzionalmente con il pallino pieno si indica che il campo magnetico è uscente dal foglio, mentre con una
se è entrante nel foglio, come rappresentato in figura 1.
Figura 1: rappresentazione convenzionale dei versi di campo magnetico.
Immaginiamo di avere un circuito immerso in un campo magnetico uscente (ovvero il caso denotato con il simbolo ) tale per cui il flusso del campo magnetico attraverso esso aumenti nel tempo. Denotiamo con
il flusso del campo magnetico attraverso
. Se il flusso attraverso
aumenta vuol dire che
, altrimenti se il flusso attraverso
diminuisce vuol dire che
. Inoltre, si osservi che, se il flusso aumenta vuol dire che
è una funzione crescente, mentre se il flusso diminuisce vuol dire che
è una funzione decrescente.
Analizziamo il caso in cui un circuito sia immerso in un campo magnetico entrante (ovvero il caso denotato con il simbolo ) tale per cui il flusso del campo magnetico attraverso esso aumenti nel tempo in modulo. Se il flusso attraverso
aumenta in modulo vuol dire che
; in altri termini, la funzione
è monotona decrescente. Se il flusso diminuisce in modulo vuol dire che
; in altri termini, la funzione
è monotona crescente.
Matematicamente si può pensare, ad esempio, alla funzione
che è crescente e la derivata è
, altrimenti alla funzione
che è decrescente e la cui derivata è
.
Spesso negli esercizi il flusso del campo magnetico è lineare, ovvero è nella forma
, dove
perché fisicamente rappresenta una lunghezza, come ad esempio la lunghezza di un lato di un rettangolo. Chiaramente la costante che moltiplica la variabile
può essere positiva o negativa a seconda che il flusso del campo magnetico sia crescente o decrescente dato che stiamo assumendo che matematicamente sia un retta passante per l’origine di un sistema di riferimento
. Analizziamo il caso
. Precedentemente abbiamo detto che se il flusso diminuisce nel tempo ed è negativo vuol dire che
e che
, infatti se consideriamo
in modulo si ha
per
che è crescente.
Riassumendo
- nel caso
se
aumenta vuol dire che
è una funzione monotona crescente e
;
- nel caso
se
diminuisce vuol dire che
è una funzione monotona decrescente e
;
- nel caso
se
aumenta in modulo vuol dire che
è una funzione monotona decrescente e
;
- nel caso
se
diminuisce in modulo vuol dire che
è una funzione monotona crescente e
.
Per la legge di Faraday nel caso 1, caso 2, caso 3 e caso 4, si ha rispettivamente
(7)
(8)
(9)
(10)
Le equazioni (7), (8), (9) e (10) dicono rispettivamente che la corrente circola in senso orario nel circuito, la corrente circola in senso antiorario nel circuito, la corrente circola in senso antiorario nel circuito e la corrente circola in senso orario nel circuito, come era deducibile dalle legge di Lenz.
Spesso negli esercizi si sceglierà un sistema di riferimento fisso dal quale osservare gli eventi fisici, da cui si denoterà
,
e
i versori rispettivamente degli assi
,
e
.
Testi degli esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo (legge di Faraday-Neumann-Lenz)
- la tensione
ai capi
e
della sbarretta in funzione della distanza
dal filo;
- Ripetere il calcolo quando la sbarretta si muove con velocità costante parallela al filo e l’estremo più vicino al filo dista da questo
.
Si trascurino tutti gli attriti.
Figura 2: schema problema 1.
Svolgimento punto 1.
Figura 3: rappresentazione linee campo magnetico.
La figura 3 mostra come sono orientate le linee del campo magnetico. La corrente va pensata uscente dal foglio (stiamo di fatto immaginando di vedere il filo “dall’alto”). Dalla teoria sappiamo che l’intensità di un campo magnetico generato da un filo infinito percorso da corrente è descritta dalla legge di Biot-Savart
(11)
dove è la permeabilità magnetica nel vuoto,
è la distanza dal filo del punto in cui si vuole valutare il campo e
è il versore tangente alla linea di forza che passa per quel punto. Ci chiediamo che cosa succede quando il campo magnetico attraversa l’asta conduttrice. All’interno di essa, sono presenti degli elettroni che si stanno muovendo alla stessa velocità
dell’asticella, quindi si deduce che su di essi stia agendo una forza di Lorentz che, per la regola della mano destra1, tende a spingere gli elettroni verso il basso. La forza di Lorentz è definita come
(12)
dove nel nostro caso , con
numero degli elettroni che si sono spostati da una parte all’altra della sbarretta.
Abbiamo dunque trovato che la sbarretta viene polarizzata per effetto del campo magnetico in quanto le cariche di segno opposto si disporranno ad estremi opposti; è proprio questa nuova distribuzione di carica che genera la differenza di potenziale agli estremi della sbarretta. Per trovare questo potenziale, notiamo che la forza di Lorentz agisce come una forza elettrostatica, cioè genera un campo elettrico
dentro la sbarretta. Abbiamo dunque
(13)
da cui sostituendo l’espressione della forza di Lorentz definita nell’equazione (12) nella precedente equazione, otteniamo
(14)
Scegliamo un sistema di riferimento solidale con la sbarretta tale per cui
, come in figura 4.
Figura 4: rappresentazione dell’asta nel sistema di riferimento .
Sfruttando la regola della mano destra, è facile convincersi del fatto che il campo elettrico sia rivolto verso l’alto; svolgendo il prodotto vettoriale tra e
e applicando la legge di Biot-Savart, l’equazione (14) diventa
(15)
dove è il versore dell’asse
.
Una volta trovato il campo elettrico si può ricavare facilmente la differenza di potenziale
.
Dalla definizione di forza elettromotrice, si ha
(16)
dove è il segmento sul quale giace la sbarretta, ovvero
.
Parametrizziamo il segmento come segue
(17)
(18)
da cui l’equazione (16) diventa
(19)
cioè:
Svolgimento punto 2.
(20)
dove è la distanza dal filo indefinito ad un generico punto del conduttore e
è il versore dell’asse delle
.
Parametrizziamo il segmento come segue
(21)
da cui
(22)
Osserviamo che il campo elettrico definito in (20) non assume lo stesso valore in tutti i punti del segmento perché
varia tra
.
Abbiamo dunque
(23)
cioè:
Osservazione 1.
- il campo elettrico
tra le armature del condensatore;
- la carica
sulle armature dello stesso.
Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.
Figura 5: schema del problema 2.
Svolgimento punto 1.
(24)
dove è la parte di superficie della bobina attraversata dal campo magnetico,
è il versore normale alla superficie orientato seconda la regola della vite e
è la superficie infinitesima della bobina.
Parametrizziamo la superficie . Scegliamo un sistema di riferimento
come in figura 6.
Figura 6: rappresentazione del sistema di riferimento.
Per la legge di Faraday, sappiamo che se la variazione di flusso di campo magnetico indotto dall’esterno in un circuito genera una forza elettromotrice autoindotta responsabile di una corrente autoindotta che scorre nel circuito in modo da creare un flusso di campo magnetico autoindotto si oppone agli effetti del flusso di campo magnetico indotto dall’esterno; in altri termini se il flusso del campo magnetico esterno aumenta la corrente autoindotta genera un flusso di campo magnetico autoindotto che farà diminuire il flusso di campo magnetico esterno, se invece il flusso di campo magnetico esterno diminuisce la corrente autoindotta genererà un flusso di campo magnetico autoindotto che farà aumentare il flusso di campo magnetico esterno. Per ipotesi gli effetti di autoinduzione sono da trascurare, pertanto terremo conto solo degli effetti del campo magnetico indotto dall’esterno.
Il campo magnetico in figura 6 è uscente dal foglio; la corrente indotta dal campo magnetico esterno dovrà dunque generare un campo magnetico entrante. Applicando la regola della vite deduciamo che la corrente dovrà scorrere in senso orario. In particolare, il pollice della mano destra punterà verso il foglio e di conseguenza l’orientamento delle dita della mano destra suggerisce che la corrente scorrerà in senso orario, come mostrato in figura 7.
Figura 7: rappresentazione del circuito equivalente.
Il flusso del campo magnetico indotto dall’esterno aumenta nel tempo pertanto la forza elettromotrice indotta sarà negativa; in altri termini la corrente deve scorrere in senso orario affinché si generi un campo magnetico autoindotto che si opponga agli effetti del campo magnetico esterno; infatti, siccome il flusso di campo magnetico esterno aumenta il campo magnetico autoindotto genera un flusso che fa diminuire il flusso del campo magnetico esterno. Per la legge di Faraday-Newmann, si ha
(25)
Il fatto che la forza elettromotrice indotta sia negativa vuol dire che la derivata del flusso di rispetto al tempo sarà positiva, ossia otteniamo che la funzione
dovrà essere crescente. Sia
la lunghezza orizzontale della bobina immersa nel campo magnetico. Procediamo risolvendo l’integrale della (24). Abbiamo dunque
(26)
dove
Figura 8: rappresentazione dei parametri utilizzati per parametrizzare .
Svolgendo i calcoli la precedente equazione diventa
(27)
Si osservi che dal precedente risultato, come dedotto in precedenza, è una funzione crescente. ll flusso varia in funzione di
. Sfruttando il precedente risultato l’equazione (25) diventa
(28)
perché è costante. La differenza di potenziali ai capi del condensatore è uguale
che è costante, pertanto il condensatore risulta carico e quindi possiamo trovare il campo elettrico
all’interno del condensatore: esso sarà uguale al quoziente tra la differenza di potenziale e la distanza
tra le due armature. Abbiamo dunque:
Svolgimento punto 2.
(29)
dove è la differenza di potenziale ai capi del condensatore e
è la carica sulle armature. Si ricorda che nel caso particolare che il condensatore sia piano, si ha
(30)
dove è la distanza tra le due armature e
è l’area occupata dalle armature. Osserviamo che nel circuito in figura 7 si ha
e
, da cui confrontando (29) e (30) otteniamo
(31)
Sostituendo il risultato ottenuto in (28) in (31), si ottiene:
- la corrente
che percorre il resistore
collegato tra le rotaie;
- la potenza
dissipata sullo stesso.
Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.
Figura 9: schema problema 3.
Svolgimento punto 1.
Figura 10: sistema di riferimento problema 3.
