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Esercizio 17.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

    \[\frac{4}{x^3+1}-\frac{4x^3+3}{x^6-1}=8\]

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento. Riscriviamo l’equazione come segue:

    \[\begin{aligned} &\frac{4}{x^3+1}-\frac{4x^3+3}{x^6-1}=8\quad \Leftrightarrow \quad \frac{4}{x^3+1}-\frac{4x^3+3}{\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)}=8\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad\dfrac{4\left(x^3-1\right)-\left(4x^3+3\right)-8\left(x^6-1\right)}{\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)}=0\quad \Leftrightarrow \quad\dfrac{-8x^6+1}{\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)}=0. \end{aligned}\]

Osserviamo che la condizione di esistenza dell’equazione è \{x\in \mathbb{R}:\,x\neq \pm 1 \}, quindi posto x\neq \pm 1, si ha

    \[-8x^6+1=0\quad \Leftrightarrow \quad x^6=\dfrac{1}{8}\quad \Leftrightarrow \quad x=\pm \dfrac{1}{\sqrt[6]{8}}=\pm \dfrac{1}{\sqrt[6]{2^3}}=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\]

dove si è moltiplicato per x^6-1 ambo i membri dell’equazione.
Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è:

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in \mathbb{R}:\,x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right\}.}\]

Fonte: clicca qui