Equazioni di Maxwell: forme integrali e locali

Revisori: Sergio Fiorucci.

Simbolo	Significato
	Posizione nello spazio; sono coordinate cartesiane; unità SI: .
	Tempo; unità SI: .
	Campo elettrico; unità SI: .
	Campo magnetico, o induzione magnetica; unità SI: .
	Densità volumica di carica elettrica; unità SI: .
	Densità di corrente materiale delle cariche; unità SI: .
	Permittività elettrica e permeabilità magnetica del vuoto; : ; : .
	Velocità della luce nel vuoto; unità SI: , con .
	Regione tridimensionale, detta anche volume di integrazione.
	Superficie chiusa che delimita .
	Superficie di integrazione; si precisa ogni volta se è chiusa o ha bordo.
	Bordo orientato di una superficie , che può avere più componenti chiuse; negli esempi si considera un unico bordo chiuso.
	Versore normale alla superficie; sul bordo di un volume è scelto uscente.
	Elementi scalari di area e di volume; unità SI: rispettivamente e .
	Spostamento infinitesimo tangente a una curva orientata; unità SI: .
	Carica elettrica totale contenuta in all’istante ; unità SI: .
	Flusso del campo elettrico attraverso ; unità SI: .
	Flusso del campo magnetico attraverso ; unità SI: .
	Corrente materiale complessiva delle cariche attraverso ; il pedice indica le cariche; unità SI: . Nel filo del modello del condensatore coincide con la corrente di conduzione.
	Corrente di spostamento attraverso ; unità SI: .
	Divergenza di un campo vettoriale , indicata anche con .
	Rotore di , indicato anche con .
	Vettore nullo; il simbolo indica invece lo zero scalare.

Tabella 1: Notazioni utilizzate nella dispensa.

Questa dispensa presenta nell’ordine le leggi di Gauss per il campo elettrico, Faraday–Neumann–Lenz, Gauss per il campo magnetico e Ampère–Maxwell.

Ambito della trattazione.

Si adotta il sistema internazionale e si usano i campi e , con le costanti del vuoto e . Le sorgenti e sono la densità totale di carica e la densità totale di corrente materiale delle cariche. Non si sviluppa la formulazione macroscopica nei materiali mediante il campo di spostamento elettrico e il campo magnetizzante . La distinzione tra forma integrale e forma locale riguarda il modo di esprimere le leggi, non una separazione tra descrizione macroscopica e microscopica [3, § 18–1].

Prerequisiti e ipotesi.

Si presuppongono il calcolo differenziale e integrale in più variabili e l’algebra dei vettori, compresi i prodotti scalare e vettoriale e gli integrali di linea, di superficie e di volume. Flusso, circuitazione, operatori vettoriali e i due teoremi necessari vengono richiamati operativamente nella sezione 2. Le derivazioni si svolgono in regioni aperte in cui campi e densità sono continui; per divergenza e rotore si richiedono derivate prime continue. Quando si scambiano derivate miste, si assumono continue le derivate seconde coinvolte; la stessa ipotesi vale per le derivate miste necessarie allo scambio tra operatori. I passaggi puntuali non si applicano direttamente nei punti singolari, come il punto occupato da una carica ideale puntiforme. Salvo diversa indicazione, curve, superfici e volumi di integrazione sono fissi nello spazio.

Obiettivi di apprendimento.

Al termine del percorso si dovrà saper scegliere il dominio e le orientazioni, distinguere flusso e circuitazione, passare dalla forma integrale alla forma locale sotto le ipotesi dichiarate, ricavare l’equazione di continuità e interpretare la corrente di spostamento.

Le forme integrali mettono in relazione quantità calcolate su una curva, su una superficie o all’interno di un volume. Per le leggi di Gauss la superficie è chiusa e coincide con ; per le due leggi di circuitazione si considera una superficie con bordo . Le orientazioni sono specificate nella sezione 2.1.

1. Legge di Gauss per il campo elettrico.

Il flusso elettrico uscente da una superficie chiusa è determinato dalla carica totale racchiusa:

(1.1)

Se all’interno si trovano cariche puntiformi , nessuna sulla superficie, la carica racchiusa è . Il flusso dipende dalla somma algebrica delle cariche, non dalla somma dei loro valori assoluti.

2. Legge di Faraday–Neumann–Lenz.

La circuitazione del campo elettrico lungo una curva chiusa fissa è l’opposto della derivata temporale del flusso magnetico:

(1.2)

Il segno meno esprime la legge di Lenz e va interpretato rispetto alle orientazioni scelte per il flusso e per la curva, come spiegato nella sezione 4.1.

3. Legge di Gauss per il campo magnetico.

Il flusso magnetico netto attraverso ogni superficie chiusa è nullo:

(1.3)

La relazione non afferma che il campo magnetico sia nullo: riguarda il bilancio complessivo del flusso uscente ed entrante.

