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Esercizi misti sui numeri complessi per matematica e fisica

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Approfondisci la tua comprensione dei numeri complessi con il nostro documento “Esercizi sui numeri complessi volume 2 (per matematica o fisica)”. Questo articolo è un tesoro di esercizi pratici, pensati per sviluppare la tua abilità nel maneggiare i numeri complessi in varie situazioni matematiche. Dai problemi algebrici ai sistemi complessi, passando per equazioni e disuguaglianze, ogni argomento è trattato con cura per garantire una comprensione profonda e applicativa. Se sei uno studente o un professionista nel campo della matematica, questo documento è un must per elevare le tue competenze e intuizioni matematiche!

Gli esercizi presenti in questo articolo spaziano vari argomenti del mondo dei numeri complessi, per i lettori interessati ad uno in particolare tra questi argomenti di seguito sono elencati una serie di articoli specifici contenenti esercizi mirati.

Esercizi specifici.

 

Autori e revisori degli esercizi sui numeri complessi

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.


 

Un ripasso di teoria

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In questa sezione iniziale richiamiamo brevemente alcuni risultati e nozioni già viste in dettaglio nel primo volume, in modo da rendere più chiari i vari passaggi delle soluzioni agli esercizi seguenti.

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Rappresentazione cartesiana e trigonometrica

Sia z \in \mathbb C un numero complesso. La rappresentazione cartesiana, che si ottiene identificando \mathbb C con \mathbb R^2, è data da

\[z = x + \imath y,\]

dove x = \mathfrak{Re}(z) e y = \mathfrak{Im}(z) sono due numeri reali. Il coniugio di z, denotato con \bar z, si può scrivere in forma cartesiana come

\[z = x + \imath y \implies \bar z = x - \imath y,\]

da cui segue che

\[\mathfrak{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2 \imath}.\]

Il modulo di z è dato da

\[|z| = \sqrt{ \mathfrak{Re}(z)^2 + \mathfrak{Im}(z)^2},\]

ed è facile vedere che |z| \ge 0 ed è uguale a zero se e solo se z = 0. Infine, la rappresentazione trigonometrica di z è data da

\[z = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta),\]

dove \vartheta è l’argomento di z che ricordiamo essere definito come segue:

Definizione 1. Sia z \neq 0. L’argomento principale di z, denotato \text{Arg }z, è l’unica soluzione del sistema di equazioni reali

\[\begin{cases} \cos \left(\operatorname{Arg} z\right) = \dfrac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}\\\\ \sin \left(\operatorname{Arg} z\right) = \dfrac{\mathfrak{Im}(z)}{|z|}, \end{cases} \quad \text{con } \text{Arg }z \in [-\pi,\pi).\]

L’argomento di z è, invece, una funzione a più valori che si ottiene rimuovendo il vincolo nell’equazione precedente, ottenendo infinite soluzioni:

(1) \begin{equation*} \arg z = \left\{ \text{Arg } z + 2 \pi k \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}.\end{equation*}

 

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Argomento di un numero complesso

Iniziamo questo breve sommario sull’argomento osservando che la (1) si può “invertire”, ottenendo una formula per l’argomento principale:

\[\text{Arg }z = \vartheta + \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{\vartheta}{2 \pi} \right\rfloor \cdot 2 \pi, \quad \text{per ogni } \vartheta \in \arg z.\]

La funzione \lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R}\to \mathbb{Z} è quella che associa ad ogni numero reale il più grande intero minore o uguale, ovvero \lfloor x \rfloor è l’unico intero tale che

\[x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x.\]

Tra le proprietà più importanti da conoscere ricordiamo l’argomento del prodotto (e del rapporto) tra numeri complessi, ovvero vale

(2) \begin{equation*} \begin{aligned} & \text{Arg }(z_1z_2) = \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2 + 2 \pi N_+, \\ & \text{Arg }(z_1/z_2) = \text{Arg }z_1 - \text{Arg }z_2 + 2\pi N_-, \end{aligned} \end{equation*}

dove N_{\pm} sono fattori correttivi definiti come segue:

(3) \begin{equation*} N_\pm(z_1,z_2) := \begin{cases} -1 & \text{se } \text{Arg } z_1 \pm \text{Arg }z_2 > \pi, \\ 0& \text{se } -\pi<\text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le \pi, \\ 1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg } z_2 \le -\pi,\end{cases} \end{equation*}

Esempio 1. Se prendiamo z_1 = 1 e z_2 = z si vede immediatamente che per ogni z \neq 0 il valore principale dell’argomento dell’inverso z^{-1} è dato da

\[\text{Arg }(1/z) = \text{Arg }\bar{z} = \begin{cases} \text{Arg }z &\text{se } \mathfrak{Im}(z)=0, \\ - \text{Arg }z & \text{se } \mathfrak{Im}(z)\neq0. \end{cases}\]

\[\]

Un’altra proprietà interessante del valore principale riguarda le potenze. Infatti, dato z \in \mathbb C diverso da zero si può verificare per induzione che

