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Esercizio 16.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

    \[\frac{x^2-3x}{2x}-\frac{x-2}{x-1}=0\]

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento. L’equazione è fratta quindi la prima cosa da fare, dopo aver fattorizzato i denominatori (in questo caso già ai minimi termini), è determinare il campo di esistenza.
Imponiamo i fattori dei denominatori diversi da 0:

    \[\left\{ \begin{aligned} 2x &\neq 0 \\ x-1 &\neq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} x &\neq 0 \\ x &\neq 1. \end{aligned} \right.\]

Procediamo calcolando l’m.c.m. e unendo le due frazioni:

    \[\begin{aligned} &\frac{x^2-3x}{2x}-\frac{x-2}{x-1}=0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x^2-3x)(x-1)-(x-2)(2x)}{2x(x-1)}=0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad\frac{x^3-x^2-3x^2+3x-2x^2+4x}{2x(x-1)}=0\quad \Leftrightarrow \quad\frac{x^3-x^2-3x^2+3x-2x^2+4x}{2x(x-1)}=0\\ &\quad\Leftrightarrow \quad \frac{x^3-6x^2+7x}{2x(x-1)}=0, \end{aligned}\]

e dato che il denominatore, sotto le condizioni del campo di esistenza, è sempre diverso da 0 possiamo semplificare ottenendo:

    \[x^3-6x^2+7x=0.\]

Quindi riprendendo dall’ultimo risultato ottenuto si ha:

    \[x(x^2-6x+7)=0\]

da cui x=0 è una soluzione che non possiamo accettare in quanto non è contenuta nel campo di esistenza.
Per risolvere x^2-6x+7=0 utilizziamo la classica formula (formula risolutiva)

    \[\Delta=(-6)^2-4(7)=36-28=8,\quad x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{2}}{2}\]

raccogliendo un 2 da numeratore e semplificandolo con il denominatore otteniamo le due soluzioni:

    \[x_{1,2}=3\pm\sqrt{2}\]

che sono accettate dal campo di esistenza.
Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è:

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{3-\sqrt{2},3+\sqrt{2}\right\}}\]

Fonte: clicca qui