4. Legge di Ampère–Maxwell.

La circuitazione del campo magnetico dipende sia dalla corrente delle cariche sia dalla variazione del flusso elettrico:

(1.4)

Le due correnti che compaiono in questa legge si scrivono

(1.5)

Pertanto il secondo membro dell’equazione (1.4) è . Poiché , il contributo di spostamento nella legge è . Negli integrali, gli argomenti spaziali e temporali di e sono sottintesi secondo la convenzione della tabella 1.

Le forme locali descrivono ciò che accade in ciascun punto dello spazio, allo stesso istante. Campi e sorgenti sono valutati nello stesso punto e allo stesso istante ; le derivate spaziali si calcolano a tempo fissato. Nello stesso ordine delle forme integrali, il sistema è

(1.6)

Le equazioni (1.6) non sono leggi aggiuntive rispetto a quelle integrali: nelle regioni regolari con campi e densità aventi la continuità e le derivate richieste, sono due formulazioni dello stesso sistema. I domini di integrazione devono essere fissi e ammissibili per i teoremi utilizzati; i volumi e, per le leggi di circuitazione, le superfici devono restare nella regione di validità senza attraversare le singolarità escluse. Le due equazioni con la divergenza sono scalari; le due equazioni con il rotore sono vettoriali e ciascuna comprende tre relazioni tra componenti [3, § 18–1].

Un campo vettoriale assegna un vettore a ogni posizione e a ogni istante. Se è una regione dello spazio e un intervallo temporale, si considera

Qui sono le componenti cartesiane e i versori degli assi. Il campo rappresenta di volta in volta , oppure .

Definizione 2.1 (flusso e circuitazione). Il flusso di un campo attraverso una superficie orientata è

(2.1)

La circuitazione di lungo una curva chiusa orientata è

(2.2)

Nel flusso (2.1) contribuisce la componente del campo normale alla superficie. Un campo tangente alla superficie ha prodotto scalare nullo con . Nella circuitazione (2.2) contribuisce invece la componente tangente alla curva, perché è diretto lungo il percorso. Flusso e circuitazione, quindi, non sono intercambiabili.

Esempio (flusso attraverso una superficie piana). Per un campo uniforme e una superficie piana di area , il flusso è , dove è il modulo del campo e l’angolo con la normale scelta. Per esempio, un campo elettrico uniforme di modulo attraversa una superficie piana di area , formando con la normale. Si ottiene

Invertendo la normale, l’angolo diventa e il flusso vale : cambia il segno, non il modulo.

Su una superficie chiusa si sceglie la normale uscente dal volume racchiuso. Per una superficie orientata con bordo , la scelta di determina il verso positivo del bordo tramite la regola della mano destra: il pollice indica la normale e le dita ripiegate il verso di percorrenza. Invertendo l’orientazione, occorre cambiare insieme il verso della normale e quello della curva. In figura 1 sono confrontate, a sinistra, la superficie chiusa che delimita il volume , con normale uscente, e, a destra, una superficie orientata con bordo , orientato coerentemente con la normale indicata.

Figura 1: A sinistra, è il volume, è la superficie chiusa che lo delimita e è la normale unitaria uscente. A destra, è una superficie orientata con bordo e è la normale unitaria scelta; il verso positivo di è quello indotto da tale normale.

In coordinate cartesiane la divergenza è lo scalare

(2.3)

Essa descrive il bilancio locale del flusso: una divergenza positiva corrisponde a un flusso netto uscente da un piccolo volume, una divergenza negativa a un flusso netto entrante. Non misura semplicemente il valore del campo: un campo non nullo può avere divergenza nulla.

Il rotore è invece il vettore

(2.4)

La componente del rotore lungo una normale è il limite del rapporto fra la circuitazione sul bordo di un piccolo disco e la sua area, quando il disco si restringe al punto, mantenendo il bordo orientato coerentemente con la normale. È quindi naturale che le leggi di flusso conducano a una divergenza e le leggi di circuitazione a un rotore.

Teorema 2.2 (della divergenza [5, § 6.8]). Sia un volume limitato con frontiera regolare a tratti, orientata con la normale uscente. Se ha derivate prime continue in un intorno del volume e della sua frontiera, allora

Il teorema 2.2 trasforma un integrale sulla superficie chiusa in un integrale sul volume racchiuso. In questo modo collega un bilancio di flusso complessivo a una grandezza definita punto per punto.

Teorema 2.3 (di Stokes [5, § 6.7]). Sia una superficie compatta, orientabile e regolare a tratti, con bordo regolare a tratti. Si orienti coerentemente con la normale . Se è di classe in un aperto che contiene , allora

Il teorema 2.3 trasforma la circuitazione lungo il bordo nel flusso del rotore attraverso la superficie. Il campo vettoriale di cui si calcola il flusso è , mentre l’integrando rispetto a è lo scalare . Questa distinzione è essenziale nelle derivazioni di Faraday e di Ampère–Maxwell.

