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Esercizio 14

Ripasso algebra biennio liceo

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Esercizio 14.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

    \[8x^6-7x^3-1=0\]

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento. L’equazione è una trinomia, infatti il polinomio nel membro a sinistra contiene solo tre termini di cui un termine noto, un monomio di grado 3 ed un monomio di grado 6 (doppio rispetto all’altro).
L’equazione può essere riscritta come

    \[8(x^3)^2-7(x^3)-1=0,\]

e utilizzando la sostituzione t=x^3 otteniamo:

    \[8t^2-7t-1=0.\]

L’equazione che ne risulta è di secondo grado, possiamo quindi applicare la formula risolutiva:

    \[\Delta=(-7)^2-4(-1)(8)=49+32=81\]

    \[\quad t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{81}}{2\cdot8}= \frac{7\pm9}{16} \longrightarrow \left\{ \begin{aligned} t_1 &= 1 \\ t_2 &= -\frac{1}{8} \end{aligned} \right.\]

da cui

    \[\left. \begin{aligned} t_1 &= 1 \\ t_2 &= -\frac{1}{8} \end{aligned} \right. \;\longrightarrow\; \left. \begin{aligned} x^3 &= 1 \\ x^3 &= -\frac{1}{8} \end{aligned} \right. \;\longrightarrow\; \left. \begin{aligned} x &= \sqrt[3]1=1 \\ x &= \sqrt[3]{-\frac{1}{8}}= -\frac{1}{2}. \end{aligned} \right\]

Quindi la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è:

      \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{1,-\frac{1}{2}\right\}.}\]

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