Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 38

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Esercizio 38. $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme

$A=\left\{y\in\mathbb{R}\,:\,\text{$\exists \, x \in\mathbb{R}$ tale che $y=\frac{|2x+1|}{1+|x-1|}$}\right\}.$

Svolgimento 1. Per determinare l’estremo superiore e inferiore è possibile applicare un metodo più analitico e veloce. Osserviamo che l’insieme $A$ consiste nelle ordinate della funzione

$\begin{equation*} f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x+1}{x-2}&\text{se $x\leq -\dfrac{1}{2}$};\\\\ \dfrac{2x+1}{2-x}&\text{se $-\dfrac{1}{2}\leq x<1$};\\\\ \dfrac{2x+1}{x}&\text{se $x\geq 1.$} \end{cases} \end{equation*}$

Il grafico dell’immagine di $f$ si ottiene facilmente riconoscendo che $f$ è una funzione definita dall’unione di varie funzioni omografiche di espressione analitica pari ad $f(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}$ dove $a$ , $b$ , $c$ e $d$ sono numeri reali. Di seguito il grafico dell’immagine di $f$ .

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Dal grafico si deduce che l’immagine di $f$ è $A=[0,3]$ per cui $\inf A=\min A=0$ e $\sup A=\max A=3$ .

Osservazione 1. Si osservi che abbiamo dato per scontato che lo studente sappia disegnare una funzione omografica. Abbiamo calcolato gli asintoti delle tre funzioni omografiche e ne abbiamo rappresentato il relativo grafico. Unendo i tre grafici abbiamo ottenuto il grafico di $f$ , da cui si deduce l’immagine, ovvero l’insieme $A$ .

Svolgimento 2. Per determinare il $\sup A$ dobbiamo studiare l’insieme dei maggioranti $M(A)$

$\begin{equation*} y\in M(A)\quad\Leftrightarrow\quad \frac{|2x+1|}{1+|x-1|} \leq y\qquad\forall x\in\mathbb{R}. \end{equation*}$

Osservazione 2. Per $x=0$ abbiamo

$\begin{equation*} \frac{|1|}{1+|-1|}=\frac{1}{2}\Rightarrow 0\in A \end{equation*}$

pertanto non è restrittivo scegliere $y\geq0$ .

$\begin{equation*} \frac{|2x+1|}{1+|x-1|}\leq y\quad \Leftrightarrow\quad |2x+1|\leq y(1+|x-1|). \end{equation*}$

Quindi per la definizione di valore assoluto

$\begin{equation*} -y(1+|x-1|)\leq 2x+1\leq y(1+|x-1|)\quad\Leftrightarrow \quad-y-y|x-1|\leq 2x+1\leq y+y|x-1|. \end{equation*}$

Le soluzioni di questa catena di disuguaglianze coincidono con le soluzioni del sistema

$\begin{equation*} \begin{cases} 2x+1\leq y+y|x-1|\\ 2x+1\geq -y-y|x-1| \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} y|x-1|\geq 2x+1-y\\ y|x-1|\geq -2x-1-y. \end{cases} \end{equation*}$

Sempre per la definizione di valore assoluto

$\begin{aligned} & \begin{cases} y(x-1)\geq 2x+1-y\\ y(x-1)\geq -2x-1-y \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} y(x-1)\leq -2x-1+y\\ y(x-1)\leq 2x+1+y \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x(y-2)\geq 1\\ x(y+2)\geq -1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x(y+2)\leq 2y-1\\ x(y-2)\leq 2y+1. \end{cases} \end{aligned}$

Osservazione 3. Ovviamente $y+2>0$ per ogni $y\geq 0$ . Invece

$\begin{equation*} y-2>0\quad \Leftrightarrow \quad 0\leq y<2 \end{equation*}$

Per $y=2$

$\begin{equation*} \begin{cases} 0\geq 1\\ 4x\geq -1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 4x\leq 3\\ 0\leq 5 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\leq \dfrac{3}{4}\\\\ \forall\,x\in \R \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\leq\frac{3}{4}. \end{equation*}$

Poiché l’intervallo $\displaystyle\left(-\infty,\frac{3}{4}\right]\neq \R$ allora $y=2$ non è un maggiorante di $A$ ; di conseguenza non sono maggioranti neanche i numeri reali minori di $2$ . Quindi $y>2\rightarrow y+2>0$

$\begin{equation*} \begin{cases} x\geq \dfrac{1}{y-2}\\\\ x\geq \dfrac{-1}{y+2} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\leq \dfrac{2y-1}{y+2}\\\\ x\leq \dfrac{2y+1}{y-2}. \end{cases} \end{equation*}$

Osservazione 4. Risolvendo le disequazioni fratte abbiamo che

$\begin{equation*} \frac{1}{y-2}\geq-\frac{1}{y+2}\qquad\forall\,y\leq 0. \end{equation*}$

Quindi

$\begin{equation*} \begin{cases} x\geq \frac{1}{y-2}\\ x\geq \frac{-1}{y+2} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\geq \frac{1}{y-2}. \end{equation*}$

Analogamente

$\begin{equation*} \frac{2y-1}{y+2}\leq \frac{2y+1}{y-2}\qquad\forall\,y\leq 0. \end{equation*}$

Quindi

$\begin{equation*} \begin{cases} x\leq \dfrac{2y-1}{y+2}\\\\ x\leq \dfrac{2y+1}{y-2} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\leq \frac{2y-1}{y+2}. \end{equation*}$

Possiamo concludere che

$\begin{equation*} \left(-\infty,\frac{2y-1}{y+2}\right]\bigcup\left[\frac{1}{y-2},+\infty\right)=\mathbb{R} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{2y-1}{y+2}\geq \frac{1}{y-2} \quad \Leftrightarrow \quad y\geq 3 \end{equation*}$

Quindi $y\in M(A)$ se e solo se $y\geq 3$ quindi $\sup A=3$ . Inoltre $\max A=3$ infatti

$\begin{equation*} \frac{|2x+1|}{1+|x-1|}=3\quad \Leftrightarrow\quad x=1\in\mathbb{R}. \end{equation*}$

La ricerca dell’estremo inferiore è invece immediata perché gli elementi dell’insieme $A$ sono ovviamente positivi

$\begin{equation*} \frac{|2x+1|}{1+|x-1|} \end{equation*}$

quindi $\inf A=0$ . Inoltre per $x=\frac{1}{2}$

$\begin{equation*} y= \frac{|2\frac{-1}{2}+1|}{1+|\frac{1}{2}-1|}=0\in A. \end{equation*}$

Perciò $\min A=0$ [1].

1. Per determinare l’estremo inferiore e il massimo si poteva procedere utilizzando la monotonia della funzione $f(x)=\dfrac{|2x+1|}{1+|x-1|}$ . ↩