Dall’annullarsi di un solo integrale non segue che l’integrando sia nullo: contributi positivi e negativi potrebbero compensarsi. Il ragionamento cambia quando l’uguaglianza vale per ogni dominio sufficientemente piccolo.

Sia una funzione scalare continua in una regione aperta. Supponiamo che

per ogni palla con chiusura compatta contenuta nella regione, centrata in un punto qualunque e di raggio arbitrariamente piccolo. Se fosse positiva in un punto, per continuità resterebbe positiva in un intorno abbastanza piccolo; l’integrale su una palla abbastanza piccola in quell’intorno sarebbe positivo. Si avrebbe una contraddizione. Lo stesso argomento esclude valori negativi, quindi in ogni punto.

Per un campo vettoriale continuo in una regione aperta si usa un argomento analogo. Se

per ogni punto della regione e per ogni disco abbastanza piccolo centrato in esso, interamente contenuto nella regione e con normale arbitraria, allora . Infatti, in un punto in cui si sceglie la normale concorde . Si ha quindi . Per continuità il prodotto scalare resta positivo su un disco abbastanza piccolo con tale normale, e il flusso non potrebbe essere nullo.

Questo è il motivo preciso per cui nelle derivazioni non basta fissare una sola superficie o una sola curva. Le leggi fisiche valgono per tutte le scelte ammissibili; è tale arbitrarietà che consente di ricavare l’uguaglianza locale.

Se è fissa, il flusso dipende dal tempo perché cambia il campo, non perché si muove la superficie. Una condizione sufficiente per derivare sotto il segno di integrale è che sia compatta e che e siano continui su , con intervallo temporale aperto. Sotto queste ipotesi,

(2.5)

A sinistra si deriva una quantità scalare che, fissata la superficie, è funzione del solo tempo. A destra si deriva il campo mantenendo fisse le coordinate spaziali: per questo compare .

Una superficie fissa non rende il campo indipendente dalla posizione. Il campo può continuare a dipendere da ; si sta semplicemente osservando la sua variazione temporale in ciascun punto fermo [4, § 2.6].

Per un volume fisso con chiusura compatta, se e sono continui su , con intervallo temporale aperto, vale allo stesso modo

(2.6)

Nel caso di curve o superfici mobili occorre tenere conto anche del moto del dominio: le forme qui utilizzate non devono essere trasferite a quel caso senza ulteriori termini.

La legge (1.1) afferma che il flusso elettrico netto uscente da una superficie chiusa dipende dalla carica totale contenuta al suo interno. Se , il flusso è positivo; se , è negativo. Se , il flusso netto è nullo, ma il campo può essere diverso da zero sulla superficie e nel volume.

È importante distinguere il campo dal suo flusso: una carica esterna può contribuire al campo sulla superficie, pur non modificando la carica racchiusa e dunque il valore del flusso netto fissato dalla legge di Gauss. La legge non è limitata all’elettrostatica: vale istante per istante anche quando sorgenti e campi dipendono dal tempo, su superfici fisse ammissibili e nelle regioni regolari considerate [3, § 18–1].

Derivazione. Fissiamo un istante e un volume arbitrario . Per il teorema 2.2,

La carica racchiusa si esprime mediante la densità volumica:

Sostituendo entrambe le espressioni nella legge (1.1), si ottiene

Gli integrali sono estesi allo stesso volume; la costante non dipende dalla posizione. Portando tutto al primo membro e usando la linearità,

(3.1)

Poiché l’equazione (3.1) vale per ogni volume sufficientemente piccolo, l’argomento della sezione 2.4 impone che l’integrando sia nullo. Ne segue

(3.2)

L’equazione (3.2) dice che la densità di carica è la sorgente locale della divergenza del campo elettrico. Una regione priva di carica ha , non necessariamente .

Il passaggio inverso è altrettanto diretto: si integra l’equazione (3.2) su e si applica il teorema della divergenza al primo membro. Si recupera così la forma integrale. I due enunciati hanno lo stesso contenuto nelle regioni regolari considerate.

Si consideri una curva chiusa fissa e una superficie fissa con bordo . La grandezza

è, nel caso qui considerato, la forza elettromotrice indotta associata al campo elettrico lungo il percorso fisso. Nonostante il nome, non è una forza: ha le dimensioni di un’energia per unità di carica e si misura in volt. La curva può essere un percorso geometrico; non è necessario che coincida con un filo materiale. Per un circuito mobile interviene anche il contributo , dove è la velocità locale del circuito.

