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Esercizi misti sui numeri complessi per ingegneria

Esercizi misti Numeri Complessi

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In questo articolo troverete 52 esercizi sui numeri complessi svolti. Questo articolo è ideale per studenti e professionisti del settore ingegneristico, fornendo esercizi sfidanti, teoria approfondita e soluzioni dettagliate. Approfitta di questa risorsa per affinare le tue abilità in matematica applicata e scopri come i numeri complessi possono essere utilizzati in contesti ingegneristici complessi. Con il nostro volume, eleva la tua comprensione e abilità a un nuovo livello.

Gli esercizi presenti in questo articolo spaziano vari argomenti del mondo dei numeri complessi, per i lettori interessati ad uno in particolare tra questi argomenti di seguito sono elencati una serie di articoli specifici contenenti esercizi mirati.

Esercizi specifici.


 

Autori e revisori sugli esercizi sui numeri complessi

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Autore: Francesco Paolo Maiale.

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.


 

Un ripasso di teoria sugli esercizi sui numeri complessi

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In questa sezione iniziale richiamiamo brevemente alcuni risultati e nozioni già viste in dettaglio nel primo volume, in modo da rendere più chiari i vari passaggi delle soluzioni agli esercizi seguenti.

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Rappresentazione cartesiana e trigonometrica

Sia z \in \mathbb C un numero complesso. La rappresentazione cartesiana, che si ottiene identificando \mathbb C con \mathbb R^2, è data da

\[z = x + \imath y,\]

dove x = \mathfrak{Re}(z) e y = \mathfrak{Im}(z) sono due numeri reali. Il coniugio di z, denotato con \bar z, si può scrivere in forma cartesiana come

\[z = x + \imath y \implies \bar z = x - \imath y,\]

da cui segue che

\[\mathfrak{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2 \imath}.\]

Il modulo di z è dato da

\[|z| = \sqrt{ \mathfrak{Re}(z)^2 + \mathfrak{Im}(z)^2},\]

ed è facile vedere che |z| \ge 0 ed è uguale a zero se e solo se z = 0. Infine, la rappresentazione trigonometrica di z è data da

\[z = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta),\]

dove \vartheta è l’argomento di z che ricordiamo essere definito come segue:

Definizione 1. Sia z \neq 0. L’argomento principale di z, denotato \text{Arg }z, è l’unica soluzione del sistema di equazioni reali

\[\begin{cases} \cos \left(\operatorname{Arg} z\right) = \dfrac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}\\\\ \sin \left(\operatorname{Arg} z\right) = \dfrac{\mathfrak{Im}(z)}{|z|}, \end{cases} \quad \text{con } \text{Arg }z \in [-\pi,\pi).\]

L’argomento di z è, invece, una funzione a più valori che si ottiene rimuovendo il vincolo nell’equazione precedente, ottenendo infinite soluzioni:

(1) \begin{equation*} \arg z = \left\{ \text{Arg } z + 2 \pi k \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}.\end{equation*}

 

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Argomento di un numero complesso

Iniziamo questo breve sommario sull’argomento osservando che la (1) si può “invertire”, ottenendo una formula per l’argomento principale:

\[\text{Arg }z = \vartheta + \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{\vartheta}{2 \pi} \right\rfloor \cdot 2 \pi, \quad \text{per ogni } \vartheta \in \arg z.\]

La funzione \lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R}\to \mathbb{Z} è quella che associa ad ogni numero reale il più grande intero minore o uguale, ovvero \lfloor x \rfloor è l’unico intero tale che

\[x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x.\]

Tra le proprietà più importanti da conoscere ricordiamo l’argomento del prodotto (e del rapporto) tra numeri complessi, ovvero vale

(2) \begin{equation*} \begin{aligned} & \text{Arg }(z_1z_2) = \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2 + 2 \pi N_+, \\ & \text{Arg }(z_1/z_2) = \text{Arg }z_1 - \text{Arg }z_2 + 2\pi N_-, \end{aligned} \end{equation*}

dove N_{\pm} sono fattori correttivi definiti come segue:

