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Esercizi svolti sulle onde elettromagnetiche

Onde elettromagnetiche

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Esercizi svolti sulle onde elettromagnetiche

Questa dispensa raccoglie una selezione di esercizi sulla teoria delle onde elettromagnetiche, estratti dal volume “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. In essa, troverete la risoluzione dettagliata di 15 esercizi tratti dal capitolo 10, dedicato alle onde elettromagnetiche. Questo materiale è stato concepito appositamente per gli studenti dei corsi di ingegneria, fisica e matematica, con l’intento di fornire un supporto didattico essenziale per l’approfondimento dei concetti fondamentali trattati nel corso di Fisica 2.

Gli esercizi presentati seguono una progressione logica di difficoltà, progettata per guidare lo studente attraverso un percorso di apprendimento graduale e sistematico. Ogni soluzione è descritta con meticolosità, illustrando passo dopo passo le strategie risolutive e le logiche sottese, affinché non solo il “procedimento”, ma anche la “ragione” di ciascun passaggio risulti chiaro e comprensibile.

Il nostro obiettivo è di offrire un compendio di studio completo e accurato, in grado di sostenere gli studenti nella preparazione degli esami e nelle verifiche, contribuendo al consolidamento di una solida comprensione dei principi dell’elettromagnetismo. Confidiamo che queste soluzioni dettagliate diventeranno per voi un valido alleato, capace di accompagnarvi con successo attraverso le sfide accademiche dei vostri corsi di studio.

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Esercizi sulle onde elettromagnetiche

Esercizio 1. Una onda elettromagnetica piana con frequenza \nu = 180\, \text{MHz} e ampiezza E_0 = 2\,\frac{\text{V}}{\text{m}} si propaga lungo l’asse x ed è polarizzata nel piano xy. Si richiede di calcolare:

 

  1. La lunghezza d’onda \lambda, il numero d’onda k e la pulsazione \omega.
  2. Scrivere le equazioni del campo elettrico \vec{E} e del campo magnetico \vec{B}.
  3. La densità di energia elettromagnetica media u.
  4. L’intensità I.
  5. La quantità di moto media per unità di superficie p trasportata.

Svolgimento.

 

Esercizio 2. Un’onda elettromagnetica piana polarizzata rettilinearmente è descritta dall’equazione:

    \[ \vec{E} = 100 \cos(\text{2,09}x - 2\pi \cdot 10^8 t)\, \hat{y}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}. \]

Si richiede di calcolare:
 

  1. Il valore efficace E_{\text{eff}} del campo elettrico.
  2. Il valore efficace B_{\text{eff}} del campo magnetico.
  3. La lunghezza d’onda \lambda.
  4. La frequenza \nu.
  5. L’intensità I.

Svolgimento.

 

Esercizio 3. Un’onda elettromagnetica piana polarizzata circolarmente, con ampiezza E_0 = 10^3 \, \text{V/m} e frequenza \nu =\text{4,3} \times 10^{14} \, \text{Hz}, si propaga nel vuoto. Si richiede di scrivere l’equazione dell’onda elettromagnetica e calcolare l’intensità I.

Svolgimento.

 

Esercizio 4. In una certa regione della Terra, la radiazione solare ha un campo magnetico di ampiezza B_0 = \text{1,8} \, \mu\text{T}. Si richiede di calcolare:
 

  1. L’ampiezza E_0 del campo elettrico.
  2. La densità massima u_{\max} di energia.
  3. L’intensità massima della radiazione I_{\max}.

Svolgimento.

 

Esercizio 5. Una sorgente di microonde produce impulsi di frequenza \nu= 20 GHz e durata t = 1 ns. La sorgente è posta nel piano focale di un paraboloide conduttore di tura 2R= 20 \,cm, cosi che si ottiene in uscita un fascio di microonde approssimativamente parallelo all’asse del paraboloide. La potenza media di ogni impulso è P= 25 kW. Calcolare:

 

  1. la lunghezza d’onda \lambda del fascio di microonde;
  2. l’energia totale U di ciascun impulso;
  3. l’intensità I del fascio di microonde;
  4. l’ampiezza del campo elettrico E_0, e del campo magnetico B_0;
  5. a forza F esercitata durante un impulso su una superficie perfettamente riflettente ortogonale al fascio.

 
 

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Figura 1: figura esercizio 5.

 
 

Svolgimento.

 

Esercizio 6. Un’antenna parabolica ha un’apertura 2R=15 \ \text{m} e riceve in direzione normale un segnale radio proveniente da una sorgente molto lontana, di ampiezza efficace E_{\text{eff}}=\text{2,83}\cdot10^{-7} \ \text{V/m}. Assumendo che l’antenna assorba tutta la radiazione che la colpisce, calcolare la forza F esercitata dalla radiazione sull’antenna.

 
 

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Figura 2: schema problema 6.

 
 

Svolgimento.

 

Esercizio 7. Una lampada da 500 \ \text{W} irradia isotropicamente con efficienza dell’80\%. Calcolare alla distanza r=5 \ \text{m}:
 

  1. l’intensità I.
  2. il valore di E_0 e B_0.
  3. la forza F esercitata su un dischetto di raggio a=5 \ \text{cm}, perfettamente riflettente, ortogonale alla direzione di propagazione delle onde.

 
 

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Figura 3: schema problema 7.