La legge (1.2) stabilisce che . Il flusso si calcola attraverso la superficie, mentre la circuitazione si calcola lungo la curva. Parlare di flusso “attraverso il circuito” è una formulazione abbreviata: la superficie delimitata dal circuito deve restare identificata.

Il segno meno va letto rispetto all’orientazione scelta. Se il flusso magnetico positivo aumenta, la forza elettromotrice è negativa rispetto al verso positivo di . In una spira resistiva con resistenza positiva e autoinduzione trascurabile, la corrente ha lo stesso segno della forza elettromotrice e tende allora a produrre un effetto magnetico che contrasta l’aumento del flusso. Se il flusso diminuisce, si inverte il segno della forza elettromotrice rispetto all’orientazione scelta. Con autoinduzione, il verso della corrente non segue in generale istantaneamente dal solo segno della derivata del flusso esterno. Ciò che viene contrastato è la variazione, non necessariamente il campo magnetico preesistente.

Derivazione. Il teorema 2.3, applicato al campo elettrico, trasforma il primo membro:

Poiché è fissa, l’equazione (2.5) consente di scrivere

Inserendo queste espressioni nella legge di Faraday si ottiene

Portando i due integrali allo stesso membro,

(4.1)

La legge vale per ogni curva chiusa e per ogni superficie ammissibile avente quella curva come bordo: si possono quindi scegliere piccoli dischi interamente contenuti nella regione regolare, con normale arbitraria. Per l’argomento vettoriale della sezione 2.4, l’equazione (4.1) implica

(4.2)

La legge (4.2) collega il rotore del campo elettrico alla variazione temporale del campo magnetico nello stesso punto. Non richiede che sia uniforme nello spazio. La condizione di superficie fissa serve allo scambio tra derivata e integrale, non a eliminare la dipendenza spaziale del campo [4, § 2.6].

Osservazione 4.1 (campo magnetico stazionario). Se , allora . Per una curva che delimita una superficie interamente contenuta nella regione regolare considerata, Stokes dà una circuitazione nulla. Una condizione sufficiente per l’esistenza di un potenziale scalare globale è che il dominio sia aperto e semplicemente connesso e che sia di classe : in tal caso implica che il campo è conservativo. Semplicemente connesso significa qui che il dominio è connesso e ogni curva chiusa può essere contratta continuamente a un punto restando nel dominio. Per un particolare campo conservativo la semplice connessione non è una condizione necessaria.

La legge (1.3) afferma che il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo. I contributi del campo diretti verso l’esterno e quelli diretti verso l’interno si compensano nel bilancio totale.

Passaggio alla forma locale. Per il teorema 2.2,

L’uguaglianza vale per ogni volume ammissibile contenuto nella regione di regolarità. Applicando il ragionamento scalare della sezione 2.4, si ricava

(5.1)

Dall’equazione (5.1) e dalla definizione 5.1 segue dunque che il campo magnetico è solenoidale. Nel sistema di Maxwell qui considerato non compare una densità di carica magnetica analoga a . Le linee di non hanno sorgenti o pozzi locali; ciò non significa che ogni linea debba necessariamente formare una curva chiusa finita [2, § 13–4].

Esempio 5.2 (flusso nullo con campo non nullo). Si consideri un campo magnetico uniforme e un parallelepipedo rettangolo con due facce opposte perpendicolari al campo. Se il modulo del campo è e l’area di ciascuna di queste facce è , i contributi sono e , perché le normali uscenti sono opposte. Sulle altre facce il campo è tangente e il contributo è nullo. Il flusso totale è quindi zero, anche se .

Nel regime stazionario, in cui i campi non variano nel tempo, la legge di Ampère è

(6.1)

In questo caso la dipendenza temporale della corrente è assente. Se più fili attraversano la superficie, coincide con la somma algebrica delle loro correnti: è positivo il contributo diretto come la normale, negativo quello diretto in verso opposto.

Per passare alla forma locale si usa Stokes, non il teorema della divergenza, perché il primo membro è una circuitazione. Dall’equazione (6.1) segue

Per ogni piccola superficie, quindi,

e l’arbitrarietà del dominio e dell’orientazione dà

(6.2)

La relazione (6.2) è la forma magnetostatica, non la legge generale per campi variabili nel tempo [2, § 13–4].

La conservazione della carica afferma che una variazione della carica contenuta in un volume è dovuta al passaggio di carica attraverso la sua frontiera. Il volume scelto per il bilancio non deve essere isolato: può scambiare carica con l’esterno, e proprio tale scambio è descritto dalla corrente.

Sia un volume fisso con normale uscente sulla superficie . Definiamo la corrente netta uscente come

Se la corrente netta è positiva, il valore algebrico della carica contenuta diminuisce. La conservazione si esprime quindi con

(6.3)

Il segno meno dipende dalla scelta della normale uscente. Se la corrente netta è entrante, il primo membro è negativo e è positivo. Solo se il flusso netto di corrente attraverso la frontiera è nullo, la carica del volume rimane costante [2, § 13–2].