(3) \begin{equation*} N_\pm(z_1,z_2) := \begin{cases} -1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 > \pi, \\ 0& \text{se } -\pi<\text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le \pi, \\ 1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le -\pi,\end{cases} \end{equation*}

Esempio 1. Se prendiamo z_1 = 1 e z_2 = z si vede immediatamente che per ogni z \neq 0 il valore principale dell’argomento dell’inverso z^{-1} è dato da

\[\text{Arg }(1/z) = \text{Arg }\bar{z} = \begin{cases} \text{Arg }z &\text{se } \mathfrak{Im}(z)=0, \\ - \text{Arg }z & \text{se } \mathfrak{Im}(z)\neq0. \end{cases}\]

\[\]

Un’altra proprietà interessante del valore principale riguarda le potenze. Infatti, dato z \in \mathbb C diverso da zero si può verificare per induzione che

(4) \begin{equation*} \arg z^n = n \arg z + 2 \pi N_n, \end{equation*}

dove N_n è un intero che dipende da n ed è definito come segue:

\[N_n := \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{n}{2\pi} \text{Arg }z\right\rfloor.\]

Per quanto riguarda la funzione a più valori \arg z, invece, ci sono alcune differenze importanti. Ad esempio, si può verificare che

\[\begin{aligned} & \arg (z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2, \\ & \arg(z_1/z_2) = \arg z_1 - \arg z_2, \\ & \arg(1/z) = \arg \bar z = -\arg z, \end{aligned}\]

e queste sono tutte da intendersi come uguaglianze tra insiemi trattandosi di funzioni a più valori.

\[\]

\[\]

Teorema di Eulero e formula di De Moivre

Una funzione che dai reali si può estendere senza troppe difficoltà ai complessi è quella esponenziale, ovvero ponendo

\[\mathrm{e}^z := \mathrm{e}^x \mathrm{e}^{\imath y}.\]

Il primo fattore \mathrm{e}^x non è altro che l’esponenziale di un numero reale, perciò è sufficiente dare un significato al secondo fattore.

Teorema 2. (Eulero) Sia y \in \mathbb{R}. Allora si ha

(5) \begin{equation*} \mathrm{e}^{\imath y} = \cos y + \imath \sin y. \end{equation*}

 

Una conseguenza immediata della formula di Eulero è la rappresentazione polare di un numero complesso z, che è data da

\[z = |z| \mathrm{e}^{\imath \vartheta} \quad \text{con } \vartheta \in \arg z,\]

e si ottiene sostituendo (5) nella rappresentazione trigonometrica di z. Da questa segue immediatamente una formula per calcolare la potenza n-esima:

Proposizione 3. (Formula di De Moivre) Sia z \in \mathbb{C} ed n \in \mathbb{Z}. Allora

(6) \begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}

dove \rho = |z| e \vartheta = \text{Arg }z.

 

\[\]

\[\]

Radici n-esime dei numeri complessi

Fissato w \in \mathbb{C} vogliamo trovare tutte le soluzioni dell’equazione z^n = w con n \ge 1. Se w = 0 è banale, quindi supponiamo w \neq 0 e scriviamo

\[z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) \quad \text{e} \quad w = r (\cos \alpha + \imath\sin\alpha),\]

con \alpha \in [-\pi,\pi). Utilizzando la (6) l’equazione z^n = w si può riscrivere come

\[\rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta) = r (\cos \alpha + \imath \sin \alpha),\]

e questa è del tutto equivalente al sistema reale

\[\begin{cases} \rho^n = r, \\ n \vartheta = \alpha + 2\pi k, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

La prima ha soluzione \rho = r^{1/n} (radice n-esima positiva), mentre la seconda ha esattamente n soluzioni distinte nell’intervallo [-\pi,\pi) date da

(7) \begin{equation*} \vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k = -\ell_1,\ldots,\ell_2, \end{equation*}

dove \ell_1,\ell_2 \in \mathbb N sono scelti in modo tale che \ell_1+\ell_2+1=n e valgono

\[\frac{\alpha - 2 \ell_1 \pi}{n} \ge - \pi \quad \text{e} \quad \frac{\alpha + 2 \ell_2 \pi}{n} < \pi.\]

In particolare, il valore di \ell_1 ed \ell_2 dipende da \alpha e assicurano che tutti i valori di \vartheta rimangano nell’intervallo dell’argomento principale, ovvero [-\pi,\pi).