(4) \begin{equation*} \text{Arg }z^n = n \text{Arg }z + 2 \pi N_n, \end{equation*}

dove N_n è un intero che dipende da n ed è definito come segue:

\[N_n := \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{n}{2\pi} \text{Arg }z\right\rfloor.\]

Per quanto riguarda la funzione a più valori \arg z, invece, ci sono alcune differenze importanti. Ad esempio, si può verificare che

\[\begin{aligned} & \arg (z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2, \\ & \arg(z_1/z_2) = \arg z_1 - \arg z_2, \\ & \arg(1/z) = \arg \bar z = -\arg z, \end{aligned}\]

e queste sono tutte da intendersi come uguaglianze tra insiemi trattandosi di funzioni a più valori.

\[\]

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Teorema di Eulero e formula di De Moivre

Una funzione che dai reali si può estendere senza troppe difficoltà ai complessi è quella esponenziale, ovvero ponendo

\[\mathrm{e}^z := \mathrm{e}^x \mathrm{e}^{\imath y}.\]

Il primo fattore \mathrm{e}^x non è altro che l’esponenziale di un numero reale, perciò è sufficiente dare un significato al secondo fattore.

Teorema 2. (Eulero) Sia y \in \mathbb{R}. Allora si ha

(5) \begin{equation*} \mathrm{e}^{\imath y} = \cos y + \imath \sin y. \end{equation*}

 

Una conseguenza immediata della formula di Eulero è la rappresentazione polare di un numero complesso z, che è data da

\[z = |z| \mathrm{e}^{\imath \vartheta} \quad \text{con } \vartheta \in \arg z,\]

e si ottiene sostituendo (5) nella rappresentazione trigonometrica di z. Da questa segue immediatamente una formula per calcolare la potenza n-esima:

Proposizione 3. (Formula di De Moivre) Sia z \in \mathbb{C} ed n \in \mathbb{Z}. Allora

(6) \begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}

dove \rho = |z| e \vartheta = \text{Arg }z.

 

\[\]

\[\]

Radici n-esime dei numeri complessi

Fissato w \in \mathbb{C} vogliamo trovare tutte le soluzioni dell’equazione z^n = w con n \ge 1. Se w = 0 è banale, quindi supponiamo w \neq 0 e scriviamo

\[z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) \quad \text{e} \quad w = r (\cos \alpha + \imath\sin\alpha),\]

con \alpha \in [-\pi,\pi). Utilizzando la (6) l’equazione z^n = w si può riscrivere come

\[\rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta) = r (\cos \alpha + \imath \sin \alpha),\]

e questa è del tutto equivalente al sistema reale

\[\begin{cases} \rho^n = r, \\ n \vartheta = \alpha + 2\pi k, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

La prima ha soluzione \rho = r^{1/n} (radice n-esima positiva), mentre la seconda ha esattamente n soluzioni distinte nell’intervallo [-\pi,\pi) date da

(7) \begin{equation*} \vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k = -\ell_1,\ldots,\ell_2, \end{equation*}

dove \ell_1,\ell_2 \in \mathbb N sono scelti in modo tale che \ell_1+\ell_2+1=n e valgono

\[\frac{\alpha - 2 \ell_1 \pi}{n} \ge - \pi \quad \text{e} \quad \frac{\alpha + 2 \ell_2 \pi}{n} < \pi.\]

In particolare, il valore di \ell_1 ed \ell_2 dipende da \alpha e assicurano che tutti i valori di \vartheta rimangano nell’intervallo dell’argomento principale, ovvero [-\pi,\pi).

Osservazione 4. L’intervallo [-\pi,\pi) per l’argomento principale è scelto in maniera arbitraria e, pertanto, se stiamo semplicemente risolvendo un’equazione può essere più comodo considerare

\[\vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k =0,\ldots,n-1\]

per ottenere tutte le soluzioni. Queste potrebbero non essere tutte in [-\pi,\pi), ma sono necessariamente contenute in un intervallo di ampiezza 2 \pi.

\[\]

Tornando al discorso precedente, abbiamo dimostrato che ci sono esattamente n radici n-esime distinte di w e queste sono date da

\[z_k = r^{1/n} \left( \cos \frac{\alpha + 2\pi k}{n} + \imath \sin \frac{\alpha + 2\pi k}{n} \right), \quad k = -\ell_1,\ldots,\ell_2.\]

I numeri z_{-\ell_1},\ldots,z_{\ell_2} giacciono tutti sulla circonferenza di raggio |w|^{1/n} e ciascuno forma un angolo di 2\pi/n con il precedente, perciò sono i vertici dell’n-poligono inscritto nella circonferenza di cui sopra.


 

Testi degli esercizi

 
In questo documento vedremo alcuni esercizi misti (con soluzioni) sui numeri complessi per fare pratica con tutte le nozioni introdotte nel primo volume.

Per una raccolta esaustiva di esercizi standard sui numeri complessi, il lettore può consultare, ad esempio, il libro [1], mentre per esercizi di livello avanzato (alcuni dei quali li vedremo qui), invece, raccomandiamo l’eserciziario [2].
 

Esercizi algebrici e calcolo di radici quadrate/cubiche

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

 

  1. z_1 = \dfrac{3-\imath}{4-\imath}

    2.  