Derivazione. Applichiamo il teorema della divergenza al primo membro di (6.3):

Per il volume fisso, l’equazione (2.6) permette di portare la derivata temporale all’interno dell’altro integrale. Ne segue

Riunendo gli integrali sullo stesso volume, si ottiene

Poiché l’uguaglianza vale per ogni volume ammissibile sufficientemente piccolo nella regione regolare, l’argomento della sezione 2.4, per continuità dell’integrando, dà

(6.4)

La relazione (6.4) è l’equazione di continuità della carica elettrica. Nelle regioni in cui , prevale un flusso uscente e la densità di carica diminuisce; nelle regioni in cui , la densità aumenta. Il campo può dipendere sia dalla posizione sia dal tempo.

Per un campo le cui derivate seconde spaziali sono continue in un intorno del punto, a tempo fissato, vale l’identità

(6.5)

Si può verificarla direttamente: inserendo il rotore definito in (2.4) nella divergenza (2.3), si ottiene

I termini si cancellano a coppie perché le derivate miste coincidono, per il teorema di Schwarz.

Applicando la divergenza alla legge magnetostatica (6.2), l’identità (6.5) imporrebbe

Confrontando questa conclusione con l’equazione (6.4), risulterebbe

Una legge che imponesse sempre questo vincolo non potrebbe descrivere l’accumulo di carica, per esempio sulle armature di un condensatore durante la carica. Non vi è una contraddizione nel regime stazionario; il problema nasce quando si applica la legge magnetostatica anche al caso generale.

Osservazione 6.1 (condizione necessaria, non sufficiente). La sola condizione non garantisce che si possa omettere la correzione di Maxwell: un campo elettrico può variare nel tempo anche in una regione in cui la densità di carica non cambia. Per esempio, un campo elettrico spazialmente uniforme ma variabile nel tempo ha divergenza nulla: per Gauss si ha e quindi , pur potendo essere . Per ridurre esattamente la legge completa alla forma locale (6.2), il termine deve essere nullo nella regione considerata. Per regime interamente stazionario si intende qui che , , e non dipendono dal tempo. In particolare si annulla il termine di spostamento: questa è una condizione sufficiente per la riduzione, più forte della sola costanza locale di .

L’equazione di continuità (6.4) e la legge di Gauss (3.2) danno

Sostituendo la seconda relazione nella prima,

La costante è indipendente dal tempo. Se le derivate miste sono continue in un intorno spazio-temporale, la divergenza spaziale e la derivata temporale si possono scambiare:

(7.1)

Usando (7.1), si ottiene

Portando il secondo membro a sinistra, il segno diventa positivo:

(7.2)

È la combinazione presente nell’equazione (7.2), e non la differenza con il segno meno, ad avere divergenza nulla.

La correzione di Maxwell consiste nell’affiancare alla densità di corrente materiale delle cariche il contributo (7.3):

(7.4)

In virtù dell’equazione (7.2), il secondo membro della legge (7.4) ha divergenza nulla, proprio come il rotore al primo membro. La legge completa è quindi compatibile con la conservazione locale della carica e si riduce alla forma di Ampère quando il campo elettrico non varia nel tempo [3, § 18–1].

Osservazione 7.2 (che cosa è stato dimostrato). Il ragionamento dimostra la compatibilità della correzione di Maxwell con Gauss e con la conservazione della carica; non deduce un’unica legge fisica dalla sola continuità. Un vincolo sulla divergenza, da solo, non determina completamente un campo vettoriale: l’aggiunta di un altro campo solenoidale non ne cambierebbe la divergenza. La relazione (7.4) resta una legge dell’elettromagnetismo, non un semplice teorema di analisi vettoriale.

Integriamo il prodotto scalare dell’equazione (7.4) con la normale su una superficie fissa, orientata e interamente contenuta nella regione regolare:

(7.5)

Il teorema di Stokes trasforma il primo membro nella circuitazione lungo . Il primo integrale a destra è per la definizione (1.5). Il secondo è la derivata del flusso elettrico, perché la superficie è fissa. L’equazione (7.5) diventa dunque

(7.6)

In questa formula entrambe le correnti sono riferite alla stessa superficie e alla stessa orientazione. Il termine di spostamento ha segno positivo; il segno meno della legge di Faraday non si trasferisce alla legge di Ampère–Maxwell.

La corrente di spostamento definita in (1.5) è anche il flusso della densità (7.3):

La sua unità è l’ampere: il flusso elettrico ha unità e ha unità , quindi ha unità .

