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Esercizio 40  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è in quiete in un punto O, su di una guida rettilinea orizzontale liscia; viene messo in moto tramite l’applicazione di una botta. La botta ha una durata di tempo \Delta t>0 molto breve. Dopo la botta, la massa m, ha una velocità \vec{v}_0 parallela al piano orizzontale, come rappresentato in figura 1. Si richiede di calcolare

  • il valor medio della forza applicata durante la botta di durata molto breve.

Dopo la botta, il corpo scivola lungo la guida rettilinea orizzontale liscia fino al punto A, come rappresentato in figura 1. Raggiunto il punto A la guida orizzontale si raccorda con una guida scabra, posta in un piano verticale, avente la forma di un quarto di circonferenza di raggio R. Il lavoro della forza di attrito lungo il percorso curvilineo AB vale L_{\text{att}}<0.
Si richiede di calcolare

  • supponendo che valga v_{0}^2+2\left(\dfrac{L_{\text{att}}}{m}-gR\right)>0, il modulo della velocità \vec{v}_B del corpo nel punto B;
  • la reazione normale della guida nel punto A, ovvero nel punto che raccorda la guida orizzontale con la guida scabra circolare.

 

 

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Svolgimento punto 1.

Dal teorema dell’impulso, sappiamo che, il valor medio della forza applicata durante la botta è dato da

(1)   \begin{equation*} F_{\text{media}}=\left|\dfrac{\Delta p}{\Delta t}\right|, \end{equation*}

dove \Delta p rappresenta la variazione di quantità di moto del corpo tra l’istante precedente la botta (quando esso è in quiete, v=0) e l’istante immediatamente successivo (v=v_0). Abbiamo dunque

    \[\boxcolorato{fisica}{ F_{\text{media}}=\dfrac{mv_0}{\Delta t}.}\]

Chiaramente la forza \vec{F}_{\text{media}}, di modulo F_{\text{media}}, è diretta nella stessa direzione della velocità \vec{v}_0, ossia parallelamente alla guida rettilinea orizzontale liscia. Inoltre, poiché sul corpo di massa m non agiscono forze lungo la direzione del piano orizzontale, esso permane in un moto rettilineo uniforme fino al punto A, per il primo principio della dinamica.


Svolgimento punto 2.

Per calcolare la velocità \vec{v}_B del corpo di massa m, nel punto B, possiamo utilizzare il teorema delle forze vive. Consideriamo l’istante di tempo in cui il corpo arriva nel punto A, con velocità \vec{v}_0, e l’istante in cui si trova nel punto B, con velocità \vec{v}_B. Definiamo un sistema di riferimento fisso Oy, come illustrato in figura 2, con l’origine O alla stessa quota del piano orizzontale. Inoltre, abbiamo scelto il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza del piano orizzontale.

 

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Nel punto A, per come abbiamo definito Oy, l’energia meccanica del corpo E_{\text{in}} è puramente cinetica, ossia

(2)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^2. \end{equation*}

Nel punto B il corpo si trova ad un’altezza R rispetto al piano orizzontale, pertanto l’energia meccanica del corpo E_{\text{fin}} è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale, ossia

(3)   \begin{equation*} E_{\text{fin}}=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+mgR. \end{equation*}

Dal teorema delle forze vive sappiamo che il lavoro fatto dalla forza di attrito è pari alla variazione di energia meccanica del corpo, cioè

(4)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=E_{\text{fin}}-E_{\text{in}}, \end{equation*}

da cui, utilizzando le equazioni (2) e (3), la precedente equazione diventa

(5)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+mgR-\dfrac{1}{2}mv_{0}^2. \end{equation*}

Esplicitando v_B dall’equazione (5), si trova

(6)   \begin{equation*} v_{B}^2=v_{0}^2+2\left(\dfrac{L_{\text{att}}}{m}-gR\right), \end{equation*}

ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{v_B=\sqrt{v_{0}^2+2\left(\dfrac{L_{\text{att}}}{m}-gR\right)}.}\]


Svolgimento punto 3.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con l’asse delle x tangente alla guida nel punto A, e l’asse delle y ad essa ortogonale, come rappresentato nella figura 3. Costruiamo il diagramma di corpo libero: sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_A e la forza d’attrito dinamico \vec{f}_d, orientate come in figura 3. Siano a_t il modulo dell’accelerazione nella direzione tangenziale alla guida e a_N è il modulo dell’accelerazione nella direzione normale alla guida. Inoltre, sia v_A il modulo della velocità nel punto A del corpo di massa m quando si trova nel punto A, ed \hat{x} e \hat{y} i versori rispettivamente dell’asse delle x e delle y. Il corpo è vincolato lungo la guida circolare, per cui la sua accelerazione \vec{a} avrà una componente tangenziale

(7)   \begin{equation*} \vec{a}_t=a_t\,\hat{x}, \end{equation*}

ed una componente normale

(8)   \begin{equation*} \vec{a}_N=a_N\,\hat{y}=\dfrac{v_{A}^2}{R}\,\hat{y}, \end{equation*}

quando si trova nel punto A. Chiaramente, per la scelta fatta del sistema di riferimento, la direzione x coincide con la direzione tangenziale alla guida, e la direzione y coincide con la direzione normale alla guida.

 

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Per il secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x e y, otteniamo che

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_s=ma_{t}\\ y: N_A-mg=ma_N \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: -f_s=ma_{t}\\ y: N_A-mg=m\dfrac{v_{A}^2}{R}. \end{cases} \end{equation*}

Dalla seconda equazione del sistema (9) otteniamo che la reazione vincolare nel punto A è pari ad

(10)   \begin{equation*} N_A=m\left(g+\dfrac{v_{A}^2}{R}\right). \end{equation*}

Ricordando che, dato che il corpo lungo tutta la guida rettilinea orizzontale liscia si muove di moto rettilineo uniforme, si ha v_A=v_0; da cui, la precedente equazione diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ N_A=m\left(g+\dfrac{v_{0}^2}{R}\right).}\]

 

 

 

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