Sappiamo che la sbarretta si muove con velocità costante in modulo, direzione e verso; dunque gli elettroni al suo interno risentiranno di una forza di Lorentz pari a
, con
e
numero degli elettroni che si spostano nel conduttore. Tramite la regola della mano destra si trova che tale forza spinge gli elettroni in una direzione parallela all’asse delle
, come mostra chiaramente la figura 10; di conseguenza, la corrente scorrerà nel verso opposto per motivi convenzionali (nel senso che si immagina sempre che siano le cariche positive a muoversi e non gli elettroni). Dunque, all’interno della sbarretta scorre una corrente
e pertanto su un suo tratto infinitesimo
orientato nello stesso verso di
, per la seconda legge elementare di Laplace, agirà una forza che chiameremo
descritta dall’equazione
(32)
da cui integrando su tutta la lunghezza della sbarretta, si ha
(33)
cioè si trova la forza totale agente sulla sbarretta.
A questo punto, per la regola della mano destra, avremo che il prodotto vettoriale all’interno dell’integrale darà come risultato un vettore che parallelamente all’asse negativo delle , cioè
(34)
Analizziamo ora ciò che succede lungo la direzione : le due forze che agiscono sulla sbarretta sono
e
, orientate in verso opposto. Per il secondo principio della dinamica, la forza totale agente sulla sbarra è
(35)
dove abbiamo sfruttato il fatto che la velocità della sbarretta è costante e dunque la sua accelerazione è nulla. Dalla precedente equazione, abbiamo
(36)
(37)
Consideriamo l’area delimitata dal rettangolo . Questa area aumenta al passare del tempo, di conseguenza aumenterà anche il flusso di campo magnetico. Per la legge di Faraday-Neumann, a causa dell’aumento di flusso sarà presente una forza elettromotrice
che indurrà una corrente
. Inoltre, notiamo che, il campo
è uscente dal foglio; poichè per la legge di Lenz il campo magnetico generato dalla corrente indotta deve opporsi alla variazione di flusso, sappiamo che tale campo dovrà avere verso entrante rispetto al foglio; applicando la regola della vite, troviamo che la corrente scorrerà in senso orario.
Figura 11: rappresentazione del circuito equivalente del sistema.
Notiamo che il verso della corrente è lo stesso dedotto in precedenza dalla forza di Lorentz . A questo punto, con un procedimento analogo a quello utilizzato nel problema 2 è possibile scrivere il flusso del campo magnetico attraverso tale superficie, cioè
(38)
dove è il versore perpendicolare al piano concorde e parallelo a
, mentre
è lo spazio orizzontale rappresentato in figura 12.
Figura 12: schema problema 3.
Otteniamo che il flusso del campo magnetico è una funzione della coordinata della sbarretta. Applichiamo ora la legge di Faraday-Neumann, la quale ci dice che, in un circuito, la variazione di campo magnetico induce una forza elettromotrice
descritta dall’equazione
(39)
(40)
dove abbiamo sfruttato il fatto che la velocità è costante. Una volta individuata la forza elettromotrice indotta, facendo riferimento alla figura 11, possiamo applicare la prima legge di Ohm
(41)
dove è stato preso il modulo della forza elettromotrice in quanto il segno della corrente non è rilevante una volta che è stato stabilito il suo verso di percorrenza; molto spesso infatti nei problemi si assume che la corrente abbia un verso e poi, in seguito ai calcoli svolti durante la risoluzione, si trova un valore positivo o negativo per essa e dunque si deduce il suo verso di percorrenza nel circuito. In questo caso il verso di è stato trovato inizialmente da considerazioni fisiche sulla legge di Lenz, quindi ci occuperemo semplicemente del suo valore assoluto.
Dalla equazione (37) sappiamo che
(42)
dunque, sostituendo tale risultato nella (41), otteniamo
(43)
cioè:
Svolgimento punto 2.
D’altronde, questo risultato non deve stupire, infatti la potenza è definita come il lavoro per unità di tempo. Sia allora il lavoro compiuto da una forza per compiere uno spostamento
. La potenza sarà uguale alla derivata di tale lavoro rispetto al tempo, ossia, nell’ipotesi che
sia costante
(44)
che, nel caso in cui la forza sia parallela alla velocità, si riduce al prodotto dei moduli.
- la velocità
della spira in funzione della distanza
;
- il valore
assunto quando è completamente entrata;
- l’energia
dissipata nella spira tra l’istante
e l’istante in cui è completamente entrata.
Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.
Figura 13: schema problema 4.
Svolgimento punto 1.
Figura 14: rappresentazione del circuito equivalente alla spira attraversata da un campo magnetico.
Notiamo che, dal momento che il flusso del campo magnetico è una funzione monotona decrescente la sua derivata rispetto al tempo sarà negativa, da cui la forza elettromotrice indotta sarà positiva per la legge di Faraday-Neumann-Lenz.
Calcoliamo l’espressione del flusso di campo magnetico attraverso la superficie
delimitata dal rettangolo
, cioè
(45)
dove è il versore perpendicolare al piano
orientato secondo la regola della vite,
e
.
Figura 15: rappresentazione rettangolo .
Dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz, si ha
(46)
da cui inserendo (45) in (46), si ottiene
(47)
dove abbiamo sfruttato il fatto che è costante e quindi è stato portato fuori dal segno di derivata.
A questo punto possiamo trovare la corrente che scorre all’interno della spira quadrata; per la prima legge di Ohm, si trova
(48)
Osserviamo che sui singoli tratti di filo agisce una forza definita dalla seconda legge elementare di Laplace:
(49)
dove è la curva lungo la quale si sta calcolando l’integrale e
è il tratto infinitesimo di filo.
