Home » Esercizio lavoro ed energia 42


 

Esercizio 42  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è in quiete sostenuto da due fili inestensibili e entrambi di massa trascurabile. Il filo 1 forma un angolo \beta con la verticale, mentre il filo 2 forma un angolo \alpha con la verticale, come illustrato in figura 1. Il sistema fisico composto dai due fili e la massa m è in equilibrio. Si richiede di calcolare

  • i moduli T_1 e T_2 che i due fili esercitano su m.

Successivamente si taglia il filo 2, ed il corpo inizia ad oscillare rispetto alla verticale. La velocità massima raggiunta dal corpo durante le oscillazioni è v>0. Calcolare:

  • la lunghezza \ell del filo 1.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento punto 1.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con origine O in corrispondenza della posizione del corpo di massa m all’equilibrio. Su di esso agiscono la forza peso m\vec{g}, la tensione \vec{T}_1 del filo 1 e la tensione \vec{T}_2 del filo 2. Il sistema di riferimento Oxy e le forze sono rappresentate in figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Il corpo è in quiete, pertanto dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze agenti sul corpo lungo gli assi x ed y, otteniamo

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: T_2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-T_1\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)=0\\\\ y: T_2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+T_1\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)-mg=0, \end{cases} \end{equation*}

oppure

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x: T_2\sin\alpha-T_1\sin\beta=0\\\\ y: T_2\cos\alpha+T_1\cos\beta-mg=0, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} x: T_2\sin\alpha=T_1\sin\beta\\\\ y: T_2\cos\alpha+T_1\cos\beta=mg. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (3), si ha

(4)   \begin{equation*} T_1=T_2\left(\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right). \end{equation*}

Sostituendo T_1 (calcolata nella precedente equazione) nella seconda equazione del sistema (3), si giunge ad

(5)   \begin{equation*} T_2\cos\alpha+T_2\left(\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right)\cos\beta=mg, \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} T_2(\cos\alpha+\cot\beta\sin\alpha)=mg, \end{equation*}

conseguentemente

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_2=\dfrac{mg}{\cos\alpha+\cot\beta\sin\alpha}.}\]

Sostituendo l’espressione di T_2 ( ricavata nell’equazione precedente) nell’equazione (4), si ottiene

(7)   \begin{equation*} T_1=\dfrac{mg\sin\alpha}{\sin\beta(\cos\alpha+\cot\beta\sin\alpha)}, \end{equation*}

ovvero

(8)   \begin{equation*} T_1=\dfrac{mg\sin\alpha}{\sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha}, \end{equation*}

in altri termini

(9)   \begin{equation*} T_1=\dfrac{mg\sin\alpha}{\sin\alpha(\sin\beta\cot\alpha+\cos\beta)}, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_1=\dfrac{mg}{\sin\beta\cot\alpha+\cos\beta}.}\]


Svolgimento punto 2.

Un volta tagliato il filo 2, il sistema fisico composto dal filo 1 e il punto materiale di massa m è un pendolo semplice. Il pendolo semplice parte da fermo, con un angolo iniziale \beta rispetto alla verticale. Il file raggiunge raggiunge la massima velocità quando il filo è perfettamente verticale rispetto al piano orizzontale al quale è appeso, in altri termini quando l’angolo è nullo rispetto alla verticale (si veda la figura 3). Sul corpo di massa m agisce la forza peso che è una forza conservativa, e la tensione \vec{T} generata dal filo è perpendicolare in ogni istante al moto di m, pertanto non fa lavoro. Da quanto detto, deduciamo che l’energia meccanica del pendolo è conservata in ogni istante t>0. Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oy, con l’origine O in corrispondenza del punto più basso della traiettoria (ossia il punto in cui il pendolo ha velocità massima). Il livello in cui si trova l’origine O definisce arbitrariamente il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale, come illustrato in figura 3.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Consideriamo come istante iniziale quello in cui il corpo parte da fermo e con angolo \beta rispetto alla verticale, ovvero quando si trova nella posizione y=\ell(1-\cos\beta) nel sistema di riferimento Oy. L’energia meccanica totale iniziale E_{\text{in}} è interamente gravitazionale, ossia

(10)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=mgh=mg\ell(1-\cos\beta). \end{equation*}

Consideriamo come istante finale quello in cui il corpo passa per il punto più basso della traiettoria, ossia quello in cui la sua velocità è massima v. L’energia meccanica totale finale E_{\text{fin}} è interamente cinetica, cioè

(11)   \begin{equation*} E_{\text{fin}}=\dfrac{1}{2}mv^2. \end{equation*}

Dalla conservazione dell’energia meccanica, si ha

(12)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=E_{\text{fin}}, \end{equation*}

da cui, utilizzando le equazioni (10) e (11), la precedente equazione diventa

(13)   \begin{equation*} mg\ell(1-\cos\beta)=\dfrac{1}{2}mv^2, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ \ell=\dfrac{v^2}{2g(1-\cos\beta)},}\]

ovvero abbiamo ottenuto la lunghezza del filo 1.

 

 

error: Il contenuto è protetto!!