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Funzione Beta – Teoria ed esercizi

Funzioni Beta, Digamma, Trigamma

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La funzione Beta esprime il rapporto \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}, dove \Gamma è la funzione Gamma di Eulero. La funzione Beta è notevolmente utile nel calcolo esplicito di integrali impropri o di alcune somme di serie numeriche.
In questo articolo, pensato per esperti nel campo dell’Analisi Matematica, esaminiamo la definizione della funzione Beta e analizziamo molti di questi esempi, offrendo un tour affascinante al confine tra l’Analisi Matematica e la Teoria dei Numeri, completo di esercizi di livello avanzato per i lettori più esigenti.

Oltre alla lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo al lettore le seguenti pagine:

Buona lettura!
 

Autori e revisori

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Autore: Jack D’Aurizio.


 

Prerequisiti

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Per la piena fruizione di questa dispensa suggeriamo una revisione preliminare di alcuni risultati che saranno utilizzati nel seguito. Li riportiamo in ordine di menzione, assieme al relativo capitolo dove sono trattati in dettaglio:

\[\quad\]

  1. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e sua forma integrale (DISUGUAGLIANZE FONDAMENTALI)

    2.  

  2. Convessità per punti medi e continuità comportano convessità sulla parte interna del dominio,

    disuguaglianza di Hermite-Hadamard (CONVESSITÀ)

    3.  

  3. Tutto il precedente capitolo sulla funzione \Gamma (FUNZIONE GAMMA)

    4.  

  4. teorema di Fubini, teorema di convergenza dominata, derivazione sotto il segno di integrale (ANALISI FUNZIONALE)

    5.  

  5. Trasformata di Laplace (TRASFORMATA DI LAPLACE)

    6.  

  6. Residui e decomposizioni in fratti semplici (ANALISI COMPLESSA)

 
 

Definizione

Per parametri a,b\in\mathbb{R}^+ la funzione Beta di Eulero è definita attraverso

\[B(a,b) = \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx.\]

Un primo momento importante è costituito dalla dimostrazione dell’identità fondamentale

(1) \begin{equation*} B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.\end{equation*}

\[\quad\]

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