Esercizi svolti sulle onde elettromagnetiche
Questa dispensa raccoglie una selezione di esercizi sulla teoria delle onde elettromagnetiche, estratti dal volume “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. In essa, troverete la risoluzione dettagliata di 15 esercizi tratti dal capitolo 10, dedicato alle onde elettromagnetiche. Questo materiale è stato concepito appositamente per gli studenti dei corsi di ingegneria, fisica e matematica, con l’intento di fornire un supporto didattico essenziale per l’approfondimento dei concetti fondamentali trattati nel corso di Fisica 2.
Gli esercizi presentati seguono una progressione logica di difficoltà, progettata per guidare lo studente attraverso un percorso di apprendimento graduale e sistematico. Ogni soluzione è descritta con meticolosità, illustrando passo dopo passo le strategie risolutive e le logiche sottese, affinché non solo il “procedimento”, ma anche la “ragione” di ciascun passaggio risulti chiaro e comprensibile.
Il nostro obiettivo è di offrire un compendio di studio completo e accurato, in grado di sostenere gli studenti nella preparazione degli esami e nelle verifiche, contribuendo al consolidamento di una solida comprensione dei principi dell’elettromagnetismo. Confidiamo che queste soluzioni dettagliate diventeranno per voi un valido alleato, capace di accompagnarvi con successo attraverso le sfide accademiche dei vostri corsi di studio.
Consigliamo le seguenti raccolte di esercizi su temi affini:
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Esercizi sulle onde elettromagnetiche
Svolgimento.
Per un’onda elettromagnetica, la cui velocità vale , la lunghezza d’onda è
(1)
dove è il periodo e vale
(2)
Nel caso di questo problema, il valore numerico della lungezza d’onda è
La pulsazione , invece è definita come
(3)
e, con i valori forniti dal problema risulta:
Infine, il numero d’onda è il reciproco della lunghezza d’onda moltiplicato per un coefficente pari a :
(4)
quindi, con i dati forniti risulta
Se un’onda elettromagnetica ha numero d’onda , pulsazione ed ampiezza l’equazione del campo elettrico risulta essere
(5)
mentre, per il campo magnetico bisogna tener conto che questo è perpendicolare al campo e quindi risulta
(6)
Nel caso in questione, sostituiamo i risultati ottenuti nel punto 1 nelle equazioni (5) e (6) ottenendo, per il campo elettrico
e per il campo magnetico
Per risolvere il punto 3 bisogna considerare che la densità di energia elettromagnetica di ampiezza risulta essere:
(7)
dove è la costante dielettrica del vuoto.
In questo caso si ha
L’intensità , invece, risulta essere
(8)
quindi, sostituendo i valori numerici, si ha
Infine, la quantità di moto trasportata dall’onda per unità di supeficie dalla teoria sappiamo che risulta essere:
(9)
per cui
dove si è usato
Svolgimento.
Per risolvere il punto 1 di questo problema bisogna ricordare che il campo elettrico efficace è definito come:
(10)
In questo caso risulta:
Nello svolgere il punto 2, invece, bisogna tener conto della relazione generale tra il modulo del campo elettrico e magnetico di un’onda elettromagnetica:
(11)
Questa relazione, naturalmente, intercorre anche tra i valori efficaci dei campi, per cui si ha
(12)
quindi
Dall’equazione (5) e dalla forma del campo elettrico in questione si può ricavare il valore del numero d’onda da cui otteniamo la lunghezza d’onda invertendo l’equazione (4)
per cui
Sempre confrontando l’equazione fornita dal problema con la funzione d’onda espressa in (5) ed invertendo l’equazione (3) si ricava la frequenza come
quindi
Infine, l’intensità, espressa in (8), si può riscrivere, tenendo conto dell’equazione (10), come
e, sostituendo i valori numerici si ha
Svolgimento.
Il problema in questione riguarda un’onda polarizzata circolarmente. In questo tipo di onda, sia il campo elettrico che quello magnetico presentano due componenti, una lungo e l’altra lungo , con una differenza di fase tra le due di . Questo significa che una componente è rappresentata dal seno, mentre l’altra dal coseno.
Innanzitutto, calcoliamo la pulsazione e il numero d’onda. Secondo l’equazione , la pulsazione è:
mentre, facendo riferimento all’equazione , il numero d’onda si calcola come:
Possiamo ora scrivere le componenti del campo elettrico. Tenendo conto dell’equazione , la componente lungo sarà:
mentre la componente è
Il modulo del campo magnetico è:
Analogamente, per il campo magnetico si ha, lungo
mentre lungo
Infine, l’intensità risulta essere
quindi
Svolgimento.
Per calcolare l’ampiezza del campo elettrico basta ricordare l’equazione (11) che esprime la correlazione tra modulo del campo elettrico e modulo del campo magnetico :
Risulta, quindi, che
per cui
La densità massima di energia è
che numericamente risulta essere
Per trovare l’intensità massima basta moltiplicare la densità massima di energia per il valore della velocità della luce :
ottenendo
Figura 1: figura esercizio 5.
Svolgimento.
Partiamo dal calcolare la lunghezza d’onda del fascio di microonde. Usando l’equazione (1):
risulta che la lunghezza d’onda assume il valore:
Per risolvere il punto 2, bisogna considerare che la potenza non è altro che la variazione di energia nel tempo. Per trovare l’energia totale di un impulso, bisogna moltiplicare la potenza trasportata per la durata di ciascun impulso:
(13)
Numericamente risulta che:
L’intensità del fascio di microonde si calcola considerando che:
e
(14)
Per cui, sostituendo questa relazione in quella per l’intensità, si ha:
in quanto l’area considerata è quella di un cerchio di raggio .
Sostituendo i valori numerici si ha:
Per risolvere il punto 4 e calcolare il modulo del campo elettrico , bisogna prendere la radice della relazione (14):
che numericamente è:
Il campo magnetico si trova facilmente sfruttando la (11):
Infine, dalla teoria, si ha che la forza esercitata durante un impulso di questo tipo su una superficie ortogonale al fascio è:
(15)
che numericamente risulta:
Figura 2: schema problema 6.
Svolgimento.
Per affrontare questo problema, iniziamo considerando l’energia trasportata dall’onda radio. Sappiamo che l’intensità energetica di un’onda elettromagnetica può essere descritta tramite il vettore di Poynting , il quale rappresenta la quantità di energia trasportata dall’onda attraverso una superficie in un determinato intervallo di tempo. Il vettore di Poynting è definito come
(16)
Tuttavia, sappiamo che in un’onda elettromagnetica piana come quella considerata nel problema, il campo elettrico e il campo magnetico sono tra loro perpendicolari in ogni punto. Passando ai moduli, possiamo quindi scrivere
(17)
Utilizziamo ora un’ulteriore informazione che conosciamo dalla teoria, ossia che il campo elettrico e il campo magnetico che compongono un’onda elettromagnetica sono in relazione tra loro secondo la seguente espressione
(18)
dove si dimostra che .
Dunque, si ottiene che la (17) può essere riscritta come
(19)
ossia, moltiplicando numeratore e denominatore per
(20)
Notiamo che il campo elettrico segue un andamento sinusoidale, per cui la funzione raggiunge un massimo in , come evidenziato dalla figura 2, e un minimo pari a zero. Possiamo quindi ricavare l’intensità di energia media come
(21)
Ricordando che corrisponde al valore efficace del campo elettrico, il quale nel nostro caso è diviso , otteniamo la seguente equazione
(22)
A questo punto, è utile ricordare la definizione iniziale del vettore di Poynting: esso rappresenta la quantità di energia trasportata da un’onda elettromagnetica in un certo intervallo di tempo attraverso una superficie generica . Avremo dunque
(23)
dove il rapporto rappresenta la potenza media dell’onda, e la superficie irradiata coincide con la sezione circolare di raggio determinata dall’antenna. Pertanto, possiamo scrivere
(24)
Inoltre, dalla teoria, sappiamo che la potenza può essere espressa come:
(25)
Nel nostro caso, poiché la velocità dell’onda è , possiamo scrivere
(26)
Sostituendo questo risultato nella (24), otteniamo
(27)
ovvero, sfruttando il risultato trovato nella (22),
Figura 3: schema problema 7.
Svolgimento punto 1.
I dati del problema indicano che la potenza erogata dalla lampada è
. Tuttavia, il 20% di questa potenza viene disperso, quindi la potenza effettiva disponibile è
. L’intensità
è definita come la quantità di energia trasportata da un’onda elettromagnetica per unità di tempo e per unità di superficie. Analogamente a quanto discusso nel problema , possiamo esprimere l’intensità come segue:
(28)
dove rappresenta la superficie considerata. Poiché il problema indica che la lampada irradia isotropicamente, possiamo concludere che, su una sfera di raggio con centro nella lampada, il valore di è uniforme in tutti i punti. Sostituendo l’espressione della superficie di una sfera di raggio nell’equazione (28), si ottiene:
(29)
Per si ottiene:
Svolgimento punto 2.
Poichè la potenza
viene erogata costantemente, essa non sarà altro che la potenza media della lampada. Sappiamo che:
(30)
dunque, sfruttando la (22), possiamo scrivere:
(31)
Ricordando inoltre che:
(32)
avremo che la (31) diventerà:
(33)
da cui, per si trova:
Per trovare il campo magnetico facciamo un ragionamento analogo a quello dell’esercizio . Abbiamo visto l’espressione del modulo del vettore di Poynting per le onde elettromagnetiche:
(34)
dove per trovare l’espressione di in funzione di abbiamo semplicemente sfruttato la (18).