La circuitazione a sinistra della legge (7.6) dipende dalla curva , non dalla superficie usata per applicare la legge. Deve quindi risultare lo stesso valore scegliendo due superfici e con lo stesso bordo, orientate in modo coerente con esso e omologhe nella regione di regolarità: la loro unione, con una delle orientazioni invertita, deve delimitare un volume contenuto in tale regione e privo delle singolarità escluse dalle ipotesi.

Indichiamo con

la densità di corrente generalizzata, comprendente la densità di corrente materiale delle cariche e il contributo di spostamento. Il simbolo indica qui questa somma, distinta dalla sola . Supponiamo che e delimitino un volume nella regione regolare. Si associano a e a , coerentemente con la medesima orientazione del bordo . Con le normali mostrate nella figura 2, entrambe verso il basso, si sceglie : la normale uscente coincide con su e con su . Il teorema della divergenza, con la normale uscente sulla frontiera, dà

dove si è usata (7.2). Il flusso attraverso la frontiera è il flusso su meno quello su . Pertanto

La somma è quindi la stessa sulle due superfici. I singoli contributi possono cambiare, ma la loro somma rimane invariata. Per il condensatore ideale della sezione 8, che presenta cariche superficiali e discontinuità alle interfacce, non si applica direttamente questa dimostrazione locale attraverso tali interfacce. Si usano le forme integrali di conservazione della carica e di Ampère–Maxwell su superfici di controllo che non coincidano con le interfacce, includendo le cariche superficiali nel bilancio. Il confronto riguarda sempre lo stesso bordo.

Si consideri un condensatore inizialmente scarico, collegato a un generatore di tensione costante tramite un circuito con impedenza non nulla, per esempio una resistenza . La tensione del generatore è costante, mentre quella ai capi del condensatore varia durante il transitorio: le cariche sulle armature cambiano e nel filo scorre una corrente. Per un condensatore ideale, una volta raggiunto il regime finale in corrente continua, la corrente di carica si annulla.

Scegliamo una curva chiusa che circonda il filo diretto verso un’armatura. In figura 2 sono rappresentati il condensatore in carica e le due superfici con bordo comune : interseca il filo percorso dalla corrente , mentre passa tra le armature senza attraversare il conduttore. Il bordo deve rimanere lo stesso; non si stanno confrontando due circuitazioni su curve differenti.

Figura 2: Vista schematica del condensatore e delle due superfici con bordo comune . Il bordo è la linea continua con la freccia, oraria se osservata dall’alto; il profilo di è tratteggiato. interseca il filo, mentre passa tra le armature senza attraversarlo. La corrente nel filo è positiva nel verso della freccia; e sono le cariche delle armature. Il campo è diretto dall’armatura positiva a quella negativa; e sono le normali di e , entrambe verso il basso e coerenti con il verso indicato su .

Se si usasse soltanto la legge di Ampère magnetostatica, attraverso si conterebbe la corrente nel filo, mentre attraverso la corrente materiale sarebbe nulla. Si attribuirebbero due valori diversi alla stessa circuitazione di . Questo non è un difetto della scelta delle superfici: mostra che nel transitorio manca un termine nella legge utilizzata.

Tra le armature, infatti, l’assenza di corrente materiale non implica l’assenza di una variazione del campo elettrico. La legge (7.6) tiene conto proprio di tale variazione.

Per rendere esplicito il calcolo, adottiamo il modello di un condensatore piano nel vuoto, con armature di area e distanza molto minore delle loro dimensioni laterali. Le cariche distribuite sulle facce interne delle armature, ciascuna di area , sono e , con . Nel modello si trascurano gli effetti di bordo e si assume un transitorio abbastanza lento da poter usare il campo elettrostatico istantaneo come approssimazione. Indicando con la dimensione caratteristica del sistema e con il tempo di variazione, la condizione rende trascurabili i ritardi di propagazione nel modello quasi statico. È un controllo di ordine di grandezza, non un criterio universale sufficiente. Queste sono ipotesi del calcolo, non restrizioni generali delle equazioni di Maxwell [3, § 18–2].

La normale alla superficie tra le armature è scelta nel verso del campo elettrico, dall’armatura positiva a quella negativa. Per giustificare il valore del campo nel modello, si applica la legge di Gauss in forma integrale a un piccolo cilindro che attraversa la carica superficiale sulla faccia interna dell’armatura positiva, con una base nel conduttore ideale e una nel vuoto. La base nel conduttore non contribuisce, poiché il campo interno è nullo nel modello; la superficie laterale non contribuisce, perché il campo è parallelo a essa. La densità superficiale è uniforme sulla faccia interna nell’approssimazione senza effetti di bordo. Se è l’area di ciascuna base, la carica racchiusa è e quindi

Per le componenti normali alla faccia interna, orientate dal conduttore al vuoto, Gauss dà . Nel modello ideale e , da cui la relazione precedente. Le derivazioni locali restano valide solo nelle regioni regolari ai due lati. Qui è il modulo del campo uniforme del modello ideale tra le armature. Le uguaglianze sono esatte entro questo modello, che costituisce un’approssimazione del condensatore reale. Per la porzione di superficie che intercetta l’intero flusso tra le armature,

(8.1)

Le parti della superficie fuori dalla regione tra le armature non contribuiscono nel modello ideale adottato.