Facendo riferimento alla figura 13 notiamo che i tratti di filo interessati sono i segmenti ,
,
, in quanto sono gli unici immersi nel campo magnetico
, dunque gli unici su cui agirà una forza del tipo (49). Il vettore
è orientato nello stesso verso in cui scorre la corrente; dunque, si può dedurre mediante la regola della mano destra che la forza che agisce sul segmento
è orientata nel verso negativo dell’asse delle
, mentre la forza agente sul segmento
è orientata positivamente rispetto all’asse
. Abbiamo dunque trovato che le forze agenti su questi due segmenti paralleli avranno verso opposto. Inoltre, siccome3 i lati AB e CD sono congruenti (
) dalla (49) si evince che il modulo della forza che agisce su uno di essi avrà modulo uguale a quella che agisce sull’altro come in figura 16.
Figura 16: si rappresentano le forze agenti sui singoli tratti della spira immersa nel campo magnetico.
Dunque, le forze dirette lungo l’asse si bilanciano a vicenda e pertanto la spira non si muoverà lungo questa direzione. Nel tratto
tuttavia è presente una forza
che, per la regola della mano destra, è facile verificare che è orientata nel verso delle
negative. Da queste considerazioni, la (49) si riduce al calcolo dell’integrale lungo il segmento
, ossia
(50)
Sostituendo l’espressione per la corrente trovata nella (48) nella precedente equazione, avremo
(51)
Per il secondo principio della dinamica sul tratto sfruttando la precedente equazione, si ottiene
(52)
o anche
(53)
conseguentemente
(54)
(55)
dove è l’accelerazione della spira nella direzione positiva dell’asse delle
,
è la velocità con il quale si muove la sbarretta nella direzione positiva dell’asse delle
,
è la velocità iniziale.
Dalla precedente equazione si trova la velocità in funzione della coordinata , cioè:
-
è un rettangolo, pertanto i lati paralleli sono tra loro congruenti ↩
Osservazione 2.
Svolgimento punto 2.
(56)
Osserviamo che una volta che la spira è entrata completamente nella zona dove è presente campo magnetico, il flusso del campo magnetico attraverso la superficie sarà in ogni istante .
Da questo risultato deduciamo che il flusso non varierà più nel tempo e quindi la sua derivata sarà nulla; ciò implica che
(57)
di conseguenza, essendo la forza elettromotrice nulla, all’interno della spira non scorre corrente, e dunque su di essa non agirà alcuna forza4. In assenza di forze applicate alla spira per il primo principio della dinamica si muoverà di velocità costante, cioè con velocità:
Svolgimento punto 3.
-
Il fatto che dell’energia sia stata dissipata risulta evidente dal momento che
. ↩
- il valore della velocità limite
della sbarretta;
- il valore della corrente
;
- l’energia
dissipata nel circuito per ogni centimetro di percorso dalla sbarretta una volta raggiunta la velocità limite
.
Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.
Figura 17: schema problema 5.
Svolgimento punto 1.
Figura 18: sistema di riferimento usato per analizzare il circuito .
Adottando lo stesso procedimento che abbiamo già visto nei problemi precedenti, possiamo procedere al calcolo del flusso di campo magnetico attraverso il rettangolo . La forza elettromotrice indotta
sarà positiva perché
è una funzione decrescente e pertanto la derivata del flusso di
rispetto al tempo dovrà essere negativa (si ricordi i risultati pervenuti nella sezione (1). Denotiamo con
la posizione verticale della sbarretta. Abbiamo dunque
(58)
dove e
.
Figura 19: rappresentazione rettangolo .
Dalla legge di Faraday-Newmann-Lenz, si ottiene
(59)
dove abbiamo portato fuori dalla derivata perché costante.
Una volta trovata la forza elettromotrice indotta è possibile schematizzare il circuito come in figura 20.
Figura 20: rappresentazione del circuito equivalente.
Inoltre, dalla prima legge di Ohm, sappiamo che
(60)
dove abbiamo usato il risultato pervenuto nell’equazione (59).
Per la seconda legge elementare di Laplace sul tratto è presente una forza
: usando la regola della mano destra, il vettore risultante dal prodotto vettoriale
sarà orientato verso l’alto (asse negativo delle
). La forza
si oppone alla forza peso
della sbarretta. Per l’equazione (49), dove la curva
è semplicemente il segmento
, avremo
(61)
Sostituendo nella precedente equazione al posto della corrente l’espressione trovata nella (60), si ha
(62)
Per il secondo principio della dinamica sulla sbarretta si ha6:
(63)
dove è componente della forza
orientata nel verso negativo delle
.
Sia
il modulo della velocità della sbarretta nel generico istante
. Sapendo che l’accelerazione lungo l’asse
è la derivata della velocità
rispetto al tempo e ricordando che
, la precedente equazione può essere riscritta come
(64)
Osserviamo che (64) è un’equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea a coefficienti costanti. In generale un’equazione differenziale lineare non omogenea del primo ordine è del tipo
(65)
dove nel nostro caso e
.