Analogamente al caso del campo elettrico, avremo
(35)
ossia
(36)
Si ottiene dunque, sostituendo con :
Un modo molto più rapido consiste nello sfruttare direttamente la (18), ottenendo così:
Svolgimento punto 3.
Sappiamo dalla (
28) che:
(37)
dove in questo caso indicherà la superficie del disco preso in considerazione. Allora si avrà:
(38)
Ricordando che altro non è che il prodotto tra la forza esercitata dall’onda e la sua velocità, avremo:
(39)
Tuttavia, dalla teoria sappiamo che, in caso di riflessione totale da parte del dischetto, la pressione di radiazione raddoppia. Poiché la superficie rimane costante durante tutto il fenomeno, anche la forza raddoppierà. Pertanto, otteniamo:
Svolgimento.
In questo problema si analizza un’onda sferica e l’intensità dipende dal raggio
. Infatti, essa risulta essere:
dato che la dipendenza dal raggio in un’onda sferica è proporzionale a .
Inserendo i valori numerici, si ottiene:
Con riferimento ai problemi precedenti, è possibile calcolare il valore efficace del campo elettrico come
Sostituendo il valore di , si ottiene
Per risolvere il quesito 3, consideriamo che
e se vogliamo che
deve valere
Da questa equazione si può isolare , che risulta essere
e, calcolandolo numericamente, otteniamo
Figura 4: schema problema 9.
Svolgimento punto 1.
In un’onda elettromagnetica il campo elettrico e il campo magnetico sono legati dalla seguente relazione:
(40)
Possiamo quindi pensare di moltiplicare e dividere il primo membro per , ottenendo così:
(41)
Possiamo dunque già risolvere il primo punto del problema semplicemente invertendo la relazione:
Svolgimento punto 2.
In altri problemi riguardanti le onde elettromagnetiche, abbiamo visto che l’intensità di energia
può essere espressa sia in funzione del campo elettrico che in funzione del campo magnetico. In questo caso, sceglieremo di esprimerla in funzione del campo elettrico. Pertanto, abbiamo:
(42)
Sappiamo inoltre che l’intensità di energia è uguale alla potenza per unità di superficie, dunque avremo:
Svolgimento punto 3.
Poiché il trasmettitore emette onde elettromagnetiche in un cono, sappiamo che l’ampiezza di tali onde varia lungo la direzione di propagazione. Consideriamo il campo elettrico per analizzare questa variazione. La situazione è rappresentata nella figura
5.
Figura 5: rappresentazione della radiazione.
Come illustrato nella figura 5, la superficie attraversata dall’onda varia lungo l’asse . Tuttavia, possiamo esprimere questa superficie in funzione dell’angolo solido che definisce l’apertura del cono. In particolare, la superficie , che rappresenta la base del cono di altezza (con ), può essere espressa come:
(43)
da cui, l’espressione della potenza trovata nel punto 2 diventa:
(44)
Poiché l’angolo solido è il parametro geometrico che descrive l’apertura del cono, il suo valore è costante in ogni punto del cono. Pertanto, possiamo affermare che:
(45)
cioè
Esercizio 10. . Nel 1965, Penzias e Wilson scoprirono la radiazione cosmica di fondo (o radiazione di microonde cosmica), che è una traccia dell’espansione dell’universo iniziata dopo il Big Bang. La densità media di energia elettromagnetica rilevata, , è stata successivamente misurata con grandissima precisione utilizzando un rivelatore montato su un satellite. Si richiede di:
- Calcolare l’ampiezza del campo elettrico della radiazione cosmica.
- Calcolare l’ampiezza del campo magnetico della radiazione cosmica.
Svolgimento.
Per risolvere questo problema dobbiamo tener conto che, dalla teoria, la densità di energia media è pari a:
quindi, l’ampiezza del campo elettrico della radiazione cosmica di fondo – che inizialmente fu scambiata da Penzias e Wilson per rumore causato da degli escrementi di uccelli presenti nella loro strumentazione – risulta essere:
e, sostituendo i valori numerici
Per calcolare il modulo del campo magnetico, invece, come fatto finora usiamo la relazione espressa in equazione (11)
per cui
Esercizio 11. Un granello di polvere cosmica nel sistema solare è soggetto sia alla forza di attrazione gravitazionale esercitata dal Sole, sia alla forza dovuta alla pressione di radiazione. Supponendo che la particella sia sferica e in grado di assorbire completamente tutta la radiazione incidente, si richiede di:
- Calcolare il valore di , il raggio del granello, al di sotto del quale la particella verrebbe spinta fuori dal Sistema Solare.
I valori numerici da utilizzare sono:
- massa del Sole: ;
- potenza del Sole: ;
- densità del granello: ;
- costante gravitazionale: .
