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Esercizio 4.   (\bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente disequazione

(1)   \begin{equation*} \left \vert 9-\left \vert x+9\right \vert \right \vert\leq 9+\left \vert x-9\right \vert  \end{equation*}

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento.

Si ha

    \[\begin{aligned} &\left \vert 9-\left \vert x+9\right \vert \right \vert = \begin{cases} 9-\left \vert x+9 \right \vert \quad& \text{se}\,\, \left \vert x+9\right \vert \leq 9\\ \left \vert x+9\right \vert -9&\text{se}\,\, \left \vert x+9\right \vert > 9 \end{cases}= \begin{cases} 9-\left \vert x+9 \right \vert \quad& \text{se}\,\, -9\leq x+9\leq 9\\ \left \vert x+9\right \vert -9&\text{se}\,\, x+9<-9\,\, \vee \,\, x+9>9 \end{cases}=\\ &=\begin{cases} 9-\left \vert x+9 \right \vert \quad& \text{se}\,\, -18\leq x\leq 0\\ \left \vert x+9\right \vert -9&\text{se}\,\, x<-18\,\, \vee \,\, x>0 \end{cases} \end{aligned}\]

da cui

    \[\left \vert 9-\left \vert x+9\right \vert \right \vert\leq 9+\left \vert x-9\right \vert \quad \Leftrightarrow \quad\underbrace{\begin{cases} 9-\left \vert x+9\right \vert\leq 9+\left \vert x-9\right \vert \\ -18 \leq x\leq 0 \end{cases}}_{I_1} \vee \quad \underbrace{ \begin{cases} \left \vert x+9 \right \vert -9 \leq 9+\left \vert x-9 \right \vert \\ x<-18 \,\, \vee \,\, x>0. \end{cases}}_{I_2}\]

Per calcolare I_1 e I_2 è utile considerare il seguente grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

donde, osservando il grafico, si deduce che I_1 può essere riscritto come segue:

    \[\begin{aligned} &I_1=\begin{cases} x+9\leq -\left(x-9\right) \\ -18 \leq x \leq -9 \end{cases} \vee \quad \begin{cases} -\left(x+9\right)\leq -x+9\\ -9<x \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\leq 0 \\ -18 \leq x \leq -9 \end{cases} \vee \quad \begin{cases} -9\leq 9 \\ -9<x \leq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \\\\ & \Leftrightarrow \quad -18\leq x \leq-9 \quad \vee \quad -9< x \leq 0 \quad \Leftrightarrow \quad -18 \leq x \leq 0. \end{aligned}\]

Procediamo analogamente per I_2:

    \[\begin{aligned} &I_2= \begin{cases} -x-9-9\leq9 -x+9\\ x < -18 \end{cases} \vee\quad \begin{cases} x+9-9 \leq 9-x+9\\ 0<x<9 \end{cases} \vee\quad \begin{cases} x+9-9\leq 9+x-9\\ x\geq 9 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -18 \leq 18\\ x < -18 \end{cases} \vee\quad \begin{cases} x\leq 0\\ 0<x<9 \end{cases} \vee\quad \begin{cases} 0\leq 0\\ x\geq 9 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x< -18 \,\, \vee \,\,x>0. \end{aligned}\]

Quindi si conclude che la soluzione di I_1 è \mathcal{S}_1=[-18,0] e di I_2 è \mathcal{S}_2=(-\infty,-18)\cup \left(0,+\infty\right), unendo le due soluzioni si trova la soluzione \mathcal{S} della disequazione (1), cioè

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\mathbb{R}. }\]

Fonte: Esercizi della professoressa Teresa D’Aprile