Seguiamo la solita procedura di risoluzione per una equazione di questo tipo. Come prima cosa troviamo una primitiva di , cioè
(66)
e successivamente applichiamo la formula risolutiva, ossia7:
(67)
con , da cui
(68)
(69)
Per trovare la richiesta basta passare al limite per
:
Svolgimento alternativo punto 1.
(70)
da cui ricordando che possiamo concludere nuovamente che
Osservazione 3.
Ad un certo punto si verificherà che la forza di gravità e la resistenza dell’aria avranno la stessa intensità. Da quell’istante in poi il corpo, soggetto ad una risultante di forze nulla essendo uguali ed opposte le due forze che agiscono su esso, procederà ad una velocità costante, detta “velocità terminale di caduta” o “velocità limite”. Quindi il campo magnetico si comporta come un fluido per la sbarretta.
Svolgimento punto 2.
Osservazione 4.
Svolgimento punto 3.
(72)
dove è il vettore spostamento, di modulo proprio 1
e sfruttando l’espressione trovata nella (61), otteniamo
(73)
dove il segno meno compare perché tra e
sussiste un angolo di
.
Inoltre, sostituendo nella precedente equazione l’espressione della
trovata al punto precedente, otteniamo
(74)
Si conclude che l’energia dissipata nella spira per ogni centimetro percorso è:
- la velocità di regime
fintanto che solamente il lato inferiore della spira è immerso nel campo magnetico;
- come prosegue il moto quando tutta la spira è completamente immersa nel campo magnetico.
Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.
Figura 21: schema problema 6.
Svolgimento punto 1.
Figura 22: sistema di riferimento scelto per la risoluzione del problema.
Calcoliamo il flusso del campo magnetico attraverso la porzione della porzione di spira immersa nel campo magnetico, cioè
(75)
da cui applicando la legge Faraday-Neumann-Lenz, otteniamo
(76)
Sfruttando la precedente equazione, ovvero la forza elettromotrice indotta
, è possibile trovare la funzione che esprime l’andamento della corrente nel tempo mediante la prima legge di Ohm8 nella spira, cioè
(77)
Inoltre, per la seconda legge elementare di Laplace, visto che sulla spira agisce un campo magnetico e che essa è percorsa da una corrente, su di essa agirà una forza data dalla seconda legge elementare di Laplace, cioè
(78)
dove è un tratto infinitesimo di circuito orientato nello stesso verso della corrente
. Facendo riferimento alla figura 22 si nota che applicando la regola della mano destra si trova che lungo il tratto inferiore del circuito agirà una forza diretta verso l’alto, ovvero nel verso negativo delle
. Inoltre, sui tratti laterali della spira agiranno forze uguali in modulo ma di verso opposto, quindi la risultante delle forze lungo la direzione
sarà nulla e di conseguenza il moto della spira sarà soltanto lungo l’asse delle
. Lungo il tratto orizzontale della spira la forza agente è
(79)
dove è stato possibile portare la funzione fuori dall’integrale perché non dipende da
.
Sostituendo
calcolata in (77) nella precedente equazione, si ottiene
(80)
Dunque, lungo l’asse agiscono due forze: la forza
e la forza peso
. Per il secondo principio della dinamica, si ha
(81)
dove è la massa della spira e
è l’accelerazione della spira nella direzione dell’asse delle
.
Sostituendo nella precedente equazione l’espressione per la forza trovata nella (80) e sapendo che l’accelerazione lungo l’asse
è la derivata della velocità
rispetto al tempo, avremo che9
(82)
(83)
La precedente equazione è un’equazione differenziale del primo ordine lineare non omogenea a coefficienti costanti; applichiamo dunque il metodo risolutivo10 per questo tipo di equazioni differenziali, ottenendo
(84)
(85)
Passando al limite per ambo i membri la precedente equazione, si ottiene:
cioè la velocità limite.
Svolgimento alternativo punto 1.
(86)
pertanto:
Svolgimento punto 2.
(87)
In queste condizioni non vi è dunque variazione di flusso e di conseguenza non verrà indotta la forza elettromotrice . Si conclude che, una volta che la spira è entrata completamente nella zona dov’è presente il campo magnetico
, nel circuito non scorrerà alcuna corrente indotta e pertanto sulla spira non agirà più la forza
, dato che
. Quindi la spira è soggetta unicamente alla sua forza peso, da cui:
dove è l’accelerazione della spira nella direzione dell’asse delle
.
Quindi, una volta che la spira è entrata completamente nella zona immersa dal campo magnetico, il moto sarà uniformemente accelerato, con accelerazione
.
Osservazione 5.
- il valore della f.e.m. affinché la sbarretta rimanga ferma;
- la velocità limite
con cui la sbarretta scende se il generatore viene sostituito da un corto circuito;
- la potenza
dissipata nella sbarretta quando scende con velocità
.
Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.
Figura 23: schema problema 7.
Svolgimento punto 1.
Figura 24: schema di riferimento scelto.
Le forze agenti sulla sbarretta sono la reazione vincolare , la forza peso
e la forza
data dalla seconda legge elementare di Laplace. Proiettando il campo magnetico
lungo gli assi
e
, avremo che il vettore campo magnetico potrà essere scritto come
(88)
La sbarretta scorre su due guide lisce che sono collegate a un generatore di tensione, il quale metterà in moto le particelle presenti nel filo conduttore del circuito causando così lo scorrere di una corrente all’interno della sbarretta.
