Esercizio 2 ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 2. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Verifica la seguente identità:

$\left(\cot(\alpha)-\cos(\alpha)\right)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha).$

Svolgimento. Per prima cosa trasformiamo la cotangente usando la seguente relazione

$\cot(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}$

ottenendo

$\left(\frac{1}{\tan(\alpha)}-\cos(\alpha)\right)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha).$

Adesso, nel membro sinistro dell’equazione, moltiplichiamo ogni termine per la tangente

$\frac{1}{\tan(\alpha)}\cdot\tan(\alpha)-\cos(\alpha)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha) \Longleftrightarrow 1-\cos(\alpha)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha).$

Per finire trasformiamo la tangente usando la relazione

$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)},$

da cui

$1-\cos(\alpha)\tan(\alpha)=1-\sin(\alpha) \Longleftrightarrow 1-\cos(\alpha)\left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)=1-\sin(\alpha),$

e semplificando il coseno, otteniamo

$1-\sin(\alpha)=1-\sin(\alpha)$

cioè la tesi.

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi