Teoria sulle successioni

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Benvenuti nella nostra guida teorica completa alla teoria delle successioni numeriche. L’idea intuitiva di una successione reale è quella di una “lista infinita” di numeri reali:

$a_0, \, a_1, \, a_2, \,\dots, \, a_n, \, \dots$

Formalmente, in Analisi Matematica ciò viene vista come una funzione $a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ . Le successioni sono uno degli strumenti storicamente più antichi e, per questo motivo oltre che per la loro relativa semplicità, costituiscono il fondamento di numerose parti dell’Analisi Matematica, oltre che di altre branche della Matematica.
In questo articolo proponiamo uno studio completo della teoria riguardante questo affascinante argomento; la teoria è corredata da numerosi esempi ed illustrazioni; proponiamo infine una nutrita serie di esercizi, alcuni completamente risolti, altri di cui forniamo solo dei suggerimenti, per offrire al lettore il necessario spazio per applicare e familiarizzare con le tecniche apprese. Concludiamo fornendo infine delle utilissime tabelle riassuntive sui risultati principali, le forme indeterminate e i limiti notevoli incontrati.

Oltre agli articoli teorici reperibili nella cartella Successioni – teoria , consigliamo le ulteriori raccolte di esercizi su questo argomento:

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa tratta le successioni di numeri reali. Dopo le definizioni fondamentali, si introduce il concetto di limite di successione e le sue relazioni con le usuali operazioni algebriche. Si presentano poi i principali teoremi sui limiti, la nozione di successione di Cauchy, il numero di Nepero $e$ , i principali criteri di convergenza e i limiti notevoli fondamentali. La dispensa si conclude proponendo una nutrita raccolta esercizi svolti e un’appendice sulla potenza a esponente reale.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi, Martina Moro

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fioucci.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali: $\{1,2,\dots\}$ ;
$\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup\{0\}$	Insieme dei numeri naturali non negativi: $\{0,1,2,\dots\}$ ;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi
$\mathbb{Q}$	Insieme dei numeri razionali;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\overline{\mathbb{R}}$	Insieme dei numeri reali estesi, ovvero $\overline{\mathbb{R}}\coloneqq\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ ;
$I_\varepsilon(x)$	Intorno circolare di raggio $\varepsilon$ di $x$ , ossia $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ ;
$A^c$	$\mathbb{R} \setminus A$ , ovvero il complementare dell’insieme $A$ ;
$A^{\mathrm{o}}$	Parte interna dell’insieme $A$ ;
$\partial A$	Frontiera dell’insieme $A$ ;
$\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$	Successione di termine generale $a_n$ , ossia la funzione $a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ ;
$\{a_{\phi(k)}\}_{k \in \mathbb{N}}, \{a_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}$	Sottosuccessione della successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ottenuta dalla funzione strettamente crescente $\phi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ;
$\lim_{n \to + \infty} a_n = \ell$ , $a_n \to \ell$	Limite della successione $a_n$ ;
$a_n =o(b_n)$	$a_n$ è un o-piccolo di $b_n$ , ovvero $\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=0.$ ;
$a_n \sim b_n$	$a_n$ è asintotica a $b_n$ , ovvero $\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=1.$ .

Introduzione

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Il concetto di successione è storicamente uno dei primi ad essere entrato a far parte della Matematica: sin dai tempi dei babilonesi e degli antichi greci se ne sono comprese le potenzialità e l’utilità.

La nozione di successione formalizza l’idea di “lista” ordinata e infinita di oggetti. Una successione di numeri reali, l’oggetto principale di questa dispensa, si può quindi immaginare come

(1) $\begin{equation*} a_0, \, a_1, \dots, a_n,\, \dots \end{equation*}$

Ogni elemento $a_n$ è un numero reale e tali numeri vengono ordinati mediante un indice costituito da un numero naturale $n$ . Si può quindi formalizzare questa idea come una funzione $a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ in cui l’immagine $a(n)$ del numero reale $n$ tramite $a$ viene indicata col simbolo $a_n$ .

Uno dei concetti fondamentali relativi alle successioni è quello di limite: esso formalizza l’idea intuitiva del valore a cui si avvicinano i numeri $a_n$ al crescere dell’indice $n$ . Questa dispensa è principalmente dedicata allo studio dei limiti delle successioni reali. Dopo una presentazione dei concetti e le proprietà fondamentali relativi alle successioni, il focus viene infatti spostato sul concetto di limite, le sue proprietà algebriche e i risultati che ne descrivono le caratteristiche. Più precisamente, il lavoro è così organizzato.