Dalla seconda equazione elementare di Laplace, poiché la sbarretta è immersa in un campo magnetico
e percorsa da una corrente
, risentirà di una forza
che si può esprimere nel seguente modo
(89)
dove è la curva lungo cui scorre la corrente e
è un vettore parallelo al verso della corrente che individua un segmento infinitesimo della sbarretta.
Si osservi che, la sbarretta di lunghezza giace sull’asse
, ovvero perpendicolarmente rispetto al piano
. Una possibile parametrizzazione del segmento (sostegno) sul quale si trova la sbarretta è
(90)
da cui, indicando con il vettore derivata prima della curva, si ha
(91)
L’equazione (89) diventa
(92)
(93)
da cui l’equazione (92) diventa
(94)
Applicando la seconda legge della dinamica sulla sbarretta in condizione di equilibrio statico nella direzione dell’asse delle e dell’asse delle
, abbiamo
(95)
Dalla prima equazione del sistema, si trova
(96)
A questo punto, avendo trovato l’espressione della corrente all’equilibrio, possiamo trovare la f.e.m. all’equilibrio tramite la prima legge di Ohm, ossia
(97)
conseguentemente sostituendo il risultato trovato per la corrente nell’equazione (96) nella precedente equazione, otteniamo:
Svolgimento punto 2.
Figura 25: in figura viene mostrato il cortocircuito ottenuto togliendo il generatore di tensione.
Chiaramente l’area delimitata dal rettangolo varia nel tempo, perché i due lati paralleli
e
diminuiscono la loro lunghezza nel tempo, dato che dipendono dalla posizione della sbarretta che sta scendendo lungo i supporti del piano inclinato per effetto della forza peso. Cambiamo sistema di riferimento rispetto al punto precedente, ovvero scegliamo un sistema di riferimento
fisso tale per cui
e l’asse delle
sia orientato come in figura 26. Nel nuovo sistema di riferimento abbiamo denotato
.
Figura 26: rappresentazione nuovo sistema di riferimento.
Il flusso del campo magnetico attraverso
è
(98)
dove ,
e inoltre abbiamo usato il fatto che tra
e
sussiste un angolo pari ad
costante nel tempo. La funzione
è una funzione decrescente nel tempo, pertanto
è negativa.
Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, si ha
(99)
Dunque, anche in assenza di un generatore, è presente una forza elettromotrice (indotta) che fa scorrere una corrente indotta . Il sistema si può schematizzare come nella figura 26. La corrente circola in senso antiorario per la legge di Lentz (si ricordi la discussione fatta in (1)); in altri termini progressivamente che la sbarretta scivola lungo le guide, il flusso di campo magnetico
attraverso
diminuisce, dunque in figura 27 abbiamo scelto un verso della corrente
che generi un campo magnetico interno che si opponga a tale diminuzione di flusso, in accordo con la legge di Lenz.
Figura 27: schematizzazione del circuito.
Applicando la legge di Ohm, si ha
(100)
dove abbiamo usato l’equazione (99). Riprendendo la prima equazione del sistema (95) però in regime non stazionario e tenendo conto del cambio di sistema di riferimento, si ha
(101)
Nella precedente equazione sostituiamo l’espressione della corrente trovata nell’equazione (100), ottenendo
(102)
Il termine è la componente della velocità della sbarretta lungo l’asse delle
che orientato nel verso negativo delle
per costruzione e di conseguenza la forza
, ovvero è opposta alla forza peso. Come nei precedenti esercizi, osserviamo che la forza
è direttamente proporzionale alla velocità, di conseguenza, ad un certo istante
, accadrà che il modulo della forza
sarà uguale a quello della forza peso, e dunque avremo
. Posto
la precedente equazione diventa
(103)
o anche
(104)
da cui:
Svolgimento punto 3.
(105)
La potenza dissipata dalla resistenza è
(106)
o anche:
- il valore della f.e.m.
nel circuito;
- la potenza elettrica
fornita.
Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.
Figura 28: schema problema 8.
Svolgimento punto 1.
dove ,
e
sono rispettivamente la carica considerata, la velocità della carica considerata e
il campo magnetico nel quale è immersa la carica.
Per la regola della mano destra, notiamo che
è diretto nel verso negativo delle
, pertanto le cariche positive verranno spinte nel verso negativo delle
per la forza di Lorentz. Dato che nel circuito scorre una corrente deve essere presenta una forza elettromotrice
che le fa scorrere, alla quale per definizione di forza elettromotrice deve essere associato un campo elettrico
tale che
(107)
dove è un segmento infinitesimo del cammino di integrazione
, che nel caso analizzato dal problema corrisponde al segmento
.
Per la definizione di campo elettrico, si ha
(108)
Sfruttando la precedente equazione si può riscrivere l’equazione (107) come
(109)
Per la scelta del sistema di riferimento fatto, si ha
(110)
Sfruttando la precedente equazione si può riscrivere l’equazione (107) come
(111)
Ricordando che in un moto circolare uniforme la velocità è data dal prodotto tra e il raggio della traiettoria
(cioè la distanza della carica
rispetto al centro del disco), la precedente equazione diventa
(112)
Si conclude che la forza elettromotrice è:
-
La condizione di moto circolare uniforme è garantita dal fatto che
è costante. La velocità
di una singola carica posta a una distanza
dal centro del disco sarà dunque anch’essa costante in modulo. ↩
Svolgimento punto 2.
(113)
da cui per la conservazione della potenza, si ha
(114)
cioè:
cioè la potenza erogata è uguale alla potenza assorbita dalla resistenza.
Osservazione 6.
(115)
Risulta chiaro che il campo per cui vale (115) non è il campo definito in (110) perché vale (112). Quindi questo ci fa pensare che esistono due campi elettrici diversi e infatti a seconda di dove si osserva si vedono due campi elettrici differenti. Sia
il campo elettrico visto da un sistema di riferimento inerziale e
il campo elettrico visto da un sistema di riferimento non inerziale. Inoltre, sia
il campo magnetico visto dal sistema inerziale e
la velocità del sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema inerziale. Allora vale
(116)
Dalla (115) si ha , per cui dalla precedente equazione, si ottiene
(117)
che coincide con (110). Dunque, il campo elettrico determinato per la risoluzione dell’esercizio è il campo solidale con il disco che ruota. Inoltre, si osservi che, il campo elettrico è conservativo per (115), mentre il campo elettrico
non è conservativo per (112).
Osservazione 7.
(118)
dove abbiamo usato . Si osservi che (118) coincide con (112).
- l’intensità di corrente all’istante
e a regime per
;
- la velocità di regime
;
- l’energia cinetica
della sbarretta a regime.
Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.
Figura 29: schema problema 9.
Svolgimento punto 1.
Figura 30: circuito problema 9.
Il valore della corrente si ricava semplicemente dalla legge di Ohm:
(119)
da cui sostituendo i dati numerici, si ottiene:
All’istante iniziale nel circuito scorre una corrente costante e inoltre la sbarretta è immersa in un campo magnetico
costante in modulo, direzione e verso, allora per la seconda legge elementare di Laplace aggisce una forza
sulla sbarretta, cioè
(120)
dove è un vettore di modulo infinitesimo orientato nello stesso verso in cui scorre la corrente
. La direzione e il verso della forza sono invece state ottenute applicando la regola della mano destra.
Sotto l’azione della forza , la sbarretta inizia a muoversi, causando così una variazione di flusso del campo elettrico nella regione
compresa tra essa e il generatore. Dunque, ci aspettiamo che, in questo nuovo regime vi sia una forza elettromotrice indotta
per la legge di Faraday-Neumann-Lenz. Sia
la posizione della sbarretta nel sistema di riferimento
nel generico istante
. Il flusso del campo magnetico attraverso la superficie
è
(121)
La funzione è una funzione crescente, di conseguenza
. Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, abbiamo
(122)
La forza elettromotrice indurrà una corrente
che scorre in verso opposto rispetto a
, la quale a sua volta sarà responsabile di una forza
che frenerà la corsa della sbarretta. Poiché il calcolo di quest’ultima forza è analogo a quello fatto per determinare la forza
, concludiamo immediatamente che
(123)
Per la seconda legge della dinamica sulla sbarretta, si ha
(124)
Procedendo in modo analogo alla soluzione alternativa del punto 1 dell’esercizio 5 imponiamo , da cui la precedente equazione diventa
(125)
o anche
(126)
Dunque, l’intensità di corrente che scorre nel circuito per
è:
Svolgimento punto 2.
Figura 31: cortocircuito problema 9.
Come conseguenza della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia in figura 31, avremo
(127)
da cui:
Svolgimento punto 3.
- come varia la velocità della sbarretta
;
- come varia la corrente
;
- l’energia fornita dal generatore
, fintanto che la corrente raggiunge la condizione di regime, specificando come viene convertita;
- la carica
che è circolata nel circuito.
Svolgimento punto 1.
(128)
Dalla seconda equazione del sistema, abbiamo
(129)
o anche
(130)
oppure
(131)
La precedente equazione è un’equazione differenziale del primo ordine non omogenea a coefficienti costanti. Applicando la formula risolutiva per questo tipo di equazioni differenziali, si ha (si veda la soluzione del punto 1 dell’esercizio 5. Applichiamo la formula risolutiva per l’equazione differenziali di questo tipologia, ottenendo
(132)
dove
e
mentre è una costante di integrazione. Si ha
(133)
Abbiamo così trovato la soluzione generale per la velocità della sbarretta. Sapendo che la sbarretta all’istante iniziale è ferma, si può trovare il valore della costante . Dalla precedente equazione imponendo che
, otteniamo
(134)
da cui sostituendo il valore di appena trovato nell’equazione (133), si trova:
Il precedente risultato rappresenta la velocità cercata e inoltre, si osservi che, è valida per .
Svolgimento punto 2.
(135)
Dal precedente punto si ha , da cui è possibile ottenere
. Sostituendo
nell’equazione (135), troviamo l’espressione della corrente cercata, cioè
(136)
in altri termini:
Svolgimento punto 3.
(137)
Per definizione, sappiamo che la corrente è la derivata della quantità di carica rispetto al tempo, cioè
(138)
Dalla precedente equazione è possibile riscrivere l’equazione (137) come segue
(139)
dove per trovare gli estremi di integrazione si è osservato che la corrente raggiunge la condizione di regime per . Svolgendo i calcoli la precedente equazione diventa
(140)
Concludiamo che l’energia fornita dal generatore è:
Osservazione 8.
