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Somma di una serie di potenze – Esercizio 11

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 11

Benvenuti nell’articolo 11 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 10 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 12 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 11

Esercizio 11.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\left(n\left(n-1\right)x^{n-1}+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right) \end{equation*}

per ogni x\in (-1,1).

Svolgimento.

Riscriviamo la serie come segue

    \[\sum_{n=3}^{+\infty}\left(n\left(n-1\right)x^{n-1}+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right)= \sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-1}+ \sum_{n=3}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}.\]

Si ricordano i seguenti fatti

(2)   \begin{equation*} \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\quad \forall x \in (-1,1) \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \sin x =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-1 \right)^{n}x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\quad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Deriviamo due volte ambo i membri della (2) e otteniamo

    \[\begin{aligned} &\dfrac{d^2}{dx^2}\left(\dfrac{1}{\left(1-x\right)}\right)=\dfrac{d^2}{dx^2}\left( \sum_{n=0}^{+\infty}x^n \right)\quad \Rightarrow\quad \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}n\,x^{n-1}\right)\Rightarrow \\ &\quad \Rightarrow\quad \dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}=\sum_{n=0}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-2}=0+0+2+\sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-2}=2+\sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-2}, \end{aligned}\]

cioè

(4)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-2}=\dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}-2, \end{equation*}

assumendo x\neq 0, è possibile moltiplicare ambo i membri di (4) per x e ottenere

    \[\sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-1}=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}-2x;\]

inoltre, deriviamo ambo i membri della (3), ottenendo

    \[\cos x =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n\left(2n+1\right)x^{2n}}{\left(2n+1\right)!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{\left(2n\right)!}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{4!}+\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{\left(2n\right)!},\]

o anche

    \[\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{\left(2n\right)!}= \cos x-1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{4!}.\]

Infine, sfruttando le posizioni ottenute, si perviene al seguente risultato

      \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=3}^{+\infty}\left(n\left(n-1\right)x^{n-1}+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right)=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}-2x+ \cos x-1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{4!} \quad \forall x \in (-1,1).}\]

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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