$\quad$

Nella sezione 1 studiamo la topologia dell’insieme $\mathbb{R}$ , presentando la nozione di intorno che risulta fondamentale per definire formalmente il concetto di limite e permette di definire punti interni, di frontiera e di accumulazione di sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ .

Nella sezione 2 introduciamo le successioni, ne studiamo le proprietà principali quali limitatezza e monotonia e presentiamo il concetto di sottosuccessione.

Nella sezione 3 parliamo del concetto di limite di una successione e di come esso formalizzi l’idea dell’avvicinarsi dei termini della successione verso un certo valore. Trattiamo anche le proprietà di base dei limiti, come la loro unicità e alcune caratterizzazioni topologiche dei chiusi e dei punti di accumulazione.

Nella sezione 4 parliamo dell’algebra dei limiti, ossia di come il concetto di limite si relazioni con le usuali operazioni algebriche come somma, prodotto e quoziente. Introduciamo inoltre il concetto di forma indeterminata, che appare quando si tenta di estendere ai simboli $+\infty$ e $-\infty$ le usuali operazioni tra numeri reali.

Nella sezione 5 presentiamo i principali teoremi sui limiti: il fatto che le successioni monotone abbiano sempre limite, l’esistenza di sottosuccessioni monotone, i teoremi del confronto, dei carabinieri e della permanenza del segno, concludendo col teorema di Bolzano-Weierstrass sull’esistenza di estratte convergenti.

Nella sezione 6 introduciamo il concetto di successione di Cauchy, ossia successioni i cui termini diventano arbitrariamente vicini tra loro, al crescere dell’indice. Vedremo che tale nozione in $\mathbb{R}$ è intimamente legata a quella di convergenza della successione, essendo infatti esse equivalenti.

Nella sezione 7 presentiamo il celebre numero di Nepero $e=2,71\dots$ , obiquo in ogni campo della Matematica e delle scienze applicate. Lo introduciamo appunto come limite di una successione, per poi darne alcune definizioni equivalenti. Trattiamo inoltre l’esponenziale naturale.

Nella sezione 8 trattiamo i principali criteri di convergenza per successioni a termini positivi, ossia il criterio del rapporto e della radice, forniamo alcuni esempi di applicazione e li confrontiamo tra loro.

Nella sezione 9 presentiamo alcuni esempi di limiti di successione che vengono detti notevoli, in quanto ricorrono frequentemente nel calcolo dei limiti ed è quindi importante tenerli a mente. Presentiamo quindi la cosiddetta gerarchia degli infiniti e altre forme indeterminate di particolare interesse.

Nella sezione 10 introduciamo il concetto di successioni asintoticamente equivalenti e la nozione di $o$ -piccolo, oltre al principio di sostituzione degli infinitesimi.

Nella sezione 11 trattiamo i teoremi di Stolz-Cesaro, che consentono di dedurre il limite di alcune medie di successioni a partire dai limiti delle successioni stesse.

Nella sezione 12 presentiamo il teorema ponte, così denominato in quanto costituisce il legame tra i concetti di limiti di successioni e di funzioni. Esso consente di caratterizzare il limite di una funzione mediante opportuni limiti di successioni.

Nella sezione 13 introduciamo il lettore allo studio delle cosiddette successioni per ricorrenza, ovvero successioni definite fornendo esclusivamente il primo termine e la relazione tra il termine successivo e i precedenti. Vedremo che il loro studio richiede un’attenzione particolare e tecniche interessanti.

Nella sezione 14 riportiamo degli esercizi, alcuni completamente risolti, altri proposti al lettore, in cui forniamo soltanto dei suggerimenti ove necessario.

Nella sezione 16 offriamo al lettore alcuni schemi riassuntivi sulle conclusioni ottenute nel corso della dispensa, in particolare sulle definizioni e concetti fondamentali, sulle forme indeterminate e sui limiti notevoli.

Nell’appendice A offriamo al lettore una trattazione autocontenuta della potenza a esponente reale, che applica il concetto di successione e di limite.

Topologia di $\mathbb{R}$

Introduzione.

Lo scopo fondamentale di questa sezione introduttiva è fornire le nozioni essenziali di topologia necessarie per affrontare lo studio delle successioni a valori reali. Iniziamo con la nozione di intorno di un punto, che formalizza l’idea di un insieme che lo “circonda”.