Derivando (8.1), la corrente di spostamento risulta

(8.2)

Se non vi sono correnti di perdita tra le armature né altri percorsi di carica o scarica, la conservazione della carica sull’armatura positiva, con corrente nel filo positiva nel verso che aumenta , impone che la corrente entrante dal filo sia

(8.3)

Confrontando (8.2) e (8.3), si ricava

(8.4)

Nel modello ideale adottato si pone , trascurando il campo elettrico variabile esterno e quello nel conduttore ideale. Su la corrente materiale è nulla, perché la superficie non attraversa il filo e passa nel vuoto tra le armature; contribuisce la corrente di spostamento. Le uguaglianze successive sono esatte entro questa idealizzazione; in un dispositivo reale occorre calcolare il flusso effettivo e il confronto può essere solo approssimato. Il confronto, usando (8.4), è

La circuitazione lungo coincide nei due casi. Non si devono sommare la corrente nel filo di e la corrente di spostamento di : la legge somma i contributi presenti su una medesima superficie. Sommare contributi riferiti a superfici diverse significherebbe conteggiare due volte il contributo illustrato dall’esempio.

La corrente di spostamento non significa che le cariche attraversino materialmente lo spazio vuoto tra le armature. È il contributo della variazione temporale del campo elettrico alla legge per la circuitazione magnetica. In tale regione può essere , ma .

In un condensatore reale possono comparire campi di bordo, perdite e variazioni spaziali non trascurabili. In tal caso si devono calcolare i flussi effettivi: non è lecito sostituirli automaticamente con , né annullare un contributo senza giustificazione. Rimane valida la legge generale per la somma , la cui indipendenza dalla superficie, sotto le ipotesi lì dichiarate, è stata mostrata nella sezione 7.3. Per ogni superficie ammissibile con bordo , omologa alle altre nella regione considerata e con orientazione fissata, assume lo stesso valore. I contributi si sommano sempre sulla medesima superficie.

Le due leggi di Gauss e le due leggi di circuitazione svolgono ruoli diversi. La tabella 2 riassume il legame tra forma locale e significato fisico, senza sostituire le ipotesi e le derivazioni delle sezioni precedenti.

Tabella 2: Le quattro equazioni di Maxwell nella formulazione adottata.

Legge	Forma locale	Contenuto essenziale
Gauss elettrica		La densità di carica determina la divergenza del campo elettrico.
Faraday–Neumann–Lenz		La variazione temporale di è legata al rotore di .
Gauss magnetica		Il campo magnetico è solenoidale.
Ampère–Maxwell		Il rotore di comprende il contributo della densità di corrente delle cariche e quello della variazione temporale di .

Il passaggio dalla forma integrale alla forma locale segue uno schema comune. Per una legge di flusso su una superficie chiusa si applica il teorema della divergenza e si ottiene un integrale di volume. Per una legge di circuitazione si applica Stokes e si ottiene un integrale di superficie. Se il dominio è fisso, le derivate temporali possono essere portate all’interno degli integrali sotto le ipotesi dichiarate. Solo dopo avere confrontato integrali sullo stesso dominio si sfrutta l’arbitrarietà del dominio per concludere che i rispettivi integrandi coincidono.

Il punto fisico decisivo della correzione di Maxwell è altrettanto preciso: la corrente delle cariche, da sola, può avere divergenza non nulla quando la carica si accumula. La combinazione con il termine di spostamento ha invece divergenza nulla ed è quindi compatibile con il rotore del campo magnetico. Il condensatore mostra perché questa distinzione non è un dettaglio formale.

I riferimenti scientifici accompagnano le formule e gli enunciati richiamati in questa appendice.

Richiami scientifici.

Forme integrali e locali.

La coppia «integrale/locale» e la coppia «macroscopico/microscopico» esprimono distinzioni diverse. La formulazione qui adottata usa , e sorgenti totali. La trattazione dei materiali esula da questo ambito.

Con il verso del bordo indotto dalla normale secondo la regola della mano destra, un segno meno davanti all’intero secondo membro o l’uso di al posto di darebbero una scrittura incoerente con la legge (1.4) e con la notazione adottata. Le due correnti, calcolate sulla stessa superficie orientata, si sommano con i loro valori algebrici, che possono essere positivi, negativi o nulli. Invertendo insieme la normale e il verso del bordo, si invertono la circuitazione e le due correnti. Il segno più della somma resta lo stesso. indica la permeabilità del vuoto e vale l’identità . Verifica: [3, § 18–1].

