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Condizioni di esistenza

Esempi, Studi di funzione

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Benvenuti nella nostra guida alle condizioni di esistenza! In questo articolo esaminiamo questo importante concetto della matematica: quando si effettuano delle operazioni matematiche, occorre innanzitutto verificare che i termini coinvolti siano ben definiti; equivalentemente, bisogna assicurarsi che le operazioni da effettuare possano effettivamente essere portate a termine. Alcuni esempi importanti sono le frazioni, in cui è necessario che il denominatore sia diverso da zero e le radici quadrate, che non possono avere per argomenti numeri negativi, se si vuole rimanere nel campo dei numeri reali.
Questo articolo è una guida essenziale alle condizioni di esistenza: dopo aver esaminato i principali casi di interesse, li illustriamo mediante esempi ed esercizi completamente svolti, così da fornire al lettore l’approccio più immediato e pratico possibile.

Consigliamo inoltre i seguenti articoli per approfondire i concetti qui presentati:

Buona lettura!

 

Sommario

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Le condizioni di esistenza} (CE) identificano l’insieme dei valori che rendono lecite le operazioni in un’espressione matematica. Questo articolo raccoglie, in forma didattica, teoria, esempi commentati ed esercizi utili per introdurre e consolidare la padronanza delle CE nell’ambito dell’algebra elementare, dell’analisi e dello studio di funzioni reali di variabile reale.

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.  

 

Introduzione

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Le condizioni di esistenza rappresentano un primo “filtro” logico da applicare a qualunque problema algebrico o analitico: prima di manipolare un’espressione è necessario determinare per quali valori delle variabili tutte le operazioni ivi contenute siano consentite per i valori assegnati alle variabili. Ignorare questo passaggio conduce a soluzioni spurie o non accettabili, risultati non definiti e, nei contesti applicativi, interpretazioni prive di significato fisico.

In questo articolo analizziamo un’ampia varietà di casi, spiegando le motivazioni e le accortezze da utilizzare.

 

Analisi dei casi

Lo scopo di questa sezione è di analizzare alcune operazioni comuni e di determinare per quali valori delle variabili esse sono ben definite.

Frazioni

La frazione è un modo per indicare la divisione tra numeratore e denominatore. Poiché non è possibile dividere per zero, il denominatore di una frazione (divisore) deve essere sempre diverso da 0. Ad esempio, l’espressione

\[ \frac{2x+1}{x-3} \]

è definita per i soli numeri x se rendono non nullo il denominatore, ovvero se e solo se x \neq 3.

Tale condizione di esistenza vale per qualunque tipo di frazione, anche quella riguardante espressioni trigonometriche, logaritmiche, etc..

Radici

Per radice n-esima \sqrt[n]{x} di un numero x si intende un numero che, elevato alla potenza n, fornisca x.

  1. Se n è dispari, un tale numero esiste sempre ed è unico, ad esempio

    \[ \sqrt[3]{8}=2, \qquad \sqrt[3]{-8}=-2. \]

  2. Se invece n è pari, non esiste alcuna soluzione per x<0: nessun numero elevato a una potenza pari fornisce un risultato negativo. Quindi ad esempio

    \[ \sqrt[4]{-16}=? \]

    Se x \geq 0, con \sqrt[n]{x} si indica l’unico numero positivo che elevato alla potenza n-esima dà come risultato x.

Ne conseguono i casi qui delineati.

  1. Se n è dispari la radice n-esima non pone alcuna condizione sul radicando. Ad esempio l’espressione

    \[\sqrt[3]{5-2x}\]

    è definita per ogni x reale.

  2. Se n è pari, la quantità sotto una radice n-esima deve essere sempre positiva o nulla. Quindi l’espressione

    \[ \sqrt{5-2x} \]

    è definita solo per i valori che rendono l’argomento della radice positivo o nullo. Occorre quindi imporre

    \[ 5-2x \geq 0 \iff x \leq \frac{5}{2}. \]

Potenza a esponente reale o razionale

Le potenze a esponenti razionali sono definite come radici. Dunque, per ragioni simili a quelle esposte precedentemente, quando si studia una potenza a esponente reale o razionale, come ad esempio x^{\sqrt{2}} o x^{\frac{p}{q}}, bisogna assicurarsi che la base della potenza sia positiva, ovvero in questo caso x>0.

