Esercizio 2 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 2.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Verifica la seguente identità:

    \[\left(\cot(\alpha)-\cos(\alpha)\right)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha).\]

 

Svolgimento. Per prima cosa trasformiamo la cotangente usando la seguente relazione

    \[\cot(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}\]

ottenendo

    \[\left(\frac{1}{\tan(\alpha)}-\cos(\alpha)\right)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha).\]

Adesso, nel membro sinistro dell’equazione, moltiplichiamo ogni termine per la tangente

    \[\frac{1}{\tan(\alpha)}\cdot\tan(\alpha)-\cos(\alpha)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha) \Longleftrightarrow 1-\cos(\alpha)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha).\]

Per finire trasformiamo la tangente usando la relazione

    \[\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)},\]

da cui

    \[1-\cos(\alpha)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha) \Longleftrightarrow 1-\cos(\alpha)\left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)=1-\sin(\alpha),\]

e semplificando il coseno, otteniamo

    \[1-\sin(\alpha)=1-\sin(\alpha)\]

cioè la tesi. 

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi