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Esercizio 41  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m, collegato ad un punto fisso O da un filo inestensibile e di massa trascurabile, descrive una circonferenza di raggio R>0 posta in un piano verticale. Nel punto A la tensione del filo applicata ad m vale T_A>0, e che nel punto B la velocità di m vale v_B>0. Si richiede di calcolare

  1. il valore del raggio R;
  2. il modulo T_C che esercita il filo su m in C.

 

 

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Svolgimento. Punto 1.  Consideriamo il corpo di massa m quando si trova nel punto A. Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Otn, con l’asse delle t tangente alla traiettoria nel punto A, e l’asse delle n ad essa ortogonale, come illustrato in figura 2. Costruiamo il diagramma di corpo libero: sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g} e la tensione del filo \overrightarrow{T}_A, orientate come in figura 2.

 

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Sia v_A il modulo della velocità di m quando si trova in A. Per il secondo principio della dinamica, nella direzione dell’asse delle n, si ottiene

(1)   \begin{equation*} T_A-mg=m\dfrac{v_{A}^2}{R}\quad\Leftrightarrow\quad R=\dfrac{mv_{A}^2}{T_A-mg}. \end{equation*}

Si osservi che, {v_{A}^2}/{R} è l’accelerazione centripeta. Notiamo che, l’espressione di R ottenuta dipende da v_A, che non è un dato noto del problema. Dunque, dobbiamo esprimere v_A in funzione dei dati notevoli del problema. Costruiamo un nuovo sistema di riferimento fisso Oy, con l’origine O alla stessa quota del punto A. In corrispondenza di A fissiamo il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale, come mostrato in figura 3.

 

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Sul corpo di massa m agisce la forza peso m\vec{g} che è conservativa, e inoltre, la tensione \overrightarrow{T} che essendo perpendicolare instante per istante alla traiettoria di m, non fa lavoro. Da quanto detto, deduciamo che l’energia meccanica totale di m si conserva in ogni istante di tempo. Consideriamo l’istante di tempo in cui il corpo si trova nel punto A. In tale istante m si trova in corrisponde del livello zero dell’energia potenziale gravitazionale, pertanto l’energia totale è

(2)   \begin{equation*} E_{A}=\dfrac{1}{2}mv_{A}^2. \end{equation*}

Consideriamo l’istante di tempo in cui il corpo si trova nel punto B. In tale istante m ha velocità v_B e si trova nella posizione 2R, rispetto al sistema di riferimento Oy, quindi l’energia meccanica totale di m è

(3)   \begin{equation*} E_{B}=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+2mgR. \end{equation*}

Per la conservazione dell’energia meccanica, si ha

(4)   \begin{equation*} E_A=E_B\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}mv_{A}^2=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+2mgR, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato le equazioni (2) e (3).
Dall’equazione (4), si ottiene

(5)   \begin{equation*} v_A=\sqrt{v_{B}^2+4gR}. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di v_A (ottenuta nell’equazione (5)) nell’equazione (1), si trova

(6)   \begin{equation*} R=\dfrac{m}{T_A-mg}(v_{B}^2+4gR)\quad\Leftrightarrow\quad R=\dfrac{mv_{B}^2}{T_A-mg}+\dfrac{4mgR}{T_A-mg}\quad\Leftrightarrow\quad R\left(1-\dfrac{4mg}{T_A-mg}\right)=\dfrac{mv_{B}^2}{T_A-mg}, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ R=\dfrac{mv_{B}^2}{T_A-5mg}.}\]

Osserviamo che, il valore di R appena ottenuto è ben definito perché per ipotesi vale T_A>5mg.

Punto 2. Per calcolare la tensione T_C del filo applicata ad m quando si trova nel punto C procediamo in modo analogo al precedente punto. Scegliamo un sistema di riferimento Otn, tale per cui C\equiv A, l’asse t sia tangente alla traiettoria di m, e l’asse n sia diretto nel verso della circonferenza. Come nel precedente punto il filo è sottoposto alla forza peso m\vec{g} e alla tensione \overrightarrow{T}_C. Il sistema di riferimento e le forze sono rappresentate in figura 4.

 

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Sia v_C il modulo della velocità di m quando si trova in C. Per il secondo principio della dinamica, nella direzione dell’asse n, si ha

(7)   \begin{equation*} T_C=m\dfrac{v_{C}^2}{R}. \end{equation*}

Si osservi che, \dfrac{v_{C}^2}{R} è l’accelerazione centripeta. Notiamo che, l’espressione di T_C ottenuta dipende da v_C, che non è un dato noto del problema. Dunque, dobbiamo esprimere v_C in funzione dei dati notevoli del problema. Sfruttiamo la conservazione dell’energia meccanica del corpo tra l’istante di tempo in cui esso si trova nel punto B e l’stante di tempo in cui si trova in C (si veda la figura 5).

 

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Nel punto C l’energia meccanica totale E_C del corpo è data da un contributo cinetico ed uno gravitazionale, ossia

(8)   \begin{equation*} E_C=\dfrac{1}{2}mv_{C}^2+mgR. \end{equation*}

Sfruttando le equazioni (3) e (8), per la conservazione dell’energia, si ha

(9)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_{B}^2+2mgR=\dfrac{1}{2}mv_{C}^2+mgR \quad\Leftrightarrow\quad v_{C}^2=v_{B}^2+2gR. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di v_C (calcolata nell’equazione (9)) nell’equazione (7), si ottiene

(10)   \begin{equation*} T_C=\dfrac{m}{R}(v_{B}^2+2gR)=\dfrac{mv_{B}^2}{R}+2mg. \end{equation*}

Infine, usando il risultato ottenuto per R nel punto 1, l’equazione (10) diventa

(11)   \begin{equation*} T_C=\dfrac{mv_{B}^2}{\dfrac{mv_{B}^2}{T_A-5mg}}+2mg=(T_A-5mg)+2mg, \end{equation*}

ossia

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_C=T_A-3mg.}\]

Osserviamo che T_C è ben definito dato che vale T_A>5mg>3mg.