Una base nulla, sebbene definita in linea di principio per esponenti positivi, dà luogo a espressioni non definite se l’esponente è nullo o negativo. Questa è la ragione per cui è bene restringere la propria analisi a basi positive.

Ad esempio, nello studio dell’espressione

\[ (x^2-1)^{7x}, \]

occorre assicurarsi che la base sia positiva, ovvero x^2-1>0, che implica x<-1 oppure x>1.

Logaritmi

Il logaritmo in base a di x è l’operazione inversa dell’esponenziale di base a, e risponde alla domanda

“Quale esponente occorre dare a a per ottenere x?”,

ovvero a^{\log_a x}=x.

Dato che la base di un esponenziale deve essere sempre positiva per quanto visto nelle sezioni precedenti, la quantità a^y è sempre positiva, qualsiasi sia y. Quindi, se si vuole che valga a^y=x, deve necessariamente imporsi x>0. Per tale ragione, gli argomenti dei logaritmi devono essere sempre positivi.

Ad esempio, volendo studiare l’espressione

\[ g(t)=\log_{10}(t^2-9), \]

si deve imporre t^2-9>0, che è equivalente a richiedere t<-3 oppure t>3.

Funzioni goniometriche e loro inverse

Rimandiamo all’articolo [Funzioni goniometriche: la guida essenziale ] per una trattazione sintetica e chiara di queste funzioni e delle loro inverse. Qui ci limitiamo a osservare le seguenti proprietà.

  • La funzione seno è definita per ogni valore dell’argomento.
  • La funzione coseno è definita per ogni valore dell’argomento.
  • La funzione tangente, essendo pari al quoziente tra seno e coseno, è definita solo quando il coseno dell’argomento non è nullo.
  • La funzione cotangente, essendo pari al quoziente tra coseno e seno, è definita solo quando il seno dell’argomento non è nullo.

Per le funzioni goniometriche inverse valgono le seguenti condizioni di esistenza.

  • La funzione arcoseno, essendo l’inversa del seno, è definita solo quando l’argomento appartiene all’intervallo di valori [-1,1].
  • La funzione arcocoseno, essendo l’inversa del coseno, è definita solo quando l’argomento appartiene all’intervallo di valori [-1,1].
  • La funzione arcotangente è definita per ogni valore dell’argomento.
  • La funzione arcocotangente è definita per ogni valore dell’argomento.

 

Procedura generale

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Quando si incontra un’espressione, in un’equazione, uno studio di funzione, o qualsiasi altro campo, occorre quindi sempre determinarne le condizioni di esistenza. In questa sezione elenchiamo i passi da seguire.

  1. Individuare le operazioni critiche, ovvero le divisioni, radici, logaritmi, etc…
  2. Scrivere tutti i vincoli forniti da ciascuna operazione: tutti i denominatori devono essere diversi da 0, gli argomenti delle radici di indice pari devono essere non-negativi, etc…
  3. Risolvere ciascuna equazione/disequazione individuata al passo precedente.
  4. Intersecare tutte le soluzioni: affinché l’espressione di partenza sia ben definita, occorre individuare i valori delle variabili che soddisfano tutte le condizioni stabilite nei passi precedenti.

 

Esempi svolti

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Esempio 1. Individuiamo le condizioni di esistenza per l’espressione

\[ \frac{\sqrt{x}+2}{x-1}, \]

ovvero i valori della x per cui l’espressione abbia senso.

  1. Osserviamo che nell’espressione compare una radice quadrata e una frazione.
  2. L’argomento della radice quandrata deve essere non-negativo, mentre il denominatore della frazione deve essere diverso da 0. Scriviamo queste due condizioni nel sistema

    \[ \begin{cases} x \geq 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases} \]

    per indicare appunto che devono essere soddisfatte entrambe.