  2. z_2 = \dfrac{4-3\imath}{(2+\imath)^2}

    3.  

  3. z_3 = \dfrac{(2\sqrt{3}+\imath)^3}{\sqrt{3}-\imath}

    4.  

  4. z_4 = \dfrac{\mathrm{e}^{2+\imath}}{\mathrm{e}^{3-2\imath}}

    5.  

  5. z_5 = \dfrac{2-\imath}{2+\imath}

    6.  

  6. z_6= \mathrm{e}^{-2+3\imath}

    7.  

  7. z_7 = \mathrm{e}^{(2+\imath)^3}

    8.  

  8. z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6}

Suggerimento.

Nel caso di un rapporto tra due numeri complessi si può “razionalizzare” il denominatore. Per quanto riguarda i numeri complessi in forma esponenziale, è utile ricordarsi la formula di Eulero:

\[\mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta \right].\]

Introduzione.

Poiché il procedimento è pressoché identico per tutti i casi, ne illustreremo solo alcuni esempi tratti dall’esercizio e lasceremo gli altri al lettore come esercizio pratico. Consideriamo due scenari distinti:

Svolgimento punti 1 e 3.

Se z è dato dal rapporto tra due numeri complessi, ovvero

(8) \begin{equation*} z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma}, \end{equation*}

allora si può “razionalizzare” moltiplicando e dividendo per il coniugato del denominatore. In particolare, abbiamo l’uguaglianza

\[z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma} \cdot \frac{\delta - \imath \gamma}{\delta - \imath \gamma} = \frac{(\alpha + \imath \beta)(\delta - \imath \gamma) }{\delta^2 + \gamma^2}.\]

A questo punto, solo il numeratore risulta essere un numero complesso ed è facile identificare parte reale e immaginaria di z, risolvendo così l’esercizio:

\[z = \frac{1}{\delta^2+\gamma^2} \left[ (\alpha \delta + \beta \gamma) + \imath ( \beta \delta - \alpha \gamma )\right].\]

Applichiamo ora quanto detto all’esercizio. Ad esempio, dato z_1 si vede immediatamente che

\[z_1 = \frac{3-\imath}{4-\imath} \cdot \frac{4+\imath}{4+\imath} = \frac{13 - \imath}{17} = \frac{13}{17} - \frac{1 }{17}\imath.\]

Se consideriamo z_3, per ridursi alla forma (8) è prima necessario sviluppare il numeratore come segue:

\[\begin{aligned} (2\sqrt{3}+\imath)^3 & = 8 \cdot 3 \sqrt 3 + \imath^3 + 6 \sqrt3 \imath^2 + 3 (2 \sqrt3)^2 \imath \\ & = 24 \sqrt3 - \imath - 6 \sqrt3 + 36 \imath \\ & = 18 \sqrt{3} + 35 \imath. \end{aligned}\]

A questo punto si procede come nel caso precedente per concludere:

\[z_3 = \frac{18 \sqrt{3} + 35 \imath}{ \sqrt{3}-\imath} \cdot \frac{\sqrt{3}+\imath}{\sqrt{3}+\imath}= \frac{54+18\sqrt{3}\imath+35\sqrt{3}\imath-35}{4} = \frac{19}{4} + \frac{53 \sqrt{3}}{4} \imath.\]

Svolgimento punti 4, 6 e 8.

Se z è dato in forma esponenziale, ovvero z = \mathrm{e}^w per qualche w \in \mathbb C, allora è sufficiente scrivere w = \alpha + \imath \beta e poi applicare la formula di Eulero:

\[z = \mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta\right].\]

Ad esempio, abbiamo

\[z_6 = \mathrm{e}^{-2} \mathrm{e}^{3 \imath} = \frac{ \cos (3)}{\mathrm{e}^2} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}^2},\]

o, analogamente, anche

\[z_4 = \mathrm{e}^{2+\imath - (3-2\imath)} = \mathrm{e}^{-1+3\imath} = \frac{\cos(3)}{\mathrm{e}} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}} .\]

Il caso di z_8 è leggermente diverso da trattare perché, prima di applicare la formula data sopra, bisogna calcolare esplicitamente l’esponente

\[(1- \imath)^6.\]

In questi casi, piuttosto che sviluppare il prodotto esplicitamente, conviene scrivere il numero complesso in forma trigonometrica/esponenziale, ovvero

\[1 - \imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{- \frac\pi4 \imath},\]

e poi prenderne la potenza richiesta:

\[(1-\imath)^6 = 8 \mathrm{e}^{- \frac32 \pi \imath + 2 \pi \imath} = 8 \mathrm{e}^{\frac\pi2 \imath} = 8 \imath.\]

Abbiamo aggiunto 2 \pi perché, per convenzione, l’argomento principale è quello contenuto nell’intervallo [-\pi,\pi). A questo punto è facile vedere che

\[z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6} = \mathrm{e}^{8 \imath} = \cos 8 + \imath \sin 8.\]


 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare

\[z = \sqrt{ \frac{(1+\imath)^2}{(1-\imath)^3} }.\]

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