Figura 6: schema problema 11.
Svolgimento.
Per definizione di pressione sappiamo che
(46)
dove rappresenta la pressione di radiazione, la forza esercitata sul granello a causa di questa pressione, e la superficie su cui la pressione viene applicata, ossia, in questo caso, la sezione circolare del granello di polvere cosmica. Per determinare il valore di , consideriamo che il Sole dissipa una potenza pari a , poiché la radiazione elettromagnetica, essendo un’onda, si propaga con una velocità pari a . Da ciò segue che:
(47)
e dunque
(48)
dove con si indica la superficie sferica di centro il sole e di raggio pari alla distanza tra il Sole e il granello. Sostituendo il risultato appena trovato nella equazione (46), otteniamo
(49)
Ossia troviamo il modulo della forza subita dal granello a causa della radiazione
(50)
Inoltre, il corpo risentirà anche della forza gravitazionale dovuta alla massa del Sole. Dalla legge della gravitazione universale sappiamo che tale forza sarà
(51)
Sappiamo però che per definizione la densità del granello è il rapporto tra la sua massa e il suo volume. Essendo il granello approssimabile a una sfera, avremo
(52)
Dunque, l’espressione della forza gravitazionale diventa:
(53)
Una volta determinate le due forze agenti sulla particella, dobbiamo trovare il valore del raggio per il quale la particella viene espulsa dal Sistema Solare. Affinché ciò accada, la forza dovuta alla pressione di radiazione deve superare l’attrazione gravitazionale esercitata dal Sole sul granello. Quindi, dovremo soddisfare la seguente condizione
(54)
conseguentemente
Svolgimento.
Anche in questo caso, come nel problema precedente, le forze che agiscono sulla navicella sono la forza di radiazione e la forza di attrazione gravitazionale esercitata dal Sole. Tuttavia, poiché la vela è realizzata con un materiale perfettamente riflettente, la pressione di radiazione esercitata sulla superficie sarà doppia rispetto al caso in cui vi sia un assorbimento totale. Di conseguenza, avremo
(55)
Successivamente, seguendo lo stesso procedimento del problema , si conclude:
(56)
dove ricordiamo che indica la distanza tra il sole e l’astronave. Per definizione, la pressione di radiazione è il rapporto tra la forza di radiazione e la superficie su cui viene applicata. Si ottiene dunque
(57)
Inoltre, dalla legge della gravitazione universale di Newton, sappiamo che
(58)
Il problema richiede di imporre che la forza di radiazione eguagli la forza gravitazionale. Avremo dunque
(59)
di conseguenza
Svolgimento.
Per risolvere questo problema dobbiamo ricordare, dalla teoria dell’elettromagnetismo, che la forza elettromotrice è pari alla circuitazione del campo elettrico. La circuitazione è l’integrale di cammino del campo elettrico lungo una linea chiusa:
(60)
dove è il percorso in questione.
Nel caso di questo problema facciamo riferimento alla figura 7 e suddividiamo il cammino in quattro pezzi
Figura 7: figura esercizio 13.
Quindi, alla luce di questo ragionamento, possiamo affermare che la forza elettromotrice efficace è
quindi
e, numericamente
Infine, l’intensità è
quindi
Svolgimento.
Per risolvere questo problema dobbiamo considerare, innanzitutto, l’espressione dell’intensità in equazione (8)
quindi
e numericamente
Il campo magnetico, invece, si calcola con l’equazione (11)
Per risolvere il punto 2 bisogna considerare che il campo magnetico è:
Dalla legge di Faraday-Neumann-Lens sappiamo che la forza elettromotrice indotta è pari alla variazione del flusso di campo magnetico nel tempo cambiata di segno
(61)
Il flusso di campo magnetico risulta essere
La forza elettromotrice è
quindi
Sostituendo i valori numerici si ottiene
Figura 8: figura esercizio 15.
Svolgimento.
L’intensità del segnale ricevuto da un’antenna dipende dall’orientamento di quest’ultima rispetto alla direzione del campo elettrico del segnale trasmesso. Se rappresenta l’angolo tra l’antenna ricevente e la direzione del campo elettrico , l’intensità del segnale ricevuto sarà proporzionale al quadrato del coseno dell’angolo , ossia:
dove è l’intensità del segnale nella posizione dell’antenna ricevente . Di conseguenza, il rapporto tra le intensità e è dato da:
Per determinare il rapporto per i diversi angoli , consideriamo i seguenti casi:
– Per , si ha:
– Per , si ha:
– Per , si ha:
Pertanto, i rapporti tra l’intensità ricevuta e quella incidente per i diversi angoli risultano essere per , per , e per . L’intensità del segnale ricevuto diminuisce all’aumentare dell’angolo , fino ad annullarsi completamente quando .
Esercizi di Meccanica classica
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