Definizione 1.1 (intorno, intorno circolare, punti interni ed esterni). Sia $x_0$ un numero reale. Un intorno circolare di $x_0$ è un intervallo aperto centrato in $x_0$ , ovvero della forma

$\begin{equation*} I_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon,\,x_0+\varepsilon) \end{equation*}$

con $\varepsilon>0$ . Un insieme $J$ si dice intorno di $x$ se contiene un intorno circolare di $x$ .

Dato un insieme $A\subseteq\,\mathbb{R}$ , diremo che un punto $y\in\mathbb{R}$ è interno ad $A$ se esiste $\varepsilon>0$ tale che

$\begin{equation*} I_\varepsilon(y)\subseteq A. \end{equation*}$

Diremo inoltre che un punto $z\in\mathbb{R}$ è esterno ad $A$ se è interno al complementare $A^c\coloneqq \mathbb{R} \setminus A$ di $A$ .

Esempio 1.2. Consideriamo il punto $x_0=2$ . Allora l’intorno circolare $I_1(2)$ di centro $2$ e raggio $1$ è costituito dall’intervallo aperto

(2) $\begin{equation*} I_1(2) = (2-1,2+1) = (1,3), \end{equation*}$

rappresentato in blu in figura 1. Considerando l’insieme $A=[0,3] \cup [4,5)$ , rappresentato in verde in figura 1, dalla definizione segue che $x_0=2$ è interno ad $A$ , in quanto esso contiene l’intorno $I_1(2)$ di $x_0=2$ , ovvero $I_1(2) \subseteq A$ .

Il punto $x_1= \frac{7}{2}$ , rappresentato in rosso in figura 1, è invece esterno all’insieme $A$ , in quanto il complementare $A^c$ di $A$ contiene l’intorno $I_r(x_1)$ con $r=\frac{1}{4}$ , ossia

(3) $\begin{equation*} I_{\frac{1}{4}}(x_1) \subset A^c. \end{equation*}$

$\quad$

Teoria sulle successioni

Figura 1: gli insiemi dell’esempio 1.2; si nota che $x_0$ è interno all’insieme $A$ (rappresentato in verde) in quanto esso contiene l’intorno circolare $I_1(2)$ (rappresentato in blu). Il punto $x_1=\frac{7}{2}$ è invece esterno ad $A$ poiché l’intorno $I_{\frac{1}{4}}(x_1)$ (rappresentato in rosso) è disgiunto da $A$ .

$\quad$

Esempio 1.3. Consideriamo l’insieme $A = (1, 2] \subset \mathbb{R}$ , rappresentato in verde in figura 2.

$\quad$

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Figura 2: l’insieme $A$ (rappresentato in verde) dell’esempio 1.3; si nota che $\frac{3}{2}$ è interno ad $A$ poiché esso contiene l’intorno circolare $I_{\frac{1}{4}}\left(\frac{3}{2} \right)$ (rappresentato in blu) di $\frac{3}{2}$ . Il punto $3$ è invece esterno ad $A$ dato che l’intorno $I_{\frac{1}{2}}(3)$ (rappresentato in rosso) è contenuto nel complementare di $A$ . Si noti che gli estremi $1$ e $2$ di $A$ non sono né interni ad $A$ né esterni ad esso; essi sono quindi punti di frontiera per $A$ .

$\quad$

Il punto $x = \frac{3}{2}$ è chiaramente un punto interno di $A$ . Infatti, possiamo identificare un $\varepsilon = \frac{1}{4}$ (questo è solo un esempio, ma esistono infiniti altri valori possibili) tale che

$\begin{equation*} I_\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4},\,\frac{3}{2}+\frac{1}{4}\right)=\left(\frac{5}{4},\,\frac{7}{4}\right)\subset (1,\,2]. \end{equation*}$

Invece il punto $x=3$ è esterno ad $A$ ; infatti se consideriamo il complementare di $A$ , $A^c=\left(-\infty,\,1\right]\cup\left(2,+\infty\right)$ possiamo considerare ad esempio $\varepsilon=\frac{1}{2}$ e concludere che

$\begin{equation*} I_\frac{1}{2}(3)=\left(3-\frac{1}{2},\,3+\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\,\frac{7}{2}\right)\subset A^c, \end{equation*}$

ovvero $x=3$ è un punto interno del complementare di $A$ .

Definizione 1.4 (punto di frontiera). Un punto $x\in\mathbb{R}$ si dice punto di frontiera per un insieme $A\subseteq\mathbb{R}$ se non è né interno né esterno ad esso.

$\quad$

Esempio 1.5. Per l’insieme $A=(1,\,2]$ i punti di frontiera sono $x=1$ e $x=2$ .

