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Lavoro ed energia: esercizio 40

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica, Esempi

Home » Lavoro ed energia: esercizio 40

Esercizio lavoro ed energia 40

L’esercizio 40 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 39 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 41. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo lavoro ed energia 40

Esercizio 40 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è in quiete in un punto O, su di una guida rettilinea orizzontale liscia; viene messo in moto tramite l’applicazione di una botta. La botta ha una durata di tempo \Delta t>0 molto breve. Dopo la botta, la massa m, ha una velocità \vec{v}_0 parallela al piano orizzontale, come rappresentato in figura 1. Si richiede di calcolare

  • il valor medio della forza applicata durante la botta di durata molto breve.

Dopo la botta, il corpo scivola lungo la guida rettilinea orizzontale liscia fino al punto A, come rappresentato in figura 1. Raggiunto il punto A la guida orizzontale si raccorda con una guida scabra, posta in un piano verticale, avente la forma di un quarto di circonferenza di raggio R. Il lavoro della forza di attrito lungo il percorso curvilineo AB vale L_{\text{att}}<0.
Si richiede di calcolare

  • supponendo che valga v_{0}^2+2\left(\dfrac{L_{\text{att}}}{m}-gR\right)>0, il modulo della velocità \vec{v}_B del corpo nel punto B;
  • la reazione normale della guida nel punto A, ovvero nel punto che raccorda la guida orizzontale con la guida scabra circolare.

 

 

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Svolgimento punto 1.

Dal teorema dell’impulso, sappiamo che, il valor medio della forza applicata durante la botta è dato da

(1)   \begin{equation*} F_{\text{media}}=\left|\dfrac{\Delta p}{\Delta t}\right|, \end{equation*}

dove \Delta p rappresenta la variazione di quantità di moto del corpo tra l’istante precedente la botta (quando esso è in quiete, v=0) e l’istante immediatamente successivo (v=v_0). Abbiamo dunque

    \[\boxcolorato{fisica}{ F_{\text{media}}=\dfrac{mv_0}{\Delta t}.}\]

Chiaramente la forza \vec{F}_{\text{media}}, di modulo F_{\text{media}}, è diretta nella stessa direzione della velocità \vec{v}_0, ossia parallelamente alla guida rettilinea orizzontale liscia. Inoltre, poiché sul corpo di massa m non agiscono forze lungo la direzione del piano orizzontale, esso permane in un moto rettilineo uniforme fino al punto A, per il primo principio della dinamica.


Svolgimento punto 2.

Per calcolare la velocità \vec{v}_B del corpo di massa m, nel punto B, possiamo utilizzare il teorema delle forze vive. Consideriamo l’istante di tempo in cui il corpo arriva nel punto A, con velocità \vec{v}_0, e l’istante in cui si trova nel punto B, con velocità \vec{v}_B. Definiamo un sistema di riferimento fisso Oy, come illustrato in figura 2, con l’origine O alla stessa quota del piano orizzontale. Inoltre, abbiamo scelto il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza del piano orizzontale.

 

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Figura 2: sistema nella configurazione iniziale (sinistra) e nella configurazione finale (destra) considerate.

Sistema nella configurazione iniziale e nella configurazione finale con un corpo di massa m che si muove lungo una guida circolare, utilizzato per esercizi di Lavoro ed energia

    Nel punto A, per come abbiamo definito Oy, l’energia meccanica del corpo E_{\text{in}} è puramente cinetica, ossia

(2)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^2. \end{equation*}

Nel punto B il corpo si trova ad un’altezza R rispetto al piano orizzontale, pertanto l’energia meccanica del corpo E_{\text{fin}} è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale, ossia

(3)   \begin{equation*} E_{\text{fin}}=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+mgR. \end{equation*}

Dal teorema delle forze vive sappiamo che il lavoro fatto dalla forza di attrito è pari alla variazione di energia meccanica del corpo, cioè

(4)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=E_{\text{fin}}-E_{\text{in}}, \end{equation*}

da cui, utilizzando le equazioni (2) e (3), la precedente equazione diventa

(5)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+mgR-\dfrac{1}{2}mv_{0}^2. \end{equation*}

Esplicitando v_B dall’equazione (5), si trova

(6)   \begin{equation*} v_{B}^2=v_{0}^2+2\left(\dfrac{L_{\text{att}}}{m}-gR\right), \end{equation*}

ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{v_B=\sqrt{v_{0}^2+2\left(\dfrac{L_{\text{att}}}{m}-gR\right)}.}\]


Svolgimento punto 3.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con l’asse delle x tangente alla guida nel punto A, e l’asse delle y ad essa ortogonale, come rappresentato nella figura 3. Costruiamo il diagramma di corpo libero: sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_A e la forza d’attrito dinamico \vec{f}_d, orientate come in figura 3. Siano a_t il modulo dell’accelerazione nella direzione tangenziale alla guida e a_N è il modulo dell’accelerazione nella direzione normale alla guida. Inoltre, sia v_A il modulo della velocità nel punto A del corpo di massa m quando si trova nel punto A, ed \hat{x} e \hat{y} i versori rispettivamente dell’asse delle x e delle y. Il corpo è vincolato lungo la guida circolare, per cui la sua accelerazione \vec{a} avrà una componente tangenziale

(7)   \begin{equation*} \vec{a}_t=a_t\,\hat{x}, \end{equation*}

ed una componente normale

(8)   \begin{equation*} \vec{a}_N=a_N\,\hat{y}=\dfrac{v_{A}^2}{R}\,\hat{y}, \end{equation*}

quando si trova nel punto A. Chiaramente, per la scelta fatta del sistema di riferimento, la direzione x coincide con la direzione tangenziale alla guida, e la direzione y coincide con la direzione normale alla guida.

 

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Figura 3: diagramma di corpo libero nel punto A della guida e rappresentazione del sistema di riferimento scelto.

Diagramma di corpo libero nel punto A della guida con rappresentazione delle forze, utilizzato per esercizi di Lavoro ed energia

    Per il secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x e y, otteniamo che

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_s=ma_{t}\\ y: N_A-mg=ma_N \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: -f_s=ma_{t}\\ y: N_A-mg=m\dfrac{v_{A}^2}{R}. \end{cases} \end{equation*}

Dalla seconda equazione del sistema (9) otteniamo che la reazione vincolare nel punto A è pari ad

(10)   \begin{equation*} N_A=m\left(g+\dfrac{v_{A}^2}{R}\right). \end{equation*}

Ricordando che, dato che il corpo lungo tutta la guida rettilinea orizzontale liscia si muove di moto rettilineo uniforme, si ha v_A=v_0; da cui, la precedente equazione diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ N_A=m\left(g+\dfrac{v_{0}^2}{R}\right).}\]


 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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