Osservazione 4. L’intervallo [-\pi,\pi) per l’argomento principale è scelto in maniera arbitraria e, pertanto, se stiamo semplicemente risolvendo un’equazione può essere più comodo considerare

\[\vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k =0,\ldots,n-1\]

per ottenere tutte le soluzioni. Queste potrebbero non essere tutte in [-\pi,\pi), ma sono necessariamente contenute in un intervallo di ampiezza 2 \pi.

\[\]

Tornando al discorso precedente, abbiamo dimostrato che ci sono esattamente n radici n-esime distinte di w e queste sono date da

\[z_k = r^{1/n} \left( \cos \frac{\alpha + 2\pi k}{n} + \imath \sin \frac{\alpha + 2\pi k}{n} \right), \quad k = -\ell_1,\ldots,\ell_2.\]

I numeri z_{-\ell_1},\ldots,z_{\ell_2} giacciono tutti sulla circonferenza di raggio |w|^{1/n} e ciascuno forma un angolo di 2\pi/n con il precedente, perciò sono i vertici dell’n-poligono inscritto nella circonferenza di cui sopra.


 

Testi degli esercizi sui numeri complessi

 
In questo documento, presenteremo una serie di esercizi (con suggerimenti e soluzioni dettagliate) sui numeri complessi, pensati per consolidare le conoscenze acquisite nel primo volume.

Per un’ampia raccolta di esercizi tradizionali sui numeri complessi, si invita il lettore a consultare il libro [1]. Per esercizi più avanzati, si raccomanda invece l’uso dell’eserciziario [2].
 

Esercizi algebrici e calcolo di radici quadrate/cubiche

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

 

  1. z_1 = \dfrac{3-\imath}{4-\imath}

    2.  

  2. z_2 = \dfrac{4-3\imath}{(2+\imath)^2}

    3.  

  3. z_3 = \dfrac{(2\sqrt{3}+\imath)^3}{\sqrt{3}-\imath}

    4.  

  4. z_4 = \dfrac{\mathrm{e}^{2+\imath}}{\mathrm{e}^{3-2\imath}}

    5.  

  5. z_5 = \dfrac{2-\imath}{2+\imath}

    6.  

  6. z_6= \mathrm{e}^{-2+3\imath}

    7.  

  7. z_7 = \mathrm{e}^{(2+\imath)^3}

    8.  

  8. z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6}

Suggerimento.

Nel caso di un rapporto tra due numeri complessi si può “razionalizzare” il denominatore. Per quanto riguarda i numeri complessi in forma esponenziale, è utile ricordarsi la formula di Eulero:

\[\mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta \right].\]

Introduzione.

Poiché il procedimento è pressoché identico per tutti i casi, ne illustreremo solo alcuni esempi tratti dall’esercizio e lasceremo gli altri al lettore come esercizio pratico. Consideriamo due scenari distinti:

Svolgimento punti 1 e 3.

