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Esercizio 18.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

    \[(x^2-2)^2-4x^2+11=0\]

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento. Facciamo i calcoli

    \[(x^2-2)^2-4x^2+11=0\quad \Leftrightarrow \quad  x^4-4x^2+4-4x^2+11=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^4-8x^2+15=0.\]

Osserviamo che l’equazione è una biquadratica, quindi è comodo porre t=x^2, da cui:

    \[t^2-8t+15=0\]

cioè

    \[\Delta=(-8)^2-4(15)=64-60=4,\quad t_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{8\pm2}{2}= \left\{ \begin{aligned} t_1&=\dfrac{10}{2}=5\\\\ t_2&=\dfrac{6}{2}=3 \end{aligned} \right.\]

dove abbiamo applicato la formula risolutiva; quindi, ricordando che t=x^2, si ha

    \[\begin{aligned} &x^2=5\quad \Leftrightarrow \quad x=\pm\sqrt{5},\\ &x^2=3\quad \Leftrightarrow \quad x=\pm\sqrt{3}. \end{aligned}\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è:

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in \mathbb{R}:x=\pm\sqrt{5},\,\,x=\pm\sqrt{3}\right\}.}\]

Fonte: clicca qui