(141)
L’energia del generatore
si calcola invece analogamente a quanto fatto per
. Conoscendo l’espressione di
e di
dal problema 9, avremo cioè
(142)
Questi calcoli, seppur laboriosi, mostrano chiaramente che la somma
(143)
ovvero
(144)
o anche
(145)
ossia mostrano che è rispettato il principio di conservazione dell’energia.
Svolgimento punto 4.
(146)
dove l’espressione di è nota dal punto 2. Integrando entrambi i membri la precedente equazione nei rispettivi intervalli di integrazione, otteniamo l’andamento della carica che scorre nel circuito in funzione del tempo, cioè
(147)
oppure
(148)
Rammentiamo che nell’esercizio 9
si è concluso che per la corrente che scorre nel circuito è nulla. Questo vuol dire che per
la carica all’interno dei conduttori non varia più. Passiamo al limite per
ambo i membri la precedente equazione, ottenendo
(149)
ovvero:
- l’intensità di corrente continua di regime
;
- la velocità
.
Si assuma che il filo sia inestensibile e di massa trascurabile, inoltre si trascurino tutti gli attriti.
Figura 32: schema problema 11.
Svolgimento punto 1.
(150)
Applicando la seconda legge elementare di Laplace, si ha
(151)
Sappiamo inoltre che, assumendo il filo inestensibile e di massa trascurabile, il modulo della tensione
altro non è che la forza peso del corpo di massa
. Sfruttando la precedente equazione possiamo riscrivere l’equazione (150) come
(152)
da cui:
Osservazione 9.
Svolgimento punto 2.
(153)
da cui, attraverso la legge di Faraday-Neumann-Lenz, è possibile ricavare la f.e.m. indotta
(154)
Sappiamo ora che nel circuito sono presenti due forze elettromotrici: la prima è quella del generatore (ossia ), mentre la seconda è la f.e.m. indotta
. Il circuito si può dunque schematizzare come in figura 33.
Figura 33: circuito problema 11.
Applicando la prima legge di Ohm per il circuito in figura 33 e sostituendo il termine con l’espressione ottenuta in (154), si ottiene
(155)
conseguentemente:
Osservazione 10.
- la corrente
che percorre il circuito;
- la velocità angolare
.
Figura 34: schema problema 12.
Svolgimento punto 1.
(156)
Ogni punto presente sul segmento che congiunge a
si muove di moto circolare uniforme, come velocità angolare
; pertanto la precedente equazione può essere riscritta come
(157)
dove . Svolgendo il prodotto vettoriale la precedente equazione diventa
(158)
La forza elettromotrice è
(159)
dove è il segmento di lunghezza
che congiunge
e
, mentre
è definito in (158). Svolgendo i calcoli la precedente equazione diventa
(160)
dove abbiamo sfruttato il fatto che perché la corrente nel circuito scorre da
a
, ovvero si muove in senso orario.
Dunque dalla precedente equazione deduciamo che nel circuito oltre che alla forza elettromotrice
dovuta al generatore è presente un ulteriore forza elettromotrice
definita in (160). In figura 35 rappresentiamo il circuito.
Figura 35: circuito problema 12.
Applicando la prima legge di Ohm al circuito in figura 35, otteniamo
(161)
da cui sfruttando il risultato ottenuto nella 160, la precedente equazione diventa
(162)
da cui
(163)
Per la seconda legge elementare di Laplace sappiamo che sul segmento infinitesimo del tratto
agirà una forza infinitesima
descritta dall’equazione
(164)
Scelto come polo del sistema, dalla definizione di momento meccanico, sappiamo che un generico punto posto a una distanza
dal polo (ovviamente si sta sempre considerando la direzione individuata dal segmento che congiunge
a
) soggetto a una forza infinitesima
, genera un momento meccanico infinitesimo
rispetto al polo
definito come
(165)
Sostituendo il risultato trovato nella (164) nella precedente equazione, otteniamo
(166)
Chiamiamo la forza totale agente sul disco definita dalla seconda legge elementare di Laplace che si ottiene dalla (164) sommando tutti i contributi delle cariche positive in movimento lungo il segmento che congiunge
a
. Dalla precedente equazione otteniamo il momento meccanico complessivo agente sul disco a causa della forza
, cioè
(167)
Oltre alla forza sul disco agisce una forza
dovuta al filo che lo collega alla massa
, come rappresentato in figura 36.
Figura 36: rappresentazione delle tensioni e della forza peso.
Siccome il disco ruota a velocità angolare costante implica che la tensione è uguale in modulo alla forza peso del corpo appeso al filo, cioè ; di conseguenza, sul disco è presente un momento meccanico
dovuto alla tensione, ovvero
(168)
Imponiamo che la somma dei momenti agenti sul disco sia nulla, cioè
(169)
da cui sfruttando le equazioni (167) e (168), la precedente equazione diventa
(170)
da cui
Svolgimento punto 2.
Tutti gli esercizi di elettromagnetismo
Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.
Mostra gli esercizi.
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- Esercizi sulla corrente elettrica.
- Esercizi sul campo magnetico e forza magnetica.
- Esercizi sulle sorgenti di un campo magnetico e legge di Ampere.
- Esercizi su oscillazione del campo elettrico e correnti alternate.
- Esercizi sulle onde elettromagnetiche.
- Esercizi sulla riflessione e rifrazione della luce.
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