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Esercizi svolti sulle onde elettromagnetiche

Onde elettromagnetiche

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Questa dispensa raccoglie una selezione di esercizi sulla teoria delle onde elettromagnetiche, estratti dal volume “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. In essa, troverete la risoluzione dettagliata di 15 esercizi tratti dal capitolo 10, dedicato alle onde elettromagnetiche. Questo materiale è stato concepito appositamente per gli studenti dei corsi di ingegneria, fisica e matematica, con l’intento di fornire un supporto didattico essenziale per l’approfondimento dei concetti fondamentali trattati nel corso di Fisica 2.

Gli esercizi presentati seguono una progressione logica di difficoltà, progettata per guidare lo studente attraverso un percorso di apprendimento graduale e sistematico. Ogni soluzione è descritta con meticolosità, illustrando passo dopo passo le strategie risolutive e le logiche sottese, affinché non solo il “procedimento”, ma anche la “ragione” di ciascun passaggio risulti chiaro e comprensibile.

Il nostro obiettivo è di offrire un compendio di studio completo e accurato, in grado di sostenere gli studenti nella preparazione degli esami e nelle verifiche, contribuendo al consolidamento di una solida comprensione dei principi dell’elettromagnetismo. Confidiamo che queste soluzioni dettagliate diventeranno per voi un valido alleato, capace di accompagnarvi con successo attraverso le sfide accademiche dei vostri corsi di studio.

Consigliamo le seguenti raccolte di esercizi su temi affini:

 

Autori

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Autore: Valerio Brunetti, Cesare Malgù.  

 

Esercizi sulle onde elettromagnetiche

Esercizio 1. Una onda elettromagnetica piana con frequenza \nu = 180\, \text{MHz} e ampiezza E_0 = 2\,\frac{\text{V}}{\text{m}} si propaga lungo l’asse x ed è polarizzata nel piano xy. Si richiede di calcolare:

 

  1. La lunghezza d’onda \lambda, il numero d’onda k e la pulsazione \omega.
  2. Scrivere le equazioni del campo elettrico \vec{E} e del campo magnetico \vec{B}.
  3. La densità di energia elettromagnetica media u.
  4. L’intensità I.
  5. La quantità di moto media per unità di superficie p trasportata.

Svolgimento.

Per un’onda elettromagnetica, la cui velocità vale c, la lunghezza d’onda è

(1) \begin{equation*} \lambda = c\frac{1}{\nu} = c\,T, \end{equation*}

dove T è il periodo e vale

(2) \begin{equation*} T = \frac{1}{\nu}. \end{equation*}

Nel caso di questo problema, il valore numerico della lungezza d’onda è

\[\boxcolorato{fisica}{\lambda = \text{1,67}\,\text{m}.}\]

La pulsazione \omega, invece è definita come

(3) \begin{equation*} \omega = 2\pi \nu \end{equation*}

e, con i valori forniti dal problema risulta:

\[\boxcolorato{fisica}{ \omega = \text{11,3} \cdot 10^8 \,\frac{\text{rad}}{\text{s}}. }\]

Infine, il numero d’onda k è il reciproco della lunghezza d’onda moltiplicato per un coefficente pari a 2\pi:

(4) \begin{equation*} k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{equation*}

quindi, con i dati forniti risulta

\[\boxcolorato{fisica}{ k =\text{3,77}\, \text{m}^{-1}. }\]

Se un’onda elettromagnetica ha numero d’onda k, pulsazione \omega ed ampiezza E_0 l’equazione del campo elettrico risulta essere

(5) \begin{equation*} \vec{E}_y(x,t) = E_0 \sin{(k\,x-\omega\,t)}\hat{y} \end{equation*}

mentre, per il campo magnetico bisogna tener conto che questo è perpendicolare al campo \vec{E} e quindi risulta

(6) \begin{equation*} \vec{B}_z = \frac{E_0}{c} \sin{(k\,x-\omega\,t)}\hat{z}. \end{equation*}

Nel caso in questione, sostituiamo i risultati ottenuti nel punto 1 nelle equazioni (5) e (6) ottenendo, per il campo elettrico

\[\boxcolorato{fisica}{ \vec{E}_y(x,t) = 2\cdot 10^{-3} \sin{(\text{3,77}\,\text{m}^{-1}\,x-\text{11,28} \,\text{s}^{-1}\,t)}\,\hat{y}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} }\]

e per il campo magnetico

\[\boxcolorato{fisica}{ \vec{B}_z = \text{6,7}\cdot 10^{-12} \sin{(\text{3,77}\,\text{m}^{-1}\,x-\text{11,28} \,\text{s}^{-1}\,t)}\,\hat{z} \,\text{T}. }\]