Esempio 1.6. Consideriamo l’intervallo aperto $A = (a, b)$ . In questo caso, ogni punto $x \in A$ è un punto interno. Per contro, ogni $y \in \mathbb{R}$ che soddisfa $y < a$ o $y > b$ è un punto esterno. I punti di frontiera di $A$ sono gli estremi $a$ e $b$ .

Esempio 1.7. Prendiamo in esame l’intervallo chiuso $A = [a, b]$ . Qui, ogni punto $x \in \mathbb{R}$ con $a < x < b$ è interno ad $A$ , mentre ogni $y \in \mathbb{R}$ che verifica $y < a$ o $y > b$ è esterno. I punti di frontiera anche in questo caso sono gli estremi $a$ e $b$ .

Definizione 1.8 (parte interna e frontiera). Sia $A\subseteq \mathbb{R}.$ La parte interna di $A$ si indica con $A^{\mathrm{o}}$ ed è l’insieme dei punti interni ad $A$ . La frontiera di $A$ è invece l’insieme dei punti di frontiera per $A$ e si indica con $\partial A$ .

Osservazione 1.9. La frontiera di un insieme coincide con la frontiera del suo complementare: $\partial A=\partial A^c$ . Infatti, $x$ è un punto di forntiera per l’insieme $A$ se e solo se:

$\quad$

$x$ non è un punto interno di $(A^c)^c=A$ ;

$x$ non è un punto esterno di $A$ , ovvero $x$ non è un punto interno di $A^c$ .

Quindi per 1.1 il punto $x$ è un punto di frontiera per $A^c.$

Esempio 1.10. Negli esempi precedenti abbiamo:

$\quad$

se $A=(1,\,2]$ allora $A^{\mathrm{o}}=(1,\,2)$ e $\partial A=\{1,\,2\}$ ;

se $A=(a,b)$ allora $A^{\mathrm{o}}=(a,\,b)$ e $\partial A=\{1,\,2\}$ ;

se $A=[a,b]$ allora $A^{\mathrm{o}}=(a,\,b)$ e $\partial A=\{a,\,b\}$ .

Definizione 1.11 (insiemi aperti e chiusi). Un insieme $A\subseteq\mathbb{R}$ si dice aperto se ogni suo punto è a esso interno, ossia se per ogni $x\in A$ esiste $\varepsilon$ tale che $I_\varepsilon(x)\subseteq A$ .

Un insieme $A\subseteq\mathbb{R}$ si dice chiuso se contiene i suoi punti di frontiera, ovvero se $\partial A\subseteq A$ .

$\quad$

Un insieme è quindi aperto se non contiene alcun punto della sua frontiera o, in altre parole, se $A^{\mathrm{o}}=A$ . Viceversa, un insieme è chiuso se li contiene tutti. Le nozioni di insieme aperto e chiuso sono quindi complementari, come precisa il prossimo risultato.

Teorema 1.12. Un insieme $A\subseteq\mathbb{R}$ è aperto se e solo se il suo complementare $A^c$ è chiuso.

$\quad$

Dimostrazione. $(\Rightarrow)$ Consideriamo un insieme aperto $A \subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0 \in \partial (A^c) = \partial A$ , dove l’uguaglianza segue dall’osservazione 1.9. Poiché $x_0$ non appartiene all’interno di $A$ , segue che $x_0$ non è in $A$ . Pertanto, $x_0$ appartiene al complementare di $A$ , ovvero $x_0 \in A^c$ .

$(\Leftarrow)$ Se $A^c$ è chiuso e $x \in A$ , allora $x$ non è di frontiera per $A$ in quanto $\partial A=\partial (A^c) \subseteq A^c$ . Dunque $x$ è interno ad $A$ e quindi $A$ è aperto.

Osservazione 1.13. Poiché ogni intorno di $x$ contiene un intorno circolare di $x$ e, d’altra parte, ogni intorno circolare è un particolare intorno, è chiaro che nelle definizioni e caratterizzazioni degli elementi topologici che ci interessano possiamo limitarci a utilizzare soltanto intorni circolari.

