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Esercizio 20.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

    \[(x^2-3)^6+13(x^2-3)^3+40=0\]

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento.  Poniamo y=(x^2-3) e otteniamo

    \[y^6+13y^3+40=0;\]

l’equazione ottenuta è un’equazione trinomia, quindi poniamo t=y^3, ottenendo:

    \[t^2+13t+40=0.\]

Per risolvere l’equazione applichiamo la formula risolutiva:

    \[\Delta=(13)^2-4\cdot40=169-160=9,\quad t_{1,2}=\frac{-13\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-13\pm3}{2}= \left\{ \begin{aligned} t_1&=-5\\ t_2&=-8, \end{aligned} \right.\]

da cui, procedendo a retroso, si ha:

    \[\begin{aligned} y^3&=-5\quad \Leftrightarrow \quad y=-\sqrt[3]{5}\\ y^3&=-8\quad \Leftrightarrow \quad y=-\sqrt[3]{8}=-2, \end{aligned}\]

quindi

    \[\begin{aligned} x^2-3&=-\sqrt[3]{5}\quad \Leftrightarrow \quad x^2=3-\sqrt[3]{5}\\ x^2-3&=-2\quad \Leftrightarrow \quad x^2=3-2=1. \end{aligned}\]

Dato che 3-\sqrt[3]{5} e 1 sono numeri positivi, si ottengono le soluzioni

    \[\begin{aligned} &x^2=3-\sqrt[3]{5}\quad \Leftrightarrow \quad x=\pm\sqrt{3-\sqrt[3]{5}},\\ &x^2=1\quad \Leftrightarrow \quad x=\pm\sqrt{1}=\pm1. \end{aligned}\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è:

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{-\sqrt{3-\sqrt[3]{5}},-1,1,\sqrt{3-\sqrt[3]{5}}\right\}.}\]