  3. La prima disequazione del sistema è già risolta, la seconda condizione è equivalente a x \neq 1. Dunque

    \[ \begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 1. \end{cases} \]

  4. Il sistema è soddisfatto dalle x che soddisfano entrambe le condizioni in esso contenute, ovvero dalle x non-negative che sono diverse da 1. In formule le condizioni di esistenza sono

    \[ x \in [0,1) \cup (1+\infty), \qquad \text{o, equivalentemente,} \qquad 0 \leq x <1 \,\,\,\vee \,\,\, x>1. \]

Esempio 2. Determiniamo i valori della variabile t per cui l’espressione

\[ \ln \left ( \frac{t-4}{t^2+1} \right ) \]

è ben definita, dove \ln indica il logaritmo in base e=\text{2,71}\dots, detto anche logaritmo naturale.

  1. Nell’espressione compare un logaritmo di una frazione.
  2. L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo, mentre il denominatore della frazione deve essere diverso da 0, quindi le condizioni di esistenza sono date dal sistema

    \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{t-4}{t^2+1}>0 \\[10pt] t^2+1 \neq 0. \end{cases} \end{equation*}

  3. Osserviamo che la quantità t^2+1 è la somma di un quadrato e di un numero positivo, quindi è strettamente positivo per ogni scelta di t. Ne segue che la seconda condizione del sistema (1) è verificata per ogni t \in \mathbb{R}. Inoltre, poiché il denominatore della frazione nella prima equazione di (1) è sempre positivo, il risultato della frazione è positivo se e solo se il numeratore della frazione è positivo, ossia t-4>0, che equivale a t>4.

Ne segue che l’intero sistema (1) è equivalente alla sola condizione

\[ t>4,\qquad \text{o, equivalentemente} \qquad t \in (4,+\infty). \]

Esempio 3. Determiniamo le condizioni di esistenza dell’espressione

\[ \sqrt{\arcsin\left ( \ln (x-4) \right)}. \]

  1. Nell’espressione compare una radice quadrata, un logaritmo naturale e la funzione arcoseno del binomio x-4.
  2. L’argomento della radice quadrata deve essere positivo o nullo, l’argomento dell’arcoseno deve essere compreso tra -1 e 1, l’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo. In formule

    \begin{equation*} \begin{cases} \arcsin\left ( \ln (x-4) \right) \geq 0. \\ -1 \leq \ln (x-4) \leq 1 \\ x-4>0. \end{cases} \end{equation*}

  3. -4. L’ultima disequazione è equivalente a

    \[ x>4. \]

    La prima disequazione richiede che il risultato dell’arcoseno sia non negativo. Ciò avviene quando l’argomento è maggiore o uguale a 0, quindi la condizione è equivalente a

    \[ \ln (x-4) \geq 0. \]

    Poiché ciò deve valere contemporaneamente alla seconda disuguaglianza in (2), il sistema (2) è equivalente a

    \[ \begin{cases} 0 \leq \ln (x-4) \leq 1 \\ x>4. \end{cases} \]

    Dato che il logaritmo naturale è crescente rispetto all’argomento, e \ln(t)=0 per t=1 e \ln(t)=1 per t=e, il sistema è a sua volta equivalente a

    \[ \begin{cases} 1 \leq x-4 \leq e \\ x>4. \end{cases} \iff \begin{cases} 5 \leq x \leq e+4 \\ x>4. \end{cases} \]

    Dato che 4<5<e+4, il sistema è soddisfatto da

    \[ x \in [5,e+4], \qquad \text{o, equivalentemente,} \qquad 5 \leq x \leq e+4. \]

Esempio 4. Risolviamo

\[ \bigl(x^2-2\bigr)^{3/4}=2. \]

La condizione di esistenza impone che x^2-2 \geq 0, ossia che x \leq -\sqrt{2} oppure x \geq \sqrt{2}.

Eleviamo entrambe le parti alla potenza \frac{4}{3} ottenendo x^2-2=2^{\frac{4}{3}}. Le soluzioni di tale equazione sono x=\pm\sqrt{2+2^{\frac{4}{3}}}.