Definizione 1.14 (punto di accumulazione e isolato). Sia $A\subseteq \mathbb{R}$ . Un punto $x\in\mathbb{R}$ si dice punto di accumulazione per $A$ se ogni intorno di $x$ contiene almeno un elemento di $A$ diverso da $x$ , ovvero

$\forall \varepsilon>0\,\,\,\,\exists\,\,\,y\neq x\,\,\text{t.c.}\,\, y\in I_\varepsilon(x).$

In altre parole $x\in\mathbb{R}$ è di accumulazione per $A$ se e solo se $I_\varepsilon (x) \cap A\setminus \{x\}\neq \emptyset$ per ogni $\varepsilon>0.$ Un punto $x\in A$ si dice punto isolato per $A$ se esiste un intorno di $x$ che non contiene alcun punto di $A$ oltre a $x$ , ovvero se esiste $\varepsilon>0$ tale che $I_\varepsilon (x) \cap A\setminus \{x\}= \emptyset.$

$\quad$

Esempio 1.15. Nell’intervallo aperto $A=(a,\,b)$ tutti i punti interni e di frontiera sono di accumulazione per $A$ .

Esempio 1.16. Nell’intervallo chiuso $A=[a,\,b]$ tutti i punti $x\in A$ sono di accumulazione, sia quelli interni che quelli di frontiera.

Come il termine stesso suggerisce, intorno a un punto di accumulazione $x_0$ per un insieme $A$ , i punti di $A$ si addensano. Infatti, in ogni intorno di $x_0$ devono esserci infiniti punti dell’insieme $A$ , come stabilito dalla prossima proposizione.

Proposizione 1.17. Sia $A\subseteq \mathbb{R}.$ Un punto $x$ è di accumulazione per $A$ se e solo se ogni intorno $I_\varepsilon(x)$ contiene infiniti punti di $A$ .

$\quad$

Osservazione 1.18. Da questa proposizione segue in particolare che un insieme finito non può possedere alcun punto di accumulazione.

Dimostraione. $(\Leftarrow)$ Se ogni intorno $I_\varepsilon(x_0)$ di $x_0$ contiene infiniti punti di $A$ , ovviamente esso contiene punti di $A$ distinti da $x_0$ , per cui $x_0$ è di accumulazione.

$(\Rightarrow)$ Per provare il viceversa, supponiamo che $x_0$ sia di accumulazione per $A$ e, per assurdo, che esista $\varepsilon>0$ tale che $I_\varepsilon(x_0) \cap A$ sia finito, ossia

(4) $\begin{equation*} I_\varepsilon(x_0) \cap A = \{x_0,x_1,\dots,x_n\} \qquad \text{con } n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Si veda la figura 3 per una rappresentazione grafica. Scegliamo $\delta$ come metà della minima distanza tra $x_0$ e i punti $x_i$ , ovvero

(5) $\begin{equation*} \delta \coloneqq \dfrac{1}{2}\min\{ |x_0-x_1|, \dots, |x_0-x_n|\}. \end{equation*}$

Da questa scelta segue che $\delta < \varepsilon$ e quindi $I_{\delta}(x_0) \subset I_\varepsilon(x_0)$ . D’altra parte, da (5) segue che nessun $x_i$ appartiene a $I_\delta(x_0)$ , altrimenti si avrebbe

(6) $\begin{equation*} |x_i-x_0| < \delta = \dfrac{1}{2}\min\{ |x_0-x_1|, \dots, |x_0-x_n|\} < |x_0-x_i|, \end{equation*}$

che è assurdo. Da ciò e da $I_{\delta}(x_0) \subset I_\varepsilon(x_0)$ segue che

(7) $\begin{equation*} I_\delta(x_0) \cap A = \{x_0\}, \end{equation*}$

ma ciò contraddice il fatto che $x_0$ sia un punto di accumulazione, in quanto l’intorno $I_\delta(x_0)$ di $x_0$ contiene soltanto il punto $x_0$ di $A$ .

$\quad$

Teoria sulle successioni

Figura 3: schematizzazione della dimostrazione della proposizione 1.17. Se l’intorno $I_{\varepsilon}(x_0)$ (in verde) contenesse un numero finito di punti di $A$ (rappresentati in verde e grigio), allora esisterebbe un intorno $I_{\delta}(x_0)$ (in blu) la cui intersezione con $A$ sarebbe costituita dal solo punto $x_0$ , contro l’ipotesi che $x_0$ sia di accumulazione per $A$ .

Topologia della retta reale estesa.

È importante dedicare un’attenzione specifica alla topologia della retta reale estesa. Questo concetto si riferisce all’insieme costituito dai numeri reali $\mathbb{R},$ ampliato per includere i due estremi $-\infty$ e $+\infty$ .