Se z è dato dal rapporto tra due numeri complessi, ovvero

(8) \begin{equation*} z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma}, \end{equation*}

allora si può “razionalizzare” moltiplicando e dividendo per il coniugato del denominatore. In particolare, abbiamo l’uguaglianza

\[z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma} \cdot \frac{\delta - \imath \gamma}{\delta - \imath \gamma} = \frac{(\alpha + \imath \beta)(\delta - \imath \gamma) }{\delta^2 + \gamma^2}.\]

A questo punto, solo il numeratore risulta essere un numero complesso ed è facile identificare parte reale e immaginaria di z, risolvendo così l’esercizio:

\[z = \frac{1}{\delta^2+\gamma^2} \left[ (\alpha \delta + \beta \gamma) + \imath ( \beta \delta - \alpha \gamma )\right].\]

Applichiamo ora quanto detto all’esercizio. Ad esempio, dato z_1 si vede immediatamente che

\[z_1 = \frac{3-\imath}{4-\imath} \cdot \frac{4+\imath}{4+\imath} = \frac{13 - \imath}{17} = \frac{13}{17} - \frac{1 }{17}\imath.\]

Se consideriamo z_3, per ridursi alla forma (8) è prima necessario sviluppare il numeratore come segue:

\[\begin{aligned} (2\sqrt{3}+\imath)^3 & = 8 \cdot 3 \sqrt 3 + \imath^3 + 6 \sqrt3 \imath^2 + 3 (2 \sqrt3)^2 \imath \\ & = 24 \sqrt3 - \imath - 6 \sqrt3 + 36 \imath \\ & = 18 \sqrt{3} + 35 \imath. \end{aligned}\]

A questo punto si procede come nel caso precedente per concludere:

\[z_3 = \frac{18 \sqrt{3} + 35 \imath}{ \sqrt{3}-\imath} \cdot \frac{\sqrt{3}+\imath}{\sqrt{3}+\imath}= \frac{54+18\sqrt{3}\imath+35\sqrt{3}\imath-35}{4} = \frac{19}{4} + \frac{53 \sqrt{3}}{4} \imath.\]

Svolgimento punti 4, 6 e 8.

Se z è dato in forma esponenziale, ovvero z = \mathrm{e}^w per qualche w \in \mathbb C, allora è sufficiente scrivere w = \alpha + \imath \beta e poi applicare la formula di Eulero:

\[z = \mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta\right].\]

Ad esempio, abbiamo

\[z_6 = \mathrm{e}^{-2} \mathrm{e}^{3 \imath} = \frac{ \cos (3)}{\mathrm{e}^2} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}^2},\]

o, analogamente, anche

\[z_4 = \mathrm{e}^{2+\imath - (3-2\imath)} = \mathrm{e}^{-1+3\imath} = \frac{\cos(3)}{\mathrm{e}} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}} .\]

Il caso di z_8 è leggermente diverso da trattare perché, prima di applicare la formula data sopra, bisogna calcolare esplicitamente l’esponente

\[(1- \imath)^6.\]

In questi casi, piuttosto che sviluppare il prodotto esplicitamente, conviene scrivere il numero complesso in forma trigonometrica/esponenziale, ovvero

\[1 - \imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{- \frac\pi4 \imath},\]

e poi prenderne la potenza richiesta:

\[(1-\imath)^6 = 8 \mathrm{e}^{- \frac32 \pi \imath + 2 \pi \imath} = 8 \mathrm{e}^{\frac\pi2 \imath} = 8 \imath.\]

Abbiamo aggiunto 2 \pi perché, per convenzione, l’argomento principale è quello contenuto nell’intervallo [-\pi,\pi). A questo punto è facile vedere che

\[z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6} = \mathrm{e}^{8 \imath} = \cos 8 + \imath \sin 8.\]


 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

 

  1. z_1 = (2-3\imath)(-2+\imath)

    2.  

  2. z_2 = \imath^5-\frac{1}{\imath^3}

    3.  

  3. z_3 = \dfrac{1}{\imath(3+2\imath)^2}

    4.  

  4. z_4 = \dfrac{1+2\imath}{3-\imath}+\frac{2-\imath}{5\imath}

    5.  

  5. z_5= \dfrac{(1+\imath)^4}{3-4\imath}

    6.  

  6. z_6 = \dfrac{(\sqrt{3}+\imath \sqrt{2})^3}{\sqrt{2}- \imath \sqrt{3}}

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