 
 

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

 

Esercizio 8. Una stazione radiotrasmittente di potenza P_1 = 35 \, \text{kW} emette onde sferiche isotropicamente. Calcolare:
 

  1. L’intensità I_1 a r_1 = 20 \, \text{km} dalla sorgente.
  2. Il valore efficace E_{\text{eff}} del campo elettrico.
  3. La potenza P_2 che dovrebbe avere la sorgente per dare lo stesso segnale a distanza r_2 = 100 \, \text{km}.

Svolgimento.

 

Esercizio 9. Un trasmettitore T emette onde elettromagnetiche in un cono. Alla distanza r_1 = 2 \ \text{km}, l’area del cono è \Sigma = 8 \cdot 10^{4} \ \text{m}^2 e il valore del campo elettrico efficace è E_{1,\text{eff}} = 14 \ \frac{\text{V}}{\text{m}}. Calcolare:
 

  1. L’ampiezza efficace del campo magnetico B_{1,\text{eff}}.
  2. La potenza media del trasmettitore \mathscr{P}.
  3. I valori E_{2,\text{eff}} e B_{2,\text{eff}} alla distanza r_2 = 10 \ \text{km}.

 
 

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Figura 4: schema problema 9.

 
 

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

 

Esercizio 10. . Nel 1965, Penzias e Wilson scoprirono la radiazione cosmica di fondo (o radiazione di microonde cosmica), che è una traccia dell’espansione dell’universo iniziata dopo il Big Bang. La densità media di energia elettromagnetica rilevata, u_m = 4 \cdot 10^{-14} \ \text{J/m}^3, è stata successivamente misurata con grandissima precisione utilizzando un rivelatore montato su un satellite. Si richiede di:

 

  1. Calcolare l’ampiezza del campo elettrico E_0 della radiazione cosmica.
  2. Calcolare l’ampiezza del campo magnetico B_0 della radiazione cosmica.

Svolgimento.

 

Esercizio 11. Un granello di polvere cosmica nel sistema solare è soggetto sia alla forza di attrazione gravitazionale esercitata dal Sole, sia alla forza dovuta alla pressione di radiazione. Supponendo che la particella sia sferica e in grado di assorbire completamente tutta la radiazione incidente, si richiede di:

 

  1. Calcolare il valore di a_0, il raggio del granello, al di sotto del quale la particella verrebbe spinta fuori dal Sistema Solare.

I valori numerici da utilizzare sono:

 

  • massa del Sole: M_{\text{Sole}} = 2 \cdot 10^{30} \ \text{kg};
  • potenza del Sole: \mathscr{P}_{\text{Sole}} = \text{3,96} \cdot 10^{26} \ \text{W};
  • densità del granello: \rho = \text{2,7} \cdot 10^3 \ \text{kg/m}^3;
  • costante gravitazionale: \gamma = \text{6,67} \cdot 10^{-11} \ \text{N m}^2/\text{kg}^2.

 
 

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Figura 6: schema problema 11.

 
 

Svolgimento.

 

Esercizio 12. È stato proposto che una navicella spaziale possa essere spinta nel Sistema Solare dalla pressione di radiazione solare esercitata su una vela leggera, realizzata con un materiale perfettamente riflettente, montata sulla navicella stessa. Supponendo che la navicella abbia una massa totale m, compresa la vela, e che quest’ultima abbia una superficie \Sigma, si richiede di:
 

  1. Calcolare il rapporto m/\Sigma per cui la forza di attrazione gravitazionale del Sole uguaglia la forza esercitata dalla radiazione solare.

I valori numerici da utilizzare sono:

 

  • massa del Sole: M_{\text{Sole}} = 2 \cdot 10^{30} \ \text{kg};
  • potenza del Sole: \mathscr{P}_{\text{Sole}} = \text{3,96} \cdot 10^{26} \ \text{W};
  • costante gravitazionale: \gamma = \text{6,67}\cdot 10^{-11} \ \text{N m}^2/\text{kg}^2.

Svolgimento.

 

Esercizio 13. Un’antenna FM lunga l = \text{1,8} \, \text{m} è orientata parallelamente al campo elettrico \vec{E} di un’onda elettromagnetica. Calcolare:
 

  1. l’ampiezza del campo elettrico E_0 necessaria a produrre una f.e.m. efficace \mathcal{E}_\text{eff} = 1 \, \text{mV} (possibile errore) nell’antenna;
  2. l’intensità I dell’onda elettromagnetica stessa.

Svolgimento.

 

Esercizio 14. Un’antenna è formata da N = 600 spire circolari di diametro d = 60 \, \text{cm} ed è installata in una zona in cui arriva il segnale di una stazione radio con un’intensità I = 2 \cdot 10^{-4} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2} e una frequenza \nu = 940 \, \text{kHz}. Calcolare:ù

 

  1. l’ampiezza del campo elettrico E_0 e del campo magnetico B_0 nella zona di ricezione;
  2. il segnale \mathcal{E} ricevuto dall’antenna.

Svolgimento.

 

Esercizio 15. Due antenne A_1 e A_2, molto lunghe, giacciono su due piani paralleli e sono disposte a grande distanza: la prima, A_1, trasmette un segnale E_1 e la seconda, A_2, lo riceve. Sia I_1 l’intensità che arriva nella zona in cui si trova l’antenna A_2 e I_2 quella assorbita dalla stessa. Calcolare il rapporto \frac{I_2}{I_1} quando l’antenna ricevente A_2 forma un angolo \theta = 30^\circ, 45^\circ, 90^\circ con l’antenna trasmittente A_1.

 
 

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Figura 8: figura esercizio 15.

 
 

Svolgimento.

 
 

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