Confrontiamo infine con le condizioni di esistenza con le condizioni di esistenza: dato che \sqrt{2+2^{\frac{4}{3}}}> \sqrt{2}, entrambe le soluzioni sono accettabili e quindi l’equazione è risolta da

\[ x=\pm\sqrt{2+2^{\frac{4}{3}}}. \]

 

Esercizi proposti

Di seguito una selezione di esercizi riepilogativi corredati di soluzione.

 
Esercizio 1. Determinare le condizioni di esistenza di \displaystyle \frac{\sqrt[3]{3x-1}}{x^2-x-2}.

Svolgimento.

Per il denominatore si ha x^2-x-2\neq0, da cui x\notin\{-1,2\}. La radice ha indice 3, pertanto è definita per ogni valore dell’argomento. Ne segue che le condizioni di esistenza sono

\[ x \in \mathbb{R} \setminus\{-1,2\}. \]

 

Esercizio 2. Stabilire le condizioni di esistenza di \displaystyle \tan\bigl(\ln(2-t)\bigr).

Svolgimento.

Per il logaritmo si ha 2-t>0 ovvero t<2. Per la tangente invece occorre imporre \cos\bigl(\ln(2-t)\bigr)\neq0. Si ottiene la condizione di esistenza complessiva

\[ t<2 \quad \text{e} \quad \ln(2-t)\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \quad \iff \quad t<2 \quad \text{e} \quad t \neq 2 - e^{\frac{\pi}{2}+k\pi}, \]

con k \in \mathbb{Z}.

 

Esercizio 3. Risolvere l’equazione \displaystyle \sqrt{\frac{x+2}{x-1}}=\sqrt{x+1} specificando le condizioni di esistenza.

Svolgimento.

Determiniamo prima le condizioni di esistenza: per le radici occorre imporre \frac{x+2}{x-1} \geq 0 e x+1 \geq 0, mentre la presenza del denominatore implica x-1 \neq 0, dunque il sistema

\[ \begin{cases} \dfrac{x+2}{x-1} \geq 0 \\[10pt] x+1 \geq 0 \\[10pt] x \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x \leq -2 \,\,\,\vee\,\,\, x \geq 1 \\[10pt] x \geq -1 \\[10pt] x \neq 1 \end{cases} \iff x>1. \]

Per risolvere l’equazione occorre elevare al quadrato (lecito perché i due membri sono positivi) ottenendo il sistema

\[ \begin{cases} x+2 = (x+1)(x-1) \\ x >1 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2-x-3 =0 \\ x >1. \end{cases} \iff \begin{cases} x= \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} \,\,\,\vee\,\,\, x= \dfrac{1 - \sqrt{13}}{2} \\[10pt] x >1. \end{cases} \]

La soluzione x= \frac{1 - \sqrt{13}}{2} va scartata in quanto non è maggiore di 1 e quindi l’unica soluzione dell’equazione è

\[ x= \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}. \]

 

Esercizio 4. Determinare i valori di x per cui l’espressione f(x)=\ln\bigl(\sqrt{x^2+4}-x\bigr) è definita.

Svolgimento.

La presenza del logaritmo impone \sqrt{x^2+4}-x>0, mentre la radice è definita se e solo se x^2+4 \geq 0. Osserviamo che quest’ultima condizione è sempre verificata, essendo il primo membro somma di un quadrato e un numero positivo. Dunque occorre solo risolvere

\begin{equation*} \sqrt{x^2+4}-x>0 \iff \sqrt{x^2+4}>x. \end{equation*}

Distinguiamo due casi: Se x < 0, la disuguaglianza è automaticamente verificata, in quanto il membro di sinistra è positivo e quello di destra negativo. Se invece x \geq 0, possiamo elevare al quadrato e ottenere la disuguaglianza 4 >0 che è sempre verificata. Ne segue che la disequazione (3) è verificata per ogni x \in \mathbb{R}. L’espressione è quindi definita per ogni x reale.

 

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Funzioni goniometriche: la guida essenziale

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
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