Per risolvere il punto 3 bisogna considerare che la densità di energia elettromagnetica di ampiezza E_0 risulta essere:

(7) \begin{equation*} u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2, \end{equation*}

dove \varepsilon_0 è la costante dielettrica del vuoto. In questo caso si ha

\[\boxcolorato{fisica}{ u = \text{1,77} \cdot 10^{-17} \frac{\text{J}}{\text{m}^3}.}\]

L’intensità I, invece, risulta essere

(8) \begin{equation*} I = c\,u, \end{equation*}

quindi, sostituendo i valori numerici, si ha

\[\boxcolorato{fisica}{ I = \text{5,3}\cdot 10^{-9} \frac{\text{W}}{\text{m}^2}. }\]

Infine, la quantità di moto trasportata dall’onda per unità di supeficie dalla teoria sappiamo che risulta essere:

(9) \begin{equation*} p = u, \end{equation*}

per cui

\[\boxcolorato{fisica}{ p = \text{1,77} \cdot 10^{-17} \frac{\text{N}}{\text{m}^2}, }\]

dove si è usato

\[\text{J}\cdot \text{m}^{-3}=\text{N}\cdot \text{m}\cdot\text{m}^{-3}=\text{N}\cdot \text{m}^{-2}.\]

 

Esercizio 2. Un’onda elettromagnetica piana polarizzata rettilinearmente è descritta dall’equazione:

\[ \vec{E} = 100 \cos(\text{2,09}x - 2\pi \cdot 10^8 t)\, \hat{y}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}. \]

Si richiede di calcolare:
 

  1. Il valore efficace E_{\text{eff}} del campo elettrico.
  2. Il valore efficace B_{\text{eff}} del campo magnetico.
  3. La lunghezza d’onda \lambda.
  4. La frequenza \nu.
  5. L’intensità I.

Svolgimento.

Per risolvere il punto 1 di questo problema bisogna ricordare che il campo elettrico efficace è definito come:

(10) \begin{equation*} E_{\text{eff}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}. \end{equation*}

In questo caso risulta:

\[\boxcolorato{fisica}{ E_{\text{eff}} \approx \text{70,7} \,\frac{\text{N}}{\text{C}}.}\]

Nello svolgere il punto 2, invece, bisogna tener conto della relazione generale tra il modulo del campo elettrico e magnetico di un’onda elettromagnetica:

(11) \begin{equation*} B = \frac{E}{c}. \end{equation*}

Questa relazione, naturalmente, intercorre anche tra i valori efficaci dei campi, per cui si ha

(12) \begin{equation*} B_{\text{eff}} = \frac{E_{\text{eff}}}{c}, \end{equation*}

quindi

\[\boxcolorato{fisica}{ B_{\text{eff}} = \text{2,36} \cdot 10^{-7}\,\text{T}.}\]

Dall’equazione (5) e dalla forma del campo elettrico in questione si può ricavare il valore del numero d’onda k da cui otteniamo la lunghezza d’onda invertendo l’equazione (4)

\begin{equation*} \lambda = \frac{2\pi}{k} \end{equation*}

per cui

\[\boxcolorato{fisica}{ \lambda = 3\,\text{m}.}\]

Sempre confrontando l’equazione fornita dal problema con la funzione d’onda espressa in (5) ed invertendo l’equazione (3) si ricava la frequenza come

\begin{equation*} \nu = \frac{\omega}{2\pi} \end{equation*}

quindi

\[\boxcolorato{fisica}{ \nu = 10^8\, \text{Hz}.}\]

Infine, l’intensità, espressa in (8), si può riscrivere, tenendo conto dell’equazione (10), come

\begin{equation*} I = c\,\varepsilon_0 \,E_{\text{eff}}^2 \end{equation*}

e, sostituendo i valori numerici si ha

\[\boxcolorato{fisica}{ I = \text{13,28} \frac{\text{W}}{\text{m}^2}.}\]

 

Esercizio 3. Un’onda elettromagnetica piana polarizzata circolarmente, con ampiezza E_0 = 10^3 \, \text{V/m} e frequenza \nu =\text{4,3} \times 10^{14} \, \text{Hz}, si propaga nel vuoto. Si richiede di scrivere l’equazione dell’onda elettromagnetica e calcolare l’intensità I.

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