Esercizio 38. Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme
Svolgimento 1. Per determinare l’estremo superiore e inferiore è possibile applicare un metodo più analitico e veloce. Osserviamo che l’insieme consiste nelle ordinate della funzione
Il grafico dell’immagine di si ottiene facilmente riconoscendo che
è una funzione definita dall’unione di varie funzioni omografiche di espressione analitica pari ad
dove
,
,
e
sono numeri reali. Di seguito il grafico dell’immagine di
.
Dal grafico si deduce che l’immagine di è
per cui
e
.
Osservazione 1. Si osservi che abbiamo dato per scontato che lo studente sappia disegnare una funzione omografica. Abbiamo calcolato gli asintoti delle tre funzioni omografiche e ne abbiamo rappresentato il relativo grafico. Unendo i tre grafici abbiamo ottenuto il grafico di , da cui si deduce l’immagine, ovvero l’insieme
.
Svolgimento 2. Per determinare il dobbiamo studiare l’insieme dei maggioranti
Osservazione 2. Per abbiamo
pertanto non è restrittivo scegliere .
Quindi per la definizione di valore assoluto
Le soluzioni di questa catena di disuguaglianze coincidono con le soluzioni del sistema
Sempre per la definizione di valore assoluto
Osservazione 3. Ovviamente per ogni
. Invece
Per
Poiché l’intervallo allora
non è un maggiorante di
; di conseguenza non sono maggioranti neanche i numeri reali minori di
. Quindi
Osservazione 4. Risolvendo le disequazioni fratte abbiamo che
Quindi
Analogamente
Quindi
Possiamo concludere che
Quindi se e solo se
quindi
. Inoltre
infatti
La ricerca dell’estremo inferiore è invece immediata perché gli elementi dell’insieme sono ovviamente positivi
quindi . Inoltre per
Perciò [1].
1. Per determinare l’estremo inferiore e il massimo si poteva procedere utilizzando la monotonia della funzione . ↩