Definizione 1.19 (numeri reali estesi). L’insieme dei numeri reali estesi è definito come

(8) $\begin{equation*} \overline{\mathbb{R}} \coloneqq \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}. \end{equation*}$

Il simbolo $\infty$ viene detto infinito e valgono le relazioni d’ordine

(9) $\begin{equation*} -\infty < x < +\infty \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Introduciamo i simboli $-\infty$ e $+\infty$ in modo intuitivo, piuttosto che attraverso un approccio formale e rigoroso. L’idea principale è quella di estendere l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ aggiungendo due elementi: $-\infty$ , che rappresenta un numero infinitamente negativo, e $+\infty$ , un numero infinitamente positivo. In altre parole, $-\infty$ è più piccolo di qualsiasi numero reale, mentre $+\infty$ è più grande.

Nei prossimi capitoli vedremo che è possibile eseguire operazioni aritmetiche ordinarie (con alcune restrizioni) anche nell’ambito di questi numeri reali estesi. Questo argomento è strettamente collegato alla teoria dei limiti, ma approfondiremo i dettagli in seguito.

Per ora, ci concentriamo sul modo in cui i concetti di intorno e punto di accumulazione vengono estesi a $\overline{\mathbb{R}}$ . Considerando $+\infty$ come un numero infinitamente grande all’estrema destra della retta reale, possiamo pensare a un intorno come una semiretta a destra. Questo ragionamento ci porta alla seguente definizione.

Definizione 1.20 (intorni dell’infinito). Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice intorno di $+\infty$ se esso contiene una semiretta destra aperta, ossia se esiste $a \in \mathbb{R}$ tale che

(10) $\begin{equation*} (a,+\infty) \subseteq A. \end{equation*}$

Analogamente, $A$ si dice intorno di $-\infty$ se esso contiene una semiretta sinistra aperta, cioè se esiste $a \in \mathbb{R}$ tale che

(11) $\begin{equation*} (-\infty,a) \subseteq A. \end{equation*}$

$\quad$

Una volta definiti gli intorni di $+\infty$ e $-\infty$ , è naturale estendere la definizione di punto di accumulazione anche al caso $+\infty$ e $-\infty$ . Ricordiamo che, se $A \subseteq \mathbb{R}$ e $x_0 \in \mathbb{R}$ , allora $x_0$ è detto di accumulazione per $A$ se ogni suo intorno contiene dei punti di $A$ diversi da $x_0$ . Questa definizione può essere “tradotta” anche nel caso $x_0=\pm \infty$ , ovviamente tenendo conto di quali siano gli intorni di questi punti.

Definizione 1.21 (punti di accumulazione in $\overline{\mathbb{R}}$ ). $+\infty$ si dice di accumulazione per $A \subseteq \mathbb{R}$ se $A$ è illimitato superiormente, ossia se

(12) $\begin{equation*} A \cap (a,+\infty) \neq \emptyset \qquad \forall a \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Analogamente, $-\infty$ si dice di accumulazione per $A \subseteq \mathbb{R}$ se $A$ è illimitato inferiormente, ovvero se

(13) $\begin{equation*} A \cap (-\infty,a) \neq \emptyset \qquad \forall a \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Questa definizione deriva dal fatto che le semirette destre $(a,+\infty)$ sono gli intorni di $+\infty$ , e le semirette sinistre $(-\infty, a)$ quelli di $-\infty$ . Pertanto, $+\infty$ è un punto di accumulazione per un insieme $A$ se ogni suo intorno include punti appartenenti ad $A$ , analogamente a quanto avviene per i punti di accumulazione in $\mathbb{R}$ . Esaminiamo ora un esempio pratico di questi concetti.

Esempio 1.22. L’insieme $A=\{-1\} \cup (1,2) \cup \mathbb{N}$ , che nella figura 4 è mostrato in blu, ha $+\infty$ come punto di accumulazione. Questo si deve al fatto che $A$ è illimitato superiormente, includendo $\mathbb{N}$ . Come illustrato nella figura (dove le semirette destre sono in verde), ogni semiretta destra contiene infiniti punti di $A$ .

In contrasto, $-\infty$ non è un punto di accumulazione per $A$ . Ciò è evidente osservando che la semiretta sinistra $(-\infty,-2)$ , rappresentata in rosso nella figura, non include alcun punto di $A.$

$\quad$

Teoria sulle successioni

Figura 4: l’insieme $A$ dell’esempio 1.22. Esso è illimitato superiormente e quindi $+\infty$ è un suo punto di accumulazione. Invece, poiché $A$ è limitato inferiormente, $-\infty$ non è un suo punto di accumulazione.

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