Teorema di Stokes.

Usare il flusso di al secondo membro della formula di Stokes darebbe in generale un risultato errato. Al secondo membro compare il flusso di , come nel teorema 2.3. Valgono le ipotesi sulla superficie e sulla coerenza delle orientazioni. Verifica: [5, § 6.7].

Derivazione della legge di Gauss.

La derivazione passa dalla somma delle cariche all’integrale della densità , distinguendo il volume dalla superficie che lo delimita. Il passaggio all’uguaglianza puntuale usa l’arbitrarietà del volume e la continuità dell’integrando. L’annullarsi di un singolo integrale è insufficiente.

Legge di Faraday.

Il flusso si calcola attraverso una superficie con bordo , non attraverso la curva stessa. Il segno meno della legge di induzione esprime la legge di Lenz e si interpreta rispetto alla variazione del flusso e alle orientazioni scelte. La derivazione separa l’applicazione di Stokes, lo scambio tra derivata e integrale e la localizzazione. La notazione distingue il simbolo del flusso dal segno di integrale.

Significato delle derivate parziali.

Le coordinate spaziali sono tenute fisse nel calcolo della derivata temporale. Il campo magnetico e la densità di carica possono dipendere dalla posizione anche se la superficie è fissa. Si usa quindi per campi e densità, e per il flusso o per la carica totale su un dominio fissato. Verifica: [4, § 2.6].

Ampère e corrente concatenata.

Al passaggio dalla circuitazione al flusso del rotore si applica il teorema di Stokes, non il teorema della divergenza. La corrente concatenata si calcola come integrale di superficie , non come integrale triplo su un volume. Le correnti concatenate si sommano algebricamente. La forma qui considerata della legge di Ampère vale nel regime magnetostatico. Verifica: [2, § 13–4].

Conservazione della carica.

La carica interna varia per effetto del flusso attraverso la frontiera. Il bilancio generale comprende anche lo scambio di carica con l’esterno, quindi si applica anche a un volume di controllo non isolato. Il segno meno è legato alla normale uscente. Verifica: [2, § 13–2].

Limite della legge di Ampère.

La condizione è compatibile con la stazionarietà e non descrive l’accumulo locale di carica. Per ridurre la legge di Ampère–Maxwell alla forma locale magnetostatica, la condizione necessaria da sola è insufficiente. La condizione che annulla effettivamente il termine di spostamento è .

Segno della correzione di Maxwell.

Dalla continuità e dalla legge di Gauss, scambiando le derivate sotto le ipotesi dichiarate, si ottiene che la divergenza della densità di corrente materiale è uguale all’opposto della divergenza della densità di corrente di spostamento. Portare al primo membro il termine con il segno meno dà il segno più nella somma a divergenza nulla in (7.2). La differenza ha in generale divergenza non nulla. Il segno più compare nella legge locale (7.4), nella sua integrazione su una superficie orientata (7.5) e nella forma integrale (7.6). Nel passaggio alla forma integrale i due flussi sono calcolati con la stessa normale. Verifica: [3, § 18–1].

Ruolo del ragionamento di Maxwell.

Mostrare che la correzione è compatibile con la conservazione della carica è diverso dal dedurre una legge fisica in modo univoco da una condizione sulla divergenza. La dimostrazione algebrica giustifica il vincolo di compatibilità. La condizione sulla divergenza da sola non determina tutte le componenti del campo.

Condensatore.

L’esempio è stato sviluppato dopo la correzione di Maxwell per poterne calcolare entrambi i contributi. È stato specificato che le due superfici hanno lo stesso bordo e che la corrente appartiene al transitorio di carica, anche in presenza di un generatore a tensione costante. Nel modello della sezione 8.2, è il modulo del campo tra le armature, la carica sulla faccia interna dell’armatura positiva e l’area di ciascuna armatura. Le formule e sono esatte entro il modello ideale di condensatore piano nel vuoto, senza perdite e in regime quasi statico; è il modello a costituire un’approssimazione del dispositivo reale. Verifica: [3, § 18–2].

Integrazioni didattiche.

La dispensa comprende il prospetto delle notazioni, le definizioni operative di flusso, circuitazione, divergenza e rotore, gli argomenti di localizzazione, la verifica per componenti della divergenza di un rotore, l’esempio di campo magnetico uniforme, le due figure e la dimostrazione dell’indipendenza della corrente totale dalla superficie.

Interventi redazionali.

La dispensa non sviluppa trattazioni autonome di onde elettromagnetiche, potenziali o propagazione nei materiali. Si indicano i vettori in grassetto. In altri testi una barra può indicare un vettore quando il testo dichiara questa convenzione. e